應用題教學中培養高中生數學建模素養的策略分析

【摘 要】 當前，高中生的數學建模教學是我國教育工作者共同關注的一個熱點問題，但是我國高中生的數學建模教學現在仍然處于起步階段，存在著諸多急需解決的問題。本文從當下高中生在數學建模教學中所存在的問題出發，提出了四個高中數學教師在應用題教學中開展建模教學的策略，然后結合全國高考題對高中生數學建模教學的內容進行具體的分析，最后為高中數學教師實施高中應用題數學建模教學提供了有效性的策略總結。

【關鍵詞】 高中生? 數學建模教學? 策略? 應用題? 數學模型

1. 實施高中數學建模應用題教學的原因

近年來，數學建模在國際上受到了越來越多的關注，數學建模在社會實踐生活當中的應用也越來越廣泛，我國許多的中學陸續進行數學建模教學的探索與實踐，并且越來越多的高考應用題需要一定的數學建模能力才能進行解答，因此將建模思維融入高中數學應用題的學習，從而將零散的數學知識結構化，將雜亂的數學思維變得有章可循，這在高考數學應用題教學中是值得探索與學習的。

數學建模在高考應用題教學中的重要作用主要是利用函數模型和方程不等式知識去解決最值問題;利用數列模型解決增長率問題;利用三角函數模型解決具有周期現象的實際問題;利用概率統計模型解決產品質量檢驗問題;利用幾何模型解決表面積、體積、空間距離，圓錐曲線問題等。比如2015年全國卷出現了產品銷售利潤和經濟效益問題，此題考查回歸方程知識點，一些選擇題和填空題中也不乏出現需要構建數學模型去求解，比如2007年浙江卷理科數學的第四道選擇題，涉及到圓面積的新運算問題，可以用數學建模的思維進行求解。

因此，不管對于教師或者是學生來說，總結出一套行之有效的高中數學建模應用題教學策略是很有必要的。

2. 實施高中數學建模應用題教學的策略

由于高中生對數學建模的陌生感，數學建模題目冗長，專業術語多，數據雜亂無章，題干關鍵信息提取困難等一系列原因，學生們通常對其有懼怕心理，所以教師自身要培訓學習，了解學生學習數學的認知規律、路徑和方法，研究數學學科內部的知識結構，知道如何去把數學建模素養融入學生日常的課堂教學中，有以下四點：

2.1 日常授課過程中引導學生的建模思維，培養學生建模的意識

高考題中的絕大部分應用題都可以用建模的方法去解答，新課標非常重視學生的數學建模素養，因此在日常授課過程中引導學生從實際問題中應用數學建模的思想，從而體會到數學建模的好處，是非常有效的一條途徑。高考題中經常出現的人口增長模型，一般是以指數函數的知識點進行解答，倘若利用指數函數模型便可輕松進行解答。這樣不僅使學生在實際情景中體會和應用了指數函數的相關內容，更重要的是讓學生知道以后在遇到類似題目時，可以從數學建模的角度去思考解決問題。比起單調的傳授指數函數，這種在日常課堂中構建模型的教學方法，顯然是非常有趣且實用的。

2.2以實際生活情境為背景，促使學生認識到數學建模在生活中的應用價值

由于高中生在開始的時候，不能把學習的知識與社會生活實踐聯系起來，因此學生對于應用數學建模去解決實際應用題的難度是比較大的。所以創設適當的生活情境，在此問題情境中去啟發學生用數學建模的思維去分析問題和解決問題，使得學生對于數學建模的應用價值有著更加深入的體會，才能達到好的教學效果。

比如對于父母去商場購物的多種優惠方案，如果學生用數學建模的方法去進行分析計算就可以得出最優的購買方法，這種常見的生活情境的滲透，使高中生直截了當地意識到數學建模在自己實際生活中的應用是非常廣泛且常見的。因此，教師可以從自己的日常生活中構建生活情境，結合學生的興趣，更好地引導高中生學習數學建模。

