解答數(shù)列求和問(wèn)題的三個(gè)妙招

駱國(guó)峰

數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)學(xué)高考試卷中必考的問(wèn)題，也是同學(xué)們必須熟練掌握的題目.一般地，數(shù)列求和問(wèn)題中給出的通項(xiàng)公式都較為復(fù)雜，涉及的數(shù)列都是非常規(guī)的等差、等比、常數(shù)數(shù)列，因此在求數(shù)列的和時(shí)，我們需將通項(xiàng)公式或者和式變形，運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等技巧，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等比、等差、常數(shù)數(shù)列的求和問(wèn)題或簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題，這樣才能順利求得數(shù)列的和.

一、倒序相加

有些數(shù)列的首尾兩端等距離的兩項(xiàng)之和等于首尾兩項(xiàng)之和，即a1 +an=a2+an-2=a3 +an-3…=an-m+am此時(shí)可采用倒序相加的技巧來(lái)解題，分別列出數(shù)列的正序和Sn=a1+a2+…+an與倒序和Sn=an+an-1+…+a1，然后將兩式相加，使得2Sn=（a1+an）+（a2+an-2）+…+（an-1+a1）=n（an-1+a1），只要求得a1+an的值，便可求出數(shù)列的和Sn.

例1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=l，S4 =4S2，若am+am+l+am+2+…+am=9=180 （m∈N'），求m的值.

解：設(shè)數(shù)列{an}公差為d，由s4=4S2可得4a1+6d= 8a1+4d，即d=2a1.

①

②

將①+②可得，

{an}為等差數(shù)列，

解答本題運(yùn)用了倒序相加的技巧，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到首尾等距離的兩項(xiàng)之間的關(guān)系am+am+9=am+1+am+8=…=am=9+am，從而建立了新的關(guān)系式，求得m的值.

二、錯(cuò)位相減

錯(cuò)位相減的技巧常用于解答an=bncn，其巾{bn}為等差數(shù)列，{cn}為等比數(shù)列的求和問(wèn)題.在解題時(shí)，我們需要在和式的左右同乘以等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)開(kāi)一位，將兩式作差，再利用等比數(shù)列的求和公式求得{an}的通項(xiàng)公式.若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，需分公比為0和不為O兩種情況進(jìn)行討論.

例2.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+ 2a2+3a3+…+nan

若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=

，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解：

①

②

將①一②可得，

解答本題兩次運(yùn)用了錯(cuò)位相減的技巧，首先運(yùn)用錯(cuò)位相減的技巧求得an的通項(xiàng)公式，然后再次利用錯(cuò)位相減的技巧求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

三、裂項(xiàng)相消

一般而言，裂項(xiàng)相消的技巧常用于解答含有分式或者對(duì)數(shù)的數(shù)列問(wèn)題.首先，需將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差的形式，然后進(jìn)行求和.這樣在求和時(shí)，中間的部分項(xiàng)會(huì)被抵消，通過(guò)化簡(jiǎn)就可求得數(shù)列的和.

例3.已知an=（一2）n，若數(shù)列{bn}中bn=

之差的形式，然后進(jìn)行求和，便能快速求得結(jié)果.

運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消三種技巧都能解答數(shù)列求和問(wèn)題.但是三種技巧適用的問(wèn)題并不相同，同學(xué)們要注意總結(jié)歸納，這樣在解題時(shí)才能快速找到正確的解題方法和思路.

（作者單位：江蘇省大港中學(xué)）