面向智能應用的離散數學教學研究

余瀚 孔令軍 王志偉 李琦

摘要：《離散數學》是計算機相關學科的核心基礎課程，對培養學生的邏輯思維能力、抽象思維能力和理論結合實際的能力等有著不可或缺的作用。針對智能應用日益增長的需求，立足于國際工程教育改革發展前沿，該文用實例探討離散數學和人工智能時代相關應用之間的緊密聯系。通過教學改革，可以激發學生學習理論課程的興趣，以解決問題為導向提高學生的動手能力，客觀提升教學雙方的參與度，強化相關知識點的應用能力。在大數據和深度學習日益飛速發展的今天，強化面向智能應用的離散數學教學，可以更好地構建具有中國特色的計算機專業人才培養模式。

關鍵詞：大學教育;離散數學;智能應用;實踐教學

中圖分類號：G642 ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）31-0235-02

目前，我國大學的教學科研處在“十四五”開局和“二零三五遠景規劃”的關鍵時期，國家最近出臺的相關教學指導方案對高校的教育工作有十分重要的指導作用。離散數學作為計算機相關專業的核心基礎課程，在整個計算機教育環節中有著承上啟下、承前啟后的作用[1]。在當今智能化無處不在的時代，離散數學的教學和訓練將為我國的計算機人才打下堅實的數理基礎[2-3]，教學質量的好壞將直接影響后繼課程的學習效果，如：數據結構、編譯原理、數據庫、最優化理論與算法、信息論與編碼、大數據與機器學習、并行計算等。因此，從第三次信息技術革命的角度上看，離散數學教學質量的提升，將在戰略上對我國此輪技術革命的成功有積極影響。本文將從實例角度出發，探討離散數學教學質量和人工智能時代相關應用之間的緊密聯系。

1 面向智能應用的核心教學內容設計

在機器學習[4]深入生活的今天，面向應用的理念是當今智能時代一個不可避免的主題，幾乎所有的工科教學或科研都會涉及人工智能的話題，而計算機專業正是這個最迅猛發展的領域排頭兵。因此，面向智能化應用的離散數學教學[5-6]勢在必行，也符合開設離散數學課程的計算機教育的初衷。從筆者約七年的離散數學教學經歷上看， 將應用實例提煉出來，從而對核心章節的教學知識點進行重新設計，是離散數學教學改革的第一步。所以，我們在設計教案的時候，將離散數學最核心的部分知識點及其相關的應用實例列出，如表1所示。

以核心知識點為基礎構建智能應用實例的出發點是面向大工程時代需要，對于正在或已經畢業的若干屆學生，我們分析得出有必要開展教學內容改革的幾點原因：

（1）本科生在四年學習中，往往感覺實踐偏少。究其根本原因，在于計算機教育的考試和考查形式相對單一。如果說閉卷考試能在客觀上督促學生學習的話，那么考查性的上機實驗多半只能讓學生運行一下現成的軟件，而現在的資訊時代，學生反而變得惰性較大，不愿意一行一行讀寫代碼，甚至系統學習某個應用軟件的能力也有所下降。假如以應用問題為導向，則可以解決這樣的問題，這可以調動學生主動思考的能力和培養他們的實踐能力，教師只需要拋磚引玉相關知識即可。

（2）本科學生常感覺理論知識點的掌握不夠扎實。原因在于沒有針對性的實踐，由于離散數學概念化的特殊符號眾多，并且描述對象比較抽象，給學生較為清晰地講述每個符號傳遞的基本事實和原理是比較困難的工作。而面向工程應用的實例則可以彌補和改進這方面的不足，以歐拉圖和哈密爾頓圖為例，我們可以用機械硬盤的尋道設計問題、快遞路線設計問題、旅游問題等為應用對象，給學生講述清楚用這些工具抽象化具體應用的原因，讓學生不僅了解，并且自己設計出相應的軟件。只有通過軟件設計、程序調試中的試錯、具體的模塊編寫等實踐，才能讓學生從頂層到細節上對所學知識都能較好得掌握。

（3）學生的工程應用和團隊配合等綜合素質缺乏。對于一個具體的工程問題，需要多名學生配合完成，而一般的理論課是無法達到這種目的，實踐課往往也流于形式，和理論脫節較大，所以開展面向應用的離散數學教學改革很有必要。一般來說，團隊中的各個成員從上游建模到下游實現都要照顧到，這就牽涉到各個方面協調的問題，只有在實踐磨合中，這種綜合素質才能得到鍛煉。因為理論很美好但是現實不允許，或實際工具強大但需要更強理論支撐的例子很多，所以往往實踐中的成果是各方妥協的產物。

（4）用人單位對于學生動手能力要求常不滿意。在智能應用時代，用人單位不再滿足于學生的動手能力，而對他們的理論知識提出了更高的要求，比如深度學習方向的基本數學工具等。而學生在校學習期間這兩方面能力往往隔離較深，所以面向工程應用的知識點強化培養勢在必行。在實踐過程中，往往可能所謂的“答案”并不具備理論課本上的唯一性，每個學生認識世界的角度不一樣，所以就造成了建模的多樣性，在教學過程中應該鼓勵這種差異化，培養學生解決問題的靈活性，也對后續工作中解決問題起到比較積極的推動作用。