2.3 成立建模小組，學生間分享合作共同完成任務

成立建模小組的目的是讓高中生之間互相幫助、共同進步。因為每個同學的優勢是不一樣的，有些同學在審題和提取關鍵信息方面思路清晰，有些同學在構建模型方面思維敏捷，有些同學在求解模型上方法簡便快捷，同學之間各司其職，發揮所長，卻又分享方法，互相促進，共同完成數學建模應用題，在這個過程中，不僅收獲了知識和能力還加深了同學間的友誼。

2.4 組織數學建模應用題的比賽，鼓勵學生參加并設置獎勵

設立比賽和獎勵是激發學生學習數學建模的有效手段，學生在參加活動的過程中不僅增長了數學建模的知識和提高了數學建模的能力，還獲得了成就感，從而能夠有著更大的熱情把數學建模應用到實際問題中去。當然設立比賽有幾點注意事項：首先是要建立完整合理的賽制，得到學校與學生的支持，然后是要進行小組的組建，把數學建模的學習能力特點不同卻又互補的學生組合在一起，進行專門的訓練才能在比賽中取得好的成績，最后是比賽的獎品方面，對于在活動中表現出色的學生及其教師，學校可以給他們頒發榮譽證書，并且將這份榮譽寫入他們的檔案，這不只是對學生建模能力和教師教學能力的肯定，也會激發更多的教師和學生學習數學建模，推動高中數學建模教學的長遠發展。

3. 高中數學建模應用題教學的具體內容分析

3.1數列模型

高中數列模型與平均增長率和利率等實際問題有關，可以把實際問題抽象為等差數列模型或者等比數列模型。

高中數列模型應用題教學思想分析：首先根據題目所給出的相關信息，啟發引導學生聯系生活實際將題目中的實際問題抽象轉變為數學問題，從而構建恰當的數列模型，之后可應用數列的概念和性質進行模型的求解，例如2007年安徽卷理科數學的壓軸題：

某國的養老儲備金制度：公民就業一年交納的養老儲備金數目為a1，之后每年交納的數目均比上一年增加d（d>0），故歷年所交納的儲備金數目a1·a1...是一個公差為d的等差數列。與此同時，國家給予優惠的計息政府，不僅采用固定利率，而且計算復利：設固定年利率為r（r>0），則在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a1（1+r）n-1，第二年所交納的儲備金就變成a2（1+r）n-2，…，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額。寫出Tn與Tn-1（n≥2）的遞推關系式。

考點分析：本題考查了數列遞推式，數列在利率方面的應用，等差關系的確定等高考重難點，解題的關鍵是將利率問題轉化為數學問題從而正確地構建數列模型，還要考慮到每一年末所累計的儲備金總額的計算方法。

模型的分析與求解：由在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a1（1+r）n-1，第二年所交納的儲備金就變成a2（1+r）n-2可知，第1年末所累計的儲備金總額T1=a1（1+r）0，第2年末所累計的儲備金總額T2=a1（1+r）1+a2（1+r）0。第n-1年末所累計的儲備金總額Tn-1=a1（1+r）n-2+a2（1+r）n-3+…+an-1（1+r）0，第n年末所累計的儲備金總額Tn=a1（1+r）n-1+a2（1+r）n-2+…+an（1+r）0，將Tn與Tn-1比較化簡得到Tn=Tn-1（1+r） + an （n≥2）。

3.2函數方程不等式導數

高中數學建模與函數方程不等式的應用相關的有：函數最值模型，比如用料最省、成本最低、利潤最大等實際問題，高中經常應用到的函數模型包括二次函數模型、分段函數模型、指對冪函數模型等。

函數模型應用題教學思想分析：首先帶領學生審題，把實際問題轉化為數學問題，從中得出確定的數量關系，啟發學生選擇建立適當的函數模型;之后學生利用函數、方程、不等式以及導數等基礎知識求解數學模型，從而得出結論，例如2009年江蘇卷的 19題：

若一個人生產某產品單件成本為a元，他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為;如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為;若一個人對這兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為。現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品的單價分別為mA元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙。求h甲和h乙關于mA和mB的表達式。

知識點分析：本題主要考查學生對函數定義的掌握情況，學生的數學建模能力、抽象概括能力以及數學材料閱讀能力。

模型的分析與求解：閱讀材料可知，甲對賣出的滿意度為h1，對買進的滿意度為h2，則甲買進A與賣出B的綜合滿意度? ?h甲=，而h1=，h2=，故h甲=×=。同理，h乙=×。

