賞析一道新高考壓軸題及其解法

廖永福　林永志

摘要：2020年，山東、海南率先使用以核心素養為導向的新高考全國卷，2021年，江蘇、湖北、福建等8個省市也將加入其中.本文試圖通過對一道新高考數學壓軸題的研究，從一個側面了解新高考的命題趨勢，推動學生數學關鍵能力和核心素養在教學中的落實，助力高中育人方式的改革.

關鍵詞：新高考;導向;壓軸題;解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0040-02

這是2020年山東省新高考數學填空壓軸題，也是一道立體幾何中的軌跡問題.題目簡短無圖，中規中矩，但包含的信息量較大，考查的知識點較多.平淡中還暗藏玄機，有一定的難度，屬中檔題.

本題考查直棱柱的結構特征、直線與平面垂直的判定和性質、扇形的弧長公式;考查作圖和計算能力、推理論證和空間想象能力;考查數形結合思想、化歸轉化思想、函數與方程思想等.

解答此題除了必要的知識儲備外，正確作圖、準確理解題意也是重要的一環，有些考生把球面與側面BCCB的交線誤解成球面與平面BCCB的交線，結果前功盡棄.下面給出這道題的四種解法，希望能夠起到拋磚引玉的作用.

解法一利用圓的定義解題

解法二緊扣球的截面的性質，首先明確球面與平面BCCB的交線是球的小圓，小圓圓心是球心D在平面BCC1B1內的射影，即棱BC的中點E，根據小圓半徑、球半徑以及面心距之間的關系，求出小圓半徑，進而解決問題. 此法大道至簡、大巧若拙，是最本質的一種解法.

解法三通過建立平面直角坐標系，根據球面與平面BCCB交線上的點所應滿足的等量關系，求出交線的方程，進而解決問題，這是幾何問題代數化常用的一種方法.

解法四巧妙地引進向量，利用向量模的性質得到球面與平面BCCB交線的方程，此法算是博采了代數和幾何的精華，過程簡潔明了、曲徑通幽.

上述四種解法各有千秋，又聯系緊密，它們都是解決立體幾何軌跡問題的常用方法.可以看出，解答這類問題的關鍵是要善于把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何、解析幾何以及空間向量等知識求解.

參考文獻：

[1]黃曉琳.一道高考壓軸題的分析與反思[J].數學通報，2020（2）：42-45.

[2]方炫蘇.立體幾何中的軌跡問題[J].數理化解題研究，2016（28）：19-20.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.