基于HPM視角下的高中數學概念教學的研究*

萬小燕

(江蘇省蘇州吳江汾湖高級中學 江蘇 蘇州 215000)

函數是高中數學課程的核心，高中人教版數學教材中幫助學生建立完整的函數概念，要求學生利用集合語言、對應關系去理解函數。但是從實際的教學情況而言，函數變量改變過于復雜，整體的學習效率低，如何高質量完成教學任務是目前教師要重點考慮的問題。對此，文章選擇HPM視角來分析函數概念教學，希望讓學生理解函數概念背后的人文精神，增強學習數學知識的自信心。

1.HPM視角下高中數學概念教學的作用

1.1 傳播數學文化。如何體現數學的文化價值，需要教師基于HPM視角進行綜合分析，例如在闡述數學建模的時候，將上世紀數學的發展和日常生活進行有效整合；講述函數知識時與變量結合，從小學開始，每個人所接觸的事物在變化，這是數學發展的一種體現形式。將函數和體檢心電圖進行對比，x為時間，y是生物電，將函數概念拓展到計算對象和性質層面，為學生日后的可持續學習奠定基礎。所以HPM視角下的函數教學，學生在探索中形成正確思維，體會到數學和生活的聯系，即便他們忘記了概念、公式，但是數學思想仍留存于他們心中。

1.2 完善函數知識結構。函數具有嚴密、抽象的特點，人教版數學教材所展現的函數例題大多經過加工、處理，對知識的發展并未做詳細說明，函數知識一般以公式、定理的形式存在，學生對概念認知非常模糊。雖然人教版必修1的26頁閱讀材料中介紹函數的發展過程，但是數學基礎薄弱的學生探索興趣低，教師沒有明確規定的情況下，學生不會認真閱讀。對此，教師要轉變思路，課堂上詳細闡述函數的形成過程，以醞釀期、形成期到成熟期三個階段為出發點，主動向學生介紹函數的發展，強化學生的認知結構，構建完善的函數知識學習框架。

2.基于HPM視角下高中數學概念教學策略

2.1 課前導入階段呈現HPM視角。知識的形成和現實生活有非常密切的聯系，為了讓學生認識到函數概念的意義，教師在教學開始前主動解釋函數在現實中的地位、價值，在HPM視角下回到歷史，重視函數發展歷程，為后續學習奠定思想基礎。而在具體實踐的過程中，教師從四個階段來刻畫函數概念的形成：

(1)解析式階段。18世紀，數學家研究函數改變，將x的不同次冪作為x的函數，接著拓展到x的代數式，《無窮分析引論》中Euler以解析式來定義函數，讓函數改變不再局限于代數式中。

(2)變量依賴階段。18世紀中期對函數解析式改變的認知提出了爭議，Euler也發現某些分段函數不符合這一規律，所以在“解析式”的基礎上進行完善，《微分基礎》中誕生了“函數變量依賴”的定義。

(3)變量對應。19世紀，Dirichlet將對函數概念有了重新定義，從“任意性”層面出發，認識到函數存在解析式和曲線，所以將函數作為任意變量的對應關系，并以“性狀極怪”的實例加以說明。這一理念的提出，打破了大眾對函數的刻板印象，它并非一個簡單的解析式，也并非簡單曲線。

(4)集合對應。19世紀集合論的存在，對函數又用了重新定義，假設E、F是兩個集合，可以相同，也能不同，函數是由定給關系所決定的。基于以上的歷史教學，選擇函數概念發展的關鍵時期做綜合闡述，從而讓高中生對這一章節的知識有更為清楚的認知。

2.2 課堂教學設計滲透HPM視角。HPM視角下的函數概念教學，除了在課前融入數學歷史外，還可以采用借鑒、重演的形式，幫助學生形成正確的數學觀。對此，教師列出三個函數案例，讓學生嘗試著以第二階段“變量依賴”的層面去分析：

(1)春季運動會女生100記錄統計表；

(2)常值函數y=0(x∈R)；

(3)Dirichlet提出的函數的特點為：x是有理數時，y=1，x是無理數時，y=0。

教師詢問學生如何看待第三個問題，兩個變量之間是否存在依賴關系，這三個案例就能發現是從“變量依賴”的角度去分析函數，但是不夠具體和詳細，同學們應該如何修改和完善。學生在討論中總結答案，將“依賴”變為“對應”，整個過程中，如若有兩個變量x與y，對x每個確定的值，y都有對應，所以x為自變量，y是x的函數。

2.3 課后訓練階段展現HPM視角。一堂課結束后，教師為了繼續培養學生的探索興趣，提出一些新穎的數學習題，鞏固課上學過的知識，或者是對函數知識進行適當的延伸和拓展。如求證：f(x)=2x2-3是偶函數；又或者是分析y=1和y=10是同一函數嗎？當學生在練習過程中重新回顧函數概念演變過程。從課后訪談情況而言，學生能準確區分初高中函數的不同點，而數學教師的分階段教學，讓學生更為深刻地感受函數概念的發展歷程。

結束語

HPM視角下的數學史呈現多元發展的趨勢，所以教師采用附加式教學法，順利融入函數概念，引發學生的情感沖突，逐步探討、分析的過程中構建完整的學習框架。需要注意的是，HPM視角下的教學理論，并非只適用于函數方面，也能應用到對數、概率等知識中，希望教師擁有豐富的數學素養，靈活運用，發揮出數學史的現實價值。