初中生幾何證明的常見問題及解決策略*

汪雪梅

(陜西省漢中市南鄭區高臺鎮初級中學 陜西 漢中 723000)

引言

初中幾何以推理證明為教學的主要內容，旨在培養學生的邏輯思維能力，發展數學核心素養。但是，由于幾何推理本身具有系統、嚴密、抽象的特點，一直被認為是一門較難的學科。特別是學生開始系統學習形式化演繹推理之后，問題表現更為突出。幾何證明成了部分學生學習的瓶頸。本文結合教學實際，對初中生在幾何證明中所出現的常見問題進行闡述，并提出相應的教學解決策略，以期對廣大同行的教學有所幫助。

1.問題闡述

1.1 證明的語言不精煉，書寫不規范。此類現象主要表現在學生不能熟練使用幾何符號語言進行描述，過多使用文字語言，條件、結論和理論依據混淆不清，沒有嚴格按照要求規范書寫。例如在利用平行四邊形的性質推兩對角線互相平分時，學生描述為“因為四邊形ABCD是平行四邊形，AC和BD是對角線，平行四邊形的對角線互相平分，所以OA=OC,0B=OD”，表面上看，學生的邏輯清晰，有理有據。實際上，這種推理方式只能稱之為“說理”，而非證明。這樣的書寫的最大弊端就是整個過程看起來非常繁瑣，且一旦遇到復雜、過程較長的證明題，書寫量過大，條理不容易表達清楚。

1.2 證明的邏輯不嚴密，僅憑直覺進行推理。這種情況主要體現在學生對于一些自認為正確的結論，在解題時不加證明，直接使用。例如圖1中，已知E為AB的中點，DE∥BC，求證AD=BD。學生的證明過程如下：

∵E為AC的中點，且DE∥BC

∴DE是△ABC的中位線

∴AD=BD

顯然，此過程的第一步是學生憑借直觀感覺所得。雖然利用已知條件確實可得DE是△ABC的中位線，但是須結合其他定理具體證明，不能“想當然”。幾何證明重在體現執因索果的過程，培養思維的嚴密性，誠如上述這般直截了當，倒不像是證明，更像是概括命題。

1.3 證明的方法不簡潔，不能學以致用。幾何證明題的解題思路通常不止一種。學生由于思維的局限性及證明習慣，往往會選擇自己常用的方法，而不去進行思考和比較哪種方法更簡單。例如，在證明線段的垂直平分線的判定定理時，用等腰三角形的“三線合一”定理是非常簡潔的，但是實際教學反映的情況是，有6成以上學生更愿意選擇用三角形全等證明。方法雖然可行，但卻將簡單的問題復雜化，入了定理重復證明的誤區。

1.4 證明復雜問題時毫無思路，條理不清。許多學生在學習幾何證明時，對于簡單的題目還能獨立完成，一旦遇到較為復雜的幾何證明題就會“卡殼”，要么毫無思路，無從下手，或者有思路卻不能完整的寫出證明過程，需要有他人的幫助才能完成。究其原因，主要是學生的頭腦中缺乏知識的歸納和方法的積累，不能夠將知識靈活應用，導致幾何思維能力水平較弱。

2.教學應對策略

2.1 加強幾何語言的訓練，規范書寫要求。符號語言、圖形語言和文字語言是數學常用的三種語言，在幾何證明時，我們常用文字語言來陳述題設和結論及推理的理論依據，輔以圖形來直觀體現各要素的結構特征和相互間的關系，而主要用幾何符號語言來描述推理的過程。要在學生開始學習“圖形與幾何”時就刻意訓練學生三種語言之間的轉換。并在學習證明的起始階段就要求學生用規范的符號語言書寫證明過程，熟練掌握三段論推理形式，逐步培養學生用“簡潔的數學語言清晰的表達世界”的習慣。

2.2 培養學生的嚴謹的邏輯思維習慣。證明過程講究嚴謹性，要求做到步步有據，這里所謂的“據”就是證明的出發點即公理，以及已證得的正確命題即定理。要在平時教學中多問“為什么”，引導學生暴露思維過程，教會有條理地表述問題。讓學生認識到觀察和猜想是獲得結論的有效途徑，但要說明結論的正確性，必須要有憑有據，講清道理，也就是要證明。在強調證明必要性的同時，逐步培養學生的幾何推理能力。

2.3 注重知識和方法的更新，通過對比進行優化。學生證明方法過于保守，這就需要教師在教學中有效引導。一方面，我們在教授幾何概念和定理時要讓學生了解所學知識在解決問題時的作用，并有意識地通過適量的練習加以強化應用，讓學生在新知識與方法的應用上積累足夠的活動經驗；另一方面，當同一個命題有多種證明思路時，可讓學生將多種方法進行比較和討論，體會不同方法的優缺點。激發學生對數學證明的興趣，發展思維的廣闊性和靈活性。

2.4 學會方法歸納和建構，打開證明的思路。想讓學生在面對問題時心中有“法”，首先要從證明方法的總結和歸納入手。例如，在學習了三角形中位線的性質定理時，要逐步引導學生總結：中位線性質定理的作用是判斷兩條線段之間的位置關系(平行)和數量關系(倍半)的；并適時追問：根據現在所學，判斷兩直線平行都有哪些方法？判斷兩線段之間存在二倍的數量關系又有哪些方法？目的是及時將所學知識納入學生原有的知識體系，實現知識的建構和方法的遷移。

其次，對于較復雜的證明題，筆者在教學中嘗試應用畫步驟圖的方法，即先讓學生像列作文提綱那樣，把證明思路用簡單的符號和文字記下來，再進行具體的證明過程書寫。這種方法可以讓學生用較短時間理清思路，避免由于反復修改而造成條理不清，書寫凌亂的情況。

結語

范·希爾理論指出，學生幾何思維水平的發展在很大程度上取決于課程教學，并需要有教師的指導。因此，幾何教學中要多從學生的實際情況出發，因勢利導，針對問題制定切實有效的對策，這樣才能提升學生的推理能力，使得幾何證明不再成為學生數學學習的難點。