三維圖靈圖案的數值模擬

高仁祥

摘要：本文主要研究了布魯塞爾模型，討論了霍普夫分岔和圖靈分岔分別為超臨界和亞臨界時的情況，發現全局振蕩在空間上失穩后形成了振蕩的圖靈圖案;在圖靈和霍普夫分岔都是亞臨界的區域，通過施加周期性外力也可產生振蕩的圖靈圖案。這些圖案大部分在時空上都呈周期性。本文首次在三維體系中探索了圖靈圖案的結構、形成以及基本規律。

關鍵詞：圖靈圖案;振蕩;分岔

1. 引言

1952年，被后人稱為計算機理論之父的英國著名數學家阿倫·圖靈 （ Alan Turing ） 在其論文“形態形成的化學基礎”中，從數學的角度表明在反應擴散系統中，穩定均態會在某些條件下失穩，并自發產生空間定態斑圖，后人以其名字命名為圖靈圖案（ Turing Pattern ）。由于圖靈圖案和自然界中的某些圖案非常相似，如動物體表的花紋和植物的花朵等。因此對圖靈圖案的研究有助于了解動物體表花紋形成的過程和植物的花朵的形成機理，有助于我們早日揭開大自然的“神秘面紗”。三維圖靈圖案比起一維和二維更接近于真實的生物體系，因此對三維圖靈圖案的研究可以幫助我們深入探求生命體系中的非線性本質和斑圖形成的基本規律，揭示生命體系中深層次的動力學機理。通過對一些斑圖動力學中建立的數學模型進行數值模擬和理論分析，可用于指導斑圖動力學實驗研究，揭示斑圖動力學機理和實現復雜化學反應的調控，即現象的確證和調控。

2.模型計算

2.1 計算模型及理論分析

首先用原始的布魯塞爾子模型，然后在原始的布魯塞爾子模型上加了周期性外力項，來探索周期性外力對圖靈圖案的影響。

2.2 模擬結果

模擬使用128×128×128的空間網格，周期性邊界條件，時間步長為 0.002 5，空間步長為 0.5。如果 Du > 6.3，體系是全局振蕩，當 Du 在 6.0 和 5.7 附近時，分別為振蕩的立體網狀圖案（圖2（a）-2）和振蕩的缺陷網狀圖案（圖2（a）-3），物質u的時間序列分別為周期2和準周期如圖2（b），它們均為超臨界。隨著逐漸減少 Du 的值，規則的靜態圖靈圖案就會出現：由排列無歸的靜態圓球狀圖案到靜止的迷宮型圖案，最后為靜止的致密迷宮型圖案，它們都是在遠離圖靈分岔線區域形成的。先前楊靈法等在二維體系中研究過布魯塞爾子，他們也在遠離圖靈分岔線的區域得到了振蕩的四邊形、六邊形和全局振蕩圖案，并且這些圖案的時間序列都是周期二，在空間相位上相差半個相位，本實驗在三維里模擬出來的振蕩圖案的時間序列與楊靈法等很相似，但是三維里的振蕩圖案和二維里的卻有很大差別，這主要是因為體系的模在相位的選擇上有都了一個維度，因此形成的圖案也更加復雜。另外一個三維體系不同于二維體系的顯著不同是三維體系里出現了準周期（圖2（b）-1）。這些振蕩的區域都是出現在霍普夫分岔的超臨界區域。

在霍普夫分岔和圖靈分岔的亞臨界區域從理論上分析是穩定區域，但是當施加周期性外力后也能形成振蕩的圖靈圖案，即方程（1）中 > 0 時能形成周期性振蕩圖案。圖3所示圖案是圖1中第7點在施加外力時的振蕩圖案，我們施加的固定大小外力= 0.15，改變施加外力的頻率的大小。=0.38時出現粗大圓管立體網狀振蕩的圖案，=0.42和=0.43時的圖案均為普通的空間六邊形網狀結構，繼續增加外力的頻率，=0.44時為類似與金剛石的立體網狀結構圖案，這些圖案的的對應的時間序列均為周期2。當改變施加外力的大小時也能形成時間序列為周期2的振蕩的圖靈圖案，例如在α=0.12 ， 0.17和 0.20 時均可形成類似的圖案。圖3（b）所示的圖案是圖3（a）-4所對應的圖案的完整周期，在這個完整的周期圖案中，與+T/2對應的圖形很相似但并不完全相同，它們在空間的相位上相差 1/2 個相位，即=0.44時對應的圖案為時空振蕩圖案，它們的振蕩模式均為周期2。同時改變 和時，出現的振蕩模式也是時空均為周期2振蕩的時空振蕩圖案。

3.結論

（1） 本文使用布魯塞爾模型研究了霍普分岔和圖靈分岔分別為超臨界和亞臨界的情況，全局振蕩在空間上失穩后會形成振蕩的圖靈圖案。

（2） 在圖靈和霍普分岔都是亞臨界的區域，通過施加周期性外力也可產生振蕩的圖靈圖案，這些圖案大部分在時空上都呈周期性。

（3） 本文對如何在實驗上產生三維的振蕩圖靈圖案也有一定的幫助。例如，對于凝膠反應器中的次氯酸—碘化物—丙二酸反應體系[8]，可以從略高于霍普夫分岔線的區域改變體系的參數，從均一穩定的狀態變化到全局振蕩。然后，逐漸改變反應器中反應物的濃度接近圖靈分岔線（就如圖1（a）中從第1點變化到第4點）。

參考文獻

[1]Turing A M. The chemical basis of morphogenesis[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. B，1952，327，37-72

[2]Alonso S，Sagués F and Mikhailov A S. Taming Winfree Turbulence of Scroll Waves in Excitable Media[J]. Science，2003，299，1722-1725

[3]Karttunen M，Elder K R and Tarlie M B，et al. Instabilities and Resistance Fluctuations in Thin Accelerated Superconducting Rings[J]. Phys. Rev. E . 2002，66，026115-026123

[4]Mínguez D G，Sagués F，Casademunt J，et al. Nonequilibrium Unfolding of Polyelectrolyte Condensates in Electric Fields [J]. Phys. Rev. Lett. 2003，90，128301-128309

[5]W. van Saarloos. Front Propagation into Unstable State[J]. Phys. Rep. 2003，386，29-222

[6]Yang L F，Zhabotinsky M A，Epstein I R. Stable Squares and Other Oscillatory Turing Patterns in a Reaction-Diffusion Model[J].Phys. Rev. E，2004，92，1983031-1983034

[7]歐陽頎. 反應擴散系統中的斑圖動力學[M]. 上海：上海科技教育出版社，2000.1-189

[8]Janda K D，Shevlin C G，Lerner R A. Antibody Catalysis of a Disfavored Chemical Transformation[J]. Science，1993，259，490-493