求解一道平面向量問題的三種思路

袁精玲

平面向量是聯系平面幾何和代數的重要橋梁，也是同學們必須學習和掌握的內容.解答平面向量問題可以從不同角度切入來尋找解題的思路，借助不同的知識點來求解.本文以一道題為例，探討解答一類平面向量問題的思路.

本題主要考查了向量的模的公式、數乘運算法則、數量積公式以及平面向量基本定理.題目中給出的條件較多，我們可以根據題意繪制出相應的圖形，然后結合圖形來進行分析.我們可以從以下三個角度切入，來尋找解答本題的方案.

角度一：采用建系法求解

建系法也稱坐標法，是指通過建立平面直角坐標系，借助平面向量坐標運算法則來解題的方法.在建立平面直角坐標系后，可把向量問題轉化為向量坐標運算問題，通過向量坐標運算便可求得問題的答案.對于本題，我們可以以 O 為坐標原點，OA 或 OB 所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標系，然后求出各點的坐標和各個線段的方向向量，根據已知條件建立關系式，便可解題.

角度二：利用數量積公式求解

平面向量的數量積公式：a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量 a、b 之間的夾角.運用平面向量的數量積公式，可以將向量問題轉化為代數運算問題，能達到快速求值的目的.對于本題，我們可以將 轉化，在該式的左右同乘 ，以便利用向量數量積公式將向量的運算問題轉化為代數運算問題.

角度三：借助平面向量的幾何意義求解

我們知道，平面向量加法的幾何意義是指三角形中兩個首位相連的向量的和等于第三邊的方向向量，也可以指平行四邊形中首尾相連的兩個向量的和等于平行四邊形的對角線的方向向量.在解答平面向量問題時，我們可以結合平面向量的幾何意義構造三角形和平行四邊形，然后借助圖形來分析問題.

通過對上述三種解法的分析，同學們對平面向量問題的求解方法更加熟悉.我們從第一、二個角度切入，可將平面向量問題轉化為代數運算問題，從第三個角度切入，可以將平面向量問題轉化為幾何問題.在解答平面向量問題時，我們從這三個角度切入，便能快速找到正確的解題思路.

（作者單位：江西省信豐中學）