小學《數學廣角》“烙餅問題”的直觀教學研究

潘建標

摘要：基于小學生的認知基礎和認知特點，為落實課程標準中“重視直觀”的教學理念，遵循直觀性教學的原則，本文對直觀教學的圖示工具進行細化分層，由三維圖示過渡到二維圖示，進而抽象上升到一維圖示工具，并以人教版小學數學《數學廣角》“優化”主題單元課題——“烙餅問題”為載體進行教學實驗，展開研究。

關鍵詞：小學;數學廣角;烙餅問題;直觀教學

前言：“直觀只是教學的手段，而不是目的，不能把直觀當做目的，不能為了直觀教學而直觀，不是直觀越多教學效果會越好。應用直觀，特別是現代化的多媒體教學，有道不完的好處，但也有其局限性與不足”。由此可以說明，直觀性教學原則是指運用形象、可見的工具輔助學生進行知識表征，已經被我國教育學界廣泛認同，也將此運用于實際的課堂教學中，它傳統的經典意義已經深入人心。

一、化抽象為具體

小學生所處的認知發展水平有限，他們尚處于抽象具體發展階段，對數學中的抽象問題認識不清晰，借助于數學圖示，可以使抽象靜態的數學文字形象化、直觀化，可以構建數學抽象問題與生活具體問題的腳手架.以問題“把一個長方形水池的長增加4米，寬增加2米，這個長方形水池的面積都會增加24平方米，原來這個水池的面積是多少平方米？”為樣例，為了方便學生融入問題情境，教師常將題目中的數學語言轉化為如下幾何圖形，如圖所示，將增加的長與寬直接反映于新的直觀圖示，化抽象的圖形為具體的表象直觀圖示，降低難度，從而輕松解決問題。

二、化單一為豐富

小學生在認識數學問題時通常需要采用已有的學習材料作為支撐，即圖示支撐，而單一的圖示往往難以突出數學問題的本質，也就容易造成諸如“懂而不會”的教學現象，因此，教師需要豐富學生的學習材料，讓學生把握數學問題的本質，有效直觀的圖文結合便是常用的解決策略。在數學五年級上冊的“植樹問題”中，通過問題“在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹”，教材采用化歸思想，采用小步子原則簡化“100米”的難點，先考慮“20米”畫“植樹”實物圖進行教學，引導學生思考“間隔數”與“棵樹”的重點，卻忽視了其中的作圖關系，不妨考慮“線段”與“端點”之間的關系，構建“點”與“線”的有效直觀圖示，如圖所示，突破教學難點。

三、化模糊為清晰

對于比較抽象的數學問題，在小學生已有的認知圖式基礎上，存在一定的認知難度。通過構建學生熟知的數學圖示模型，加深學生對數學問題或知識本身的理解，讓學生從生活具體的例子中抽象出數學模型，更加清晰地把握知識本質，并加深對數學問題的理解。比如在“抽屜原理”的原理教學中，“把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎樣放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”，這是一個陳述性的命題，小學教學未必需要嚴格的證明過程，可如何讓小學生在已有的基礎上輕松理解，這亦是教學難點。

如上圖所示，教學不妨聯系“平均”一詞，學生可以借助“柱狀”直觀圖示，逐步理解掌握“平均分”達到“至少”二字的理解，并能夠學會用“有余數除法”這一數學形式直觀地表示出來。

文章將直觀性教學原則應用于小學數學教學，數學“圖示表征”作為數學知識“幾何直觀”的表征工具，它用簡潔明了的圖形來表示復雜的知識結構，形象地呈現各知識點之間的因果聯系，區分知識點的優先次序，并顯示其它有意義的觀點，從而提高學生對知識的理解。本文對直觀圖示表征的數學教學研究，是基于小學生的認知特點，從已有的圖示出發，其中包括實物圖、線段圖等由基本圖形組合而成的模型。

小學數學教材中最常見的直觀教學分析方法也是數學“圖示表征”，比如人教版教材中“烙餅問題”的情境圖引出題目，“烙餅圖”解釋其最優方案，形象地還原烙餅過程，卻沒有反映時間，因此人教版教材的圖示直觀不夠有效;北師大教材也恰好彌補了人教版教材的不足，將時間（3分鐘）標于每次烙餅圖示的下方，看似是完整的烙餅過程，既反映了烙餅方法，又能直接看到每次烙餅時間?？梢?，“圖示表征”在數學教學中發揮了很好的理解作用，它能幫助教師在教學過程中形象生動地展示生硬無趣的數學問題。然而教材只是對圖示的簡單表征，對實際問題實物化，用大圓表示平底鍋，其中以1，2，3號的小圓作為3張餅的示意圖，同時運用不同的顏色作為正反兩面。在第二次開展烙餅時，應該充分去利用平底鍋，逐步交替運用烙餅，來表示時間的多寡。這也使得烙餅的相關問題得以直觀的闡釋，能夠理解其實質過程，在畫餅的過程之中去理解其中的規律問題。

教材主要通過解決如何合理安排烙餅操作用時最少的問題，使學生體會優化的思想的實際應用。數學思想的滲透，基于圖示表征，是對實際問題的進一步升華，也是對生活問題數學化的過程，那就不僅僅是教材所示“烙餅圖”的實物化。

依托教材的“烙餅”，通過畫類似“餅”狀的“圓”圖，構建二維表象直觀圖示，如何從中抽離出更具有概括性的一維直觀圖示？在當今國內外關于線段圖的研究中，線段主要分為狹義和廣義兩種定義。在狹義上，“線段圖”是幾條長短不同的線段組合而成，直觀有效地表征情境問題中的復雜數量關系，以此降低解決問題的難度。大部分研究教育學的專家與學者將“線段圖”這樣定義：“一條或幾條線段組合在一起，線段的長短關系可以用來表示應用題中各種量之間數量關系的解題方法”。

四、結語

總之，關于“烙餅問題”直觀圖示的教學，采用實物表象直觀表征圖示與線段初級符號直觀表征圖示進行教學研究。第一，化抽象為具體，將抽象的數學問題具體化，能夠具體到某個點;第二，化單一為豐富，從一個數學問題看透其中的本質，學會解決某類數學問題;第三，化模糊為清晰，復雜數學問題的簡易化，可以清晰直觀的理解數學問題的解決過程。只有“圖示”的形象才具有教學普遍性，在教學過程中被吸取的可能性才會更多。

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