“雙管齊下” ,求四面體的體積

石磊

求四面體的體積問題側重于考查同學們的空間 想象能力和運算能力.要求得四面體的體積，需求得四 面體的高和底面的面積，然后運用四面體的體積公式 V = 1/3S底h 進行求解.下面以一道題為例，探討一下求 四面體體積的兩種方法.

則四面體 OEBF 的體積為_____.

雖然正方體為規則幾何體，但 四面體 OEBF 為不規則幾何體，其 底面的面積和高很難直接求得，需要通過其他途徑來 求解.這里有兩種方法：向量法和轉化法.

方法一：向量法

向量法是指在建立空間直角坐標系后，求出各點、 線段的坐標，通過向量坐標運算求得問題的答案的方 法.運用向量法求四面體的體積，需首先建立合適的空 間直角坐標系，然后分別求出相關點、線段的坐標，根 據線面的垂直關系建立關系式求得底面的法向量，便 能求得四面體的頂點到底面的距離.對于本題，我們可 以以正方體的一個頂點為原點，以與該頂點相交的三 條棱為坐標軸建立空間直角坐標系，求得各個點的坐 標以及底面 EBF 的法向量，進而得到頂點 O 到底面 EBF 的距離以及四面體的體積.

運用坐標法求四面體的體積，能有效地降低解題 的難度，我們通過空間向量運算便可求得結果，不足 之處在于增加了計算量.

方法二：轉換法

運用轉化法求四面體的體積，需根據線面的平行、垂直關系，將原幾何體的體積問題化為易求得底面面積和高的幾何體的體積問題.運用轉化法解題能將復雜、困難的體積問題轉化為簡單的體積問題.對于本題，由于四面體 OEBF 的高很難快速求得，我們需將問題進行轉化，過點 E 作平面 OBF 的平行線 EM ，將求四面體 E - OBF 的體積轉化為求四面體 M - OBF 的體積，再將四面體的頂點進行轉換，將求四面體 M - OBF 的體積轉化為求 O - MBF 的體積，進而求得四面體 E - OBF 的體積.

轉化法的本質在于根據幾何體等底等高的性質，將原幾何體的體積問題轉化為易求得底面面積和高的幾何體體積問題.其難點則在于合理添加輔助線.

我們通過兩種途徑解答了一道四面體體積問題.相比較而言，向量法較為簡單，但解題過程中的運算量較大，運用轉化法雖然能大大減少運算量，但很多同學不知該如何添加恰當的輔助線.總之，在求幾何體的體積時，我們可以雙管齊下，從兩個不同的角度思考解題的方案，提升解題的效率.

（作者單位：甘肅省蘭州第一中學）