解答平面向量夾角問題的幾個(gè)辦法

葛瑋

平面向量夾角問題一般重點(diǎn)考查平面向量的基本運(yùn)算，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力有較高要求.一般情況下， 我們采用公式法來求解，當(dāng)遇到復(fù)雜的問題時(shí)，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，需要靈活運(yùn)用坐標(biāo)法和幾何法來求向量的夾角.下面我們結(jié)合實(shí)例進(jìn)行說明.

一、采用公式法

公式法是求解平面向量夾角問題的常用方法，主要是運(yùn)用公式 來求兩個(gè)向量的夾角.當(dāng) cos θ為負(fù)值時(shí)， θ為鈍角;當(dāng) cos θ為正值時(shí)， θ為銳角.在運(yùn)用定義法求解向量的夾角時(shí)，要先根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出向量的數(shù)量積，再分別求出兩個(gè)向量的模，最后將所得的值代入公式求得兩個(gè)向量的夾角

在運(yùn)用公式法求平面向量夾角時(shí)，要注意根據(jù)題意確定θ的取值范圍，從而求得正確的值.

二、利用坐標(biāo)法

若 ，則 與 夾角的坐標(biāo)表示為 .運(yùn)用坐標(biāo)法求解平面向量夾角問題，需先根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系，把所求夾角兩邊的向量用坐標(biāo)表示出來，通過坐標(biāo)運(yùn)算來求得平面向量的夾角.

例 2.已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為2，? 的夾角.

解：如圖1，以 B 為原點(diǎn)，BC 所在直線為 x 軸，AB 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系.

則 B（0，0），E（2，23），D（2，2）.

由 知 F 為 BC 的中點(diǎn)，

所以 F（1，0），故

所以 ，

則 的夾角為135°.

我們通過建立平面直角坐標(biāo)系，給各個(gè)點(diǎn)賦予坐標(biāo)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得 的坐標(biāo)， 便可根據(jù)夾角的坐標(biāo)表示求得夾角的大小.

三、借助幾何法

運(yùn)用幾何法求解平面向量的夾角問題，要抓住平面向量的幾何意義，繪制出合適的三角形和平行四邊形，然后靈活運(yùn)用三角形和平行四邊形的性質(zhì)和相關(guān)定理來解題.這就要求同學(xué)們熟記平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.

我們根據(jù)已知條件，分別以 為邊構(gòu)造三角形，根據(jù)向量減法的幾何意義找到 所對(duì)應(yīng)的線段，從而證明△OA′B′為正三角形，利用正三角形的性質(zhì)求得 的夾角.

上述三種方法都是求解平面向量夾角問題的常用方法，其中公式法是同學(xué)們用得較多的一種方法，也是基本方法;坐標(biāo)法、幾何法較為靈活，而運(yùn)用這兩種方法求解能夠有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.

（作者單位：江蘇省常州市金壇第四中學(xué)）