解概率題的三種常用方法

傅云平

概率是高中數學中的重要內容，概率問題主要考查事件發生的幾率.概率問題一般比較抽象，解法靈活，很多同學在解題時不得要領，無法得到正確的答案.本文重點談一談解概率題的三種常用方法，以幫助同學們提升解概率題的效率.

一、枚舉法

枚舉法是指將所有可能的情況一一列舉，然后根據條件進行判斷，得出問題答案的方法.在運用枚舉法解答概率問題時，我們可以根據題意將所有可能的情況一一列舉出來，找出滿足題目要求的情況，再運用古典概型概率公式求出事件發生的概率.

例1.一個不透明的紙箱中裝有大小、形狀相同的紅、黑小球各一個，現進行摸球游戲，隨機摸取三次，每次摸取1個，每次摸取的球在下一次摸取前放回紙箱中.那么摸到1個紅球、2個黑球的概率是多少？

解析：每次摸到的小球不是紅球就是黑球，摸三次的結果一共有以下8種：①紅球、紅球、紅球，②紅球、紅球、黑球，③紅球、黑球、紅球，④黑球、紅球、紅球，⑤紅球、黑球、黑球，⑥黑球、紅球、黑球，⑦黑球、黑球、紅球，⑧黑球、黑球、黑球.其中摸到1個紅球、2個黑球的情況有3種，即摸到1個紅球、2個黑球的概率是 .

對于事件發生的情況較少的問題，我們采用枚舉法，把所有可能出現的情況一一羅列出來，再進行篩選，就不難得出正確的答案.運用枚舉法解題，能將混亂繁雜的概率問題簡單化.

二、圖象法圖象法是解答高中數學問題的常用方法，有些概率問題中事件發生的概率只與構成該事件區域的長度、面積、體積有關，此時我們很難計算出事件的個數，不妨采用圖象法來解題，首先根據題意畫出相應的圖形，然后借助圖形來分析問題，確定構成事件區域的長度、面積、體積以及實驗的全部結果所構成的長度、面積、體積，再根據幾何概型的概率公式進行求解.

例 2.A、B 兩人計劃一起爬山，他們約定早上5點至6點之間在校門口會面，誰先到就在門口等20分鐘，如果過了時間對方還沒有到就先行離開.請問A、B 兩人一起去爬山的概率是多少？

解析：5點至6點之間一共有60分鐘，我們可以用如圖所示的平面直角坐標系來呈現他們在校門口相遇的情況，用 x 軸表示 A 到達校門口的時間，y 軸表示 B 到達校門口的時間，若 A、B 兩人在校門口相遇，則|x-y|≤20，在平面直角坐標系中畫出兩條直線：|x-y|=20.正方形的面積表示早上5點至6點之間A、B兩人在校門口相遇的所有可能，上、下兩個三角形的面積即為A、B兩人無法在校門口相遇的可能，中間部分的面積則表示A、B兩人可以在校門口相遇的可能，由幾何概型概率公式可得A、B兩人在校門口相遇的概率為 .

我們借助圖形，將概率問題轉為平面幾何中的面積問題，通過求得正方形和中間部分圖形的面積，便可根據幾何概型概率公式求得A、B兩人一起去爬山的概率.運用圖象法解題能將抽象的問題直觀化、具體化.

三、間接法

有些問題直接求解較為困難或者比較復雜，此時我們可以利用間接法來解題，首先求出不可能發生的情況數，然后用總數減去它，便能快速求出事件發生的可能情況數，進而求得事件的概率.

例 3.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，如果兩人各擲一次，所擲骰子點數分別為m、n，則所擲骰子點數和m+ n<11的概率是多少呢？

解析：甲、乙兩人擲骰子，每個人擲骰子的結果都不受另外一個人結果的影響.所擲骰子點數和 m + n ≥ 11的情況只有3種：甲擲6點、乙擲6點，甲擲6點、乙擲5點，甲擲5點、乙擲6點.而甲、乙兩人擲骰子一共有 6×6=36種情況，則所擲骰子點數和m+n≥11的概率為 ，所以所擲骰子點數和m+n<11的概率為1- .

所擲骰子點數和m+n<11的情況相對較少，這兩個事件為對立事件，于是采用間接法，先求所擲骰子點數和 m + n ≥ 11的概率，再用1取減它即可得到問題的答案.

概率問題雖然難度不是很大，但綜合性較強，側重于考查同學們的邏輯推理能力、綜合分析能力.因此同學們在解題時要注意仔細分析問題，可根據解題需求將可能的事件一一列舉，或借助圖形來分析問題，或換個角度思考問題，采用間接法來解題.

（作者單位：江西省贛州市興國縣興國中學）