解答數列求和問題的三個妙招

駱國峰

數列求和問題是數學高考試卷中必考的問題，也是同學們必須熟練掌握的題目.一般地，數列求和問題中給出的通項公式都較為復雜，涉及的數列都是非常規的等差、等比、常數數列，因此在求數列的和時，我們需將通項公式或者和式變形，運用倒序相加、錯位相減、裂項相消等技巧，將問題轉化為常規的等比、等差、常數數列的求和問題或簡單的運算問題，這樣才能順利求得數列的和.

一、倒序相加

有些數列的首尾兩端等距離的兩項之和等于首尾兩項之和，即a1 +an=a2+an-2=a3 +an-3…=an-m+am此時可采用倒序相加的技巧來解題，分別列出數列的正序和Sn=a1+a2+…+an與倒序和Sn=an+an-1+…+a1，然后將兩式相加，使得2Sn=（a1+an）+（a2+an-2）+…+（an-1+a1）=n（an-1+a1），只要求得a1+an的值，便可求出數列的和Sn.

例1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1=l，S4 =4S2，若am+am+l+am+2+…+am=9=180 （m∈N'），求m的值.

解：設數列{an}公差為d，由s4=4S2可得4a1+6d= 8a1+4d，即d=2a1.

①

②

將①+②可得，

{an}為等差數列，

解答本題運用了倒序相加的技巧，根據等差數列的性質得到首尾等距離的兩項之間的關系am+am+9=am+1+am+8=…=am=9+am，從而建立了新的關系式，求得m的值.

二、錯位相減

錯位相減的技巧常用于解答an=bncn，其巾{bn}為等差數列，{cn}為等比數列的求和問題.在解題時，我們需要在和式的左右同乘以等比數列的公比，然后錯開一位，將兩式作差，再利用等比數列的求和公式求得{an}的通項公式.若等比數列的公比為參數，需分公比為0和不為O兩種情況進行討論.

例2.已知數列{an}滿足a1+ 2a2+3a3+…+nan

若數列{bn}滿足bn=

，求數列{bn}的前n項和Sn.

解：

①

②

將①一②可得，

解答本題兩次運用了錯位相減的技巧，首先運用錯位相減的技巧求得an的通項公式，然后再次利用錯位相減的技巧求得數列{bn}的前n項和Sn.

三、裂項相消

一般而言，裂項相消的技巧常用于解答含有分式或者對數的數列問題.首先，需將數列的通項公式裂為兩項之差的形式，然后進行求和.這樣在求和時，中間的部分項會被抵消，通過化簡就可求得數列的和.

例3.已知an=（一2）n，若數列{bn}中bn=

之差的形式，然后進行求和，便能快速求得結果.

運用倒序相加、錯位相減、裂項相消三種技巧都能解答數列求和問題.但是三種技巧適用的問題并不相同，同學們要注意總結歸納，這樣在解題時才能快速找到正確的解題方法和思路.

（作者單位：江蘇省大港中學）