3.3 概率統計

概率統計模型應用題教學思想分析：首先要審題，注意文字、圖表和符號語言之間的轉化，從而根據概率統計知識建立相應的模型進行求解，之后根據實際情況進行模型的檢驗。

高考概率統計應用題是對課本的基礎應用題進行適當的組合、變式和拓展，從而改變為情境新穎、問題巧妙、貼近學生日常生活的題目。這類試題數據雜亂繁多，材料專業術語多，故不易理解和作答，恰好可以用數學建模去解決。

高中概率統計教學中融入數學建模思維，需要從實際問題出發，對概率統計方法進行理解和應用，從而提高學生的推導計算能力，聯系實際，處理分析數據的能力。高中常見的概率統計實際問題有彩票中獎，系統可靠性，經濟效益，產品利潤等問題。

利用數學建模思維來解決概率統計方面的高考題，能夠科學高效地解決概率統計的高考學習，例如2018年全國卷2理科數學的18題：

某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖如下

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型，根據2000年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型1： =-30.4+13.5t;根據2010年至2016年的數據（時間變量/的值依次為1.2，…，7）建立模型2：=99+17.5t。這兩個模型用哪個模型得到的該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值更可靠？

知識點分析：本題考查高中數學回歸直線方程的應用，學生的分析、處理數據的能力、利用線性回歸方程構建數學模型的能力，以現實生活情景為背景，設計的問題貼近學生的日常生活，如何利用所學知識合理的建立或選擇適當的數學模型以及如何利用數學模型解決所求的問題，是對學生數學建模素養的一種綜合考查。

模型的分析與求解：

一方面，從折線圖的角度來看， 2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線=-30.4+13.5t上下，證明模型1不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢。

而2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加。 2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線=99+17.5t的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，模型2：=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型2得到的預測值更可靠。

另一方面從計算結果的角度來看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型1得到的2018年的環境基礎設施投資額的預測值=-30.4+13.5×19=226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型2得到的2018年的環境基礎設施投資額的預測值=99+17.5×19=256.5億元的增幅比較合理，說明利用模型2得到的預測值更可靠。

4. 教學建議

通過以上對在高中數學應用題教學中培養學生數學建模素養的策略的分析，我有以下五點感想：

4.1在高中數學建模應用題教學中，教師要做學生的引導者，引導學生根據生活實際去構建合適的數學模型，解決問題過程中所用到的知識、思想、方法應與高考數學知識點有聯系。

4.2高中數學建模問題具有生活化的特點，提供的信息和數據量非常大，因此，計算機信息技術在問題解決的過程中是必要的。應用計算機信息技術，學生能夠更加方便地進行模型的求解過程，例如教師可以簡要地介紹MATLAB和lingo軟件在高中數學方面的功能，以此激發學生學習數學建模的興趣，為以后學生在大學生活當中學習數學建模打下基礎。

4.3由于高考數學建模應用題更追求實踐性，所以教師應該關注新情境應用題，注重題目的背景研究。教學中，創設新穎的、緊扣時代氣息的問題情境，充分利用數學教材上的一些背景改編一些應用問題。

4.4高考應用題的閱讀量越來越大，要提高學生的數學題目材料審題能力。所以教學中，要加強學生的審題意識，信息提取加工能力，快速掌握有用信息，提高材料閱讀效率。

4.5加強應用題模型教學，總結高中數學建模應用題解題方法：

4.5.1閱讀題目，提取有用信息。

4.5.2把實際問題轉化為數學問題。

4.5.3利用高中數學知識點構建合適的數學模型，找到關鍵變量，建立相關變量之間的相等關系或者不等關系。

4.5.4對數學模型進行計算求解。

4.5.5對計算結果進行回歸檢驗，檢查是否滿足實際情況，如果與實際情況相差太大，繼續優化數學模型并再次求解。

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作者簡介：高賽，女，1996年7月生，漢族，山西忻州人，湖北省荊州市長江大學信息與數學學院學科教學（數學）專業一年級? ? 研究方向：數學教學論。