需要說明的是，以上我們列出的核心知識點也涵蓋了基本的離散數學基本知識點，如命題邏輯中的真值表、范式等內容，一定是建立在邏輯運算符號的基礎之上的，并不是說其他知識點不重要。而面向核心知識的工程問題，主要是為了更加扎實得打好運用知識的能力，比如邏輯電路設計一定會用到命題邏輯的各方面知識，并且需要學生有較強的動手能力配合才能完成，至于命題邏輯中的一些技巧性較強的推導，我們認為教學中點到即可，并不一味強調，因其面過于狹窄，且應用場景比較有限，這方面能力本科學生經過高考已經掌握，無需重復訓練。

2 知識映射與建模實踐教學

選擇合適的智能應用場景，對于離散數學知識點的綜合應用能力的訓練至關重要。我們將每一章的核心知識點對照的應用列出是為了提供一個參考，實際上離散數學有不少很有趣味性的應用實例。教學中我們發現，學生對于理論知識的掌握，經過努力一般都能有所收獲，而最難的環節之一，是針對實際問題抽象出能用理論工具解決的模型，所以知識映射和建模實踐是面向工程應用教學的一大難點和重點。以下舉出幾個例子說明上述問題并提出相應改進方法。

例1：集合計數的容斥原理與機器學習的多標記問題。當今人工智能中的多標記和多視角問題經常涉及容斥原理[]，這也是后續基于注意力的多視角分類的關鍵點之一。離散數學中的容斥原理比較形象地表達了多重屬性集合元素之間的屬性相容相斥問題，正對應著分類問題或者聚類問題中的多視角分類，因為很多時候數據屬于某一類并不意味著不屬于其他類，很自然地我們在教學中需要拓寬學生在解決實際問題中的思路，而工具就在很多經典知識點中。

例2：圖的矩陣計算與旅行路線設計問題。圖的矩陣計算涉及到了連通、通路、多跳等問題。是圖當中比較少有但是又很典型的有關計算的問題，常常也是考察的重點和難點。以春運旅行路線設計問題為應用切入點，可以讓學生更為形象地進行知識抽象和數學建模。不僅如此，實際問題當中考慮的時間、費用等問題往往比書本上地知識復雜得多，而面對全國飛機和鐵路等線路的復雜性往往也不是現在的相關網站能夠提供的解決方案的，所以這類問題不僅可以將圖論應用到實際過程之中，也可以鍛煉學生的思維靈活性。需要注意的是，可以引導學生先從一個省的公路和鐵路入手，先解決局部的旅行路線設計，再在學有余力的基礎之上深入解決全局問題。

例3：等價類與登錄界面設計。所謂等價類本質上是指輸入域的某個互不相交的子集合，所有等價類的并集便是整個登錄輸入域。我們教學中設計這一有關等價類的應用實例，其目的在于測試用例的無冗余性。首先需要劃分等價類（valid/invalid）的兩種情況：有效等價類，檢驗程序是否實現了規格說明預先規定的功能和性能;無效等價類，檢查軟件功能和性能的實現是否有不符合規格說明要求的地方。然后我們給出常用的等價類劃分原則：（1）按區間劃分;（2）按數值劃分;（3）按數值集合劃分;（4）按限制條件或規則劃分;（5）細分等價類。最后，我們設計一些測試用例，如表2和3所示。綜合來看，教學中嚴格的自反、對稱、傳遞關系構成的等價類在現實中有了更加靈活的表達方式，所以在實際中拓展離散數學教學更能體現面向智能應用時代工科教育的宗旨。

綜上，更加精準的建模和實踐教學內容設計，需要的師資力量強大，教師的課程教學經驗比較豐富，且有較好的科研功底，絕非易事，也需要配合當代學生的興趣愛好和實際技能。

3 結語

工科計算機相關專業的教學需要強化對應用問題的建模和實現，同時也需要正確的引導和授課方法，兩者相輔相成，不僅可以促進學生學好離散數學這門核心基礎課，更為他們在后續的科研和工作中打下扎實的基礎，培養勤于邏輯思考和動手的能力和習慣。

參考文獻：

[1] 仇晨曄.面向人工智能時代的離散數學教學方法研究[J].軟件導刊，2019，18（12）：192-194.

[2] 耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數學題解[M].5版.北京：清華大學出版社，2013.

[3] 方世昌.離散數學[M].西安：西安電子科技大學出版社，2009.

[4] 周志華.機器學習[M].北京：清華大學出版社，2016.

[5] 吳向陽.離散數學教學模式創新研究[J].當代教育實踐與教學研究，2020（12）：88-89.

[6] 董美霞.人工智能背景下的離散數學教學模式探究[J].數字通信世界，2020（2）：231.

【通聯編輯：李雅琪】

收稿日期：2021-05-22

基金項目：中國博士后基金特別資助項目（2018T110531）

作者簡介：余瀚（1984—），男，副教授，南京郵電大學計算機學院、軟件學院，研究方向：反問題計算、圖像處理等。