三類常見不等式及其解法探析

王玉生

不等式的應用范圍十分廣泛，在解答求函數的定義域、求最值、求參數的取值范圍等問題時，常需通過解不等式來獲得問題的答案.因此，熟悉并掌握幾類常見不等式及其解法是很有必要的.下面主要談一談三類不等式及其解法，希望能為同學們解不等式提供幫助.

一、a?x>（<） b 型

解a·x>b的一元一次不等式，一般要先根據實際常數 a 的取值，分為三種情況：大于0、小于0、等于0進行討論.當 a >0時， ;當 a <0時， ;當 a =0且 b <0時，x ∈ R ;當 a =0且 b ≥0時，不等式的解集為?.若遇到a?x< b 型的不等式，當 a ≠0時，只需改變不等式的符號即可，當 a =0且 b >0時，x ∈ R ;當 a =0且 b ≤0時，不等式的解集為?.

例1.解不等式-8x -6≥4（2- x）+3.

分析：該不等式為一元一次不等式，較為簡單，只需將不等式化簡為a?x> b 的形式，然后分析 a 的符號，便可求出問題的答案.

解：先去掉括號得-8x -6≥8-4x +3，再通過移項和合并同類項可得-4x ≥17，解得 .

二、ax2+ bx + c >（<）0型

當遇到形如 的一元二次不等式時，一般要先令這個不等式左邊的式子為0，即 ，然后運用求根公式求出方程的兩個根 ，再按照 a 的取值分 a >0和 a <0兩種情況進行討論.若 a >0且△>0，則 ax 2+ bx + c >0的解集為 或 的解集為 ;若a >0且△=0，則 的解集為 ， 的解集為?;若 a >0且△<0，則? 的解集為R， 的解集為? .當 a <0時，只需將在不等式的左右同乘以-1，改變不等式的符號即可.

例2.若不等式 的解集是 ，且 ，求不等式 的解集.

分析：題目中的兩個不等式均是一元二次不等式，可先用韋達定理建立 a、b、c 與α、β之間的關系，求得 b、c 的表達式，然后將不等式 轉化成為只含有α、β的不等式，解這個不等式便可求得不等式的解集.

解：由韋達定理可得 ，

三、 型

對于形如 的分式不等式，我們首先要將不等式轉化為常規的不等式，即?? 若變形后的不等式為一元二次不等式，可按照 型不等式的解法進行求解;若變形后的不等式為三次或三次以上的不等式，就需將不等式左邊的式子進行因式分解，運用“穿針引線法”來求不等式的解集.

例3.解不等式

分析：這是一個分式不等式，我們需先將不等式變形為一個一元二次不等式，然后求出一元二次方程的兩個根.又因為系數 a =2>0，因此它的解集為 x < x1或 x > x2.解：由 x +1 x <3可得 x +1-3x x <0，則 x（2x -1）>0，令 x（2x -1）=0，則 x =0或 x =12，又因為系數 a =2>0，因此它的解集為 或者 .

在解分式不等式時，去分母是解題的關鍵，不必要時不可用去分母的方法求解.

不等式最高次項的系數對不等式的解集影響較大，因此在解不等式時，一定要先對最高次項的系數進行分類討論，或確定最高次項的系數的正負，然后將不等式變形為一次、二次方程，求得方程的根，再來確定不等式的解集.必要時可以畫出對應的一次函數、二次函數的圖象，借助圖象來分析不等式的解集.

（作者單位：甘肅省徽縣第一中學）