初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率問題分析

摘 要：隨著信息化時代的到來，大數(shù)據(jù)成為研究的熱點。中學(xué)教學(xué)開始引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)的收集與處理進行初步嘗試。2001年教育部頒發(fā)了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》，將“統(tǒng)計與概率”作為一個完整的學(xué)習(xí)內(nèi)容模塊引入到九年義務(wù)教育中，與“數(shù)與代數(shù)”“幾何與圖形”并列為三大數(shù)學(xué)模塊，貫穿義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程。“統(tǒng)計與概率”研究的是不確定問題，因此在思維方法上依賴于辯證的思維手段，對于培養(yǎng)學(xué)生的不確定性能力有很大的作用。概率與統(tǒng)計中的很多概念是相互聯(lián)系極為密切的，學(xué)生不但要理解這些概念，還應(yīng)該正確理解這些概念之間的聯(lián)系。目前初中階段統(tǒng)計概率在中考中占比不大，題目不難，使得教師和學(xué)生的重視度不夠。針對這一現(xiàn)象，教學(xué)中不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。讓學(xué)生研究身邊的材料，抽象出數(shù)學(xué)問題，建立起數(shù)學(xué)模型，再去解決生活中的問題，既調(diào)動學(xué)生的興趣與經(jīng)驗，又很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，可謂兩全其美。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)整理;數(shù)據(jù)分析;統(tǒng)計與概率教學(xué)

數(shù)據(jù)是信息的載體，這個載體既包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計與概率就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學(xué)和藝術(shù)。“統(tǒng)計與概率”在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中占據(jù)重要內(nèi)容，在基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程改革中受到特別重視，這都是基于其在當(dāng)今社會生活中有著重要的應(yīng)用，因此培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)十分必要。

華師大版數(shù)學(xué)教材依據(jù)初中學(xué)生的認知規(guī)律將概率分為認知、分析、應(yīng)用三個層面分割到四個學(xué)年完成教學(xué)，從而幫助學(xué)生能夠真正學(xué)會利用概率知識解決實際問題。然而在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：概率知識點所涉及的面很廣，學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍感到概念抽象;學(xué)生對概率的認知不夠深入;或者對概率的認知停留在應(yīng)試層面，在生活中還是無法熟練應(yīng)用。

一、統(tǒng)計與概率課程的教育價值

（一）有利于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力

“統(tǒng)計與概率”研究的是不確定性問題，主要依靠辯證思維和歸納的方法去學(xué)習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生明智地處理變化與不確定性的能力、實踐能力和合作精神等方面更直接、更有效。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的批判精神

面對大量的數(shù)據(jù)，需要保持鎮(zhèn)定，從大量煩瑣的數(shù)據(jù)中摘取自己需要的數(shù)據(jù)，并獲得盡可能多的有用信息，還要保持理智的心態(tài)，對數(shù)據(jù)的來源、收集數(shù)據(jù)的方法、數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式以及得到的結(jié)論等進行合理的質(zhì)疑。

（三）有利于推動信息技術(shù)的使用

“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容中涉及大量的復(fù)雜數(shù)據(jù)的計算問題，依靠人工計算是不可能實現(xiàn)的，引導(dǎo)學(xué)生和教師使用計算機進行運算，并制作各類統(tǒng)計表，省時省力。

二、統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)方法

以華東師范出版社的教材為研究對象。在本套教材中，初中教材中涉及概率與統(tǒng)計的部分主要分成了四個部分，分別為數(shù)據(jù)的收集與表示、數(shù)據(jù)的整理與初步處理、隨機事件的概率、樣本和總體。在該套教材中，以趣味性的方式來引入定義，例子注重生活化，在教授過程中，學(xué)生可以很容易理解感知這些概念的存在，但是對于統(tǒng)計與概率中相關(guān)定義依然很難理解和應(yīng)用。這主要是因為以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，都是研究確定性問題，但概率研究是不確定性問題，學(xué)生短時間內(nèi)很難接受，并且對于依靠思維和歸納的方法去解題的思路也需要經(jīng)過很長時間的訓(xùn)練。在統(tǒng)計與概率的教學(xué)過程中，要循序漸進，從學(xué)生熟悉的定義與概念入手，比如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等概念。

（一）數(shù)據(jù)的收集與表示

“數(shù)據(jù)的收集與表示”是我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率的第一步，是學(xué)生感知數(shù)據(jù)存在的初體驗。不同于以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大量數(shù)據(jù)的涌入使得以往的解決方法行不通，開始引導(dǎo)學(xué)生去主動尋找新的方法。在收集階段我們提出了頻數(shù)和頻率的概念。

頻數(shù)表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)，頻率表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）。頻數(shù)和頻率反映的是每個對象出現(xiàn)的頻繁程度。這是學(xué)生通過實驗得到的結(jié)果，在這個階段學(xué)生可以很容易理解并表示出很大的興趣。

根據(jù)頻數(shù)和頻率，課本提出使用條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖來進行數(shù)據(jù)的表示。這三種統(tǒng)計圖在不同的情景下都可以直觀地體現(xiàn)出我們的實驗結(jié)果。條形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征，扇形統(tǒng)計圖主要突出各組成部分的數(shù)量在總數(shù)量中所占份額的大小，折線統(tǒng)計圖主要顯示出數(shù)量變化的規(guī)律，可以根據(jù)實際需要來選擇合適的統(tǒng)計圖。這一部分主要考查學(xué)生的計算能力和作圖能力，使用計算機繪制統(tǒng)計圖是學(xué)生未來工作和學(xué)習(xí)的必備能力。

（二）數(shù)據(jù)的整理與初步處理

“數(shù)據(jù)的整理與初步處理”是學(xué)生由被動變主動的轉(zhuǎn)折點，在數(shù)據(jù)收集階段，學(xué)生被動接受了大量煩瑣的數(shù)據(jù)，我們渴望尋求使用一個數(shù)字或者符號來直觀呈現(xiàn)出數(shù)據(jù)的特征。因此這個階段，教材中提出了一些重要的定義：平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。

平均數(shù)是統(tǒng)計中的一個重要概念，是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，平均數(shù)包含了算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)等很多類型，在不同情景下選擇合適的平均數(shù)可以更好地反映數(shù)據(jù)的特點。我們最為常用的是算數(shù)平均數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商。既可以用它來反映一組數(shù)據(jù)的一般情況和平均水平，也可以用它進行不同組數(shù)據(jù)的比較，以此看出組與組之間的差別。

加權(quán)平均數(shù)在實際生活問題中也很常用，由于各個指標在總結(jié)果中占有不用的重要性，因而會被賦予不同的權(quán)重。加權(quán)平均值即將各數(shù)值乘以相應(yīng)的權(quán)重，然后加總求和得到總體值，再除以總的單位數(shù)。加權(quán)平均值的大小不僅取決于總體中各單位的數(shù)值（變量值）的大小，而且取決于各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)），由于各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)對其在平均數(shù)中的影響起著權(quán)衡輕重的作用，因此叫做權(quán)重。

均值是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標。總體的均值為從總體中抽樣，每次抽n個，每次抽出來的n個數(shù)值會有個均值u，如果一共抽了k次，那就有k個均值，比如設(shè)為U1，U2，U3，…，Uk，這k個數(shù)值的均值等于總體的均值。

中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列（即使有相等的數(shù)據(jù)也要全部參加排列），在中間的一個數(shù)字（或兩個數(shù)字的平均值）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。通過中位數(shù)算出來可避免極端數(shù)據(jù)，代表著數(shù)據(jù)總體的中等情況。這也是中位數(shù)相對于均值更好地描述一組數(shù)據(jù)的情況的原因。

眾數(shù)是在統(tǒng)計分布上具有明顯集中趨勢點的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平（眾數(shù)可以不存在或多于一個）。它也是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值，有時眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個。簡單地說，就是一組數(shù)據(jù)中占比例最多的那個數(shù)。

（三）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別

平均數(shù)非常明顯的優(yōu)點之一是，它能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征，而且比較好算。另外，在數(shù)學(xué)中，平均數(shù)是使誤差平方和達到最小的統(tǒng)計量，也就是說利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損失最小。因此，平均數(shù)在數(shù)學(xué)中是一個常用的統(tǒng)計量。但是平均數(shù)也有不足之處，正是因為它利用了所有數(shù)據(jù)的信息，平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響。用眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)，可靠性較差，不過，眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡便。在一組數(shù)據(jù)中，如果個別數(shù)據(jù)有很大的變動，選擇中位數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適合。

需要指出的是，我們處理的數(shù)據(jù)，大部分是對稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的。只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對稱）的情況下，才會出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個統(tǒng)計量都行。如果偏態(tài)情況特別嚴重的話，可以用中位數(shù)。

實際的情況是，很多時候我們無法直接知道數(shù)據(jù)是正態(tài)的還是偏態(tài)的，因此對于平均值、中位數(shù)和眾數(shù)的合理選用是個難題。使用概率的概念來展現(xiàn)數(shù)據(jù)的特點，更加科學(xué)，更加嚴謹。

（四）正確理解隨機事件的概率

從定義的角度進行探究，首先是隨機事件的定義，無法預(yù)先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件叫做隨機事件，在這里我們以擲骰子為例，假設(shè)這個骰子質(zhì)地均勻，“擲得的點數(shù)是奇數(shù)”是可能發(fā)生的事件，這就是一個隨機事件。隨機事件實際上是一個不確定的事件，而對于無須通過實驗就能預(yù)先確定每次實驗結(jié)果的事件為確定事件。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生正確理解隨機事件的定義，并能在生活中區(qū)分隨機事件和確定事件。

其次討論概率的定義，概率代表了“事件發(fā)生的可能性”。在大量重復(fù)的實驗后，頻率趨于概率。需要明確的是，概率可以用來預(yù)測事件的結(jié)果，但不能確定事件的結(jié)果;概率對已經(jīng)發(fā)生的事件是沒有意義的;單次實驗不能體現(xiàn)概率，大量多次重復(fù)實驗頻率會接近概率。在講解時，教師可以聯(lián)系實際，通過實例解釋概率的意義和作用。

三、對初中數(shù)學(xué)概率教學(xué)的建議

（一）重視實驗的作用

在關(guān)于初中概率知識的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合日常生活的實例，采用自主探索和合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生提供充分的實踐活動時間，使學(xué)生在自由和諧的教學(xué)氛圍中獲得更廣泛的概率學(xué)理論經(jīng)驗。科學(xué)理論的形成是需要經(jīng)過千錘百煉的實踐才能夠最終成形的，而概率實驗的進行，既有利于學(xué)生在實驗過程以及對實驗數(shù)據(jù)的分析中體會隨機現(xiàn)象的不確定性，又可以通過大量的重復(fù)實驗過程，理解其中出現(xiàn)的規(guī)律性，并最終對概率形成系統(tǒng)的認知。

（二）要明確統(tǒng)計與概率學(xué)的教學(xué)觀念

從簡單隨機事件出發(fā)，理性認識概率。在體驗活動中對隨機事件出現(xiàn)機會的直覺猜想、自主探究、動手操作和實驗結(jié)果分析的過程后，絕大多數(shù)學(xué)生對概率以及概率的頻率定義有了較為透徹的理解。此時再引導(dǎo)學(xué)生理性地分析以往隨機事件的概率便水到渠成。在將對簡單隨機事件的概率理解從直觀體驗上升至理性辯證思維的過程中，教師應(yīng)當(dāng)從簡單的實例入手。

在我們生活的世界中，大部分信息都由數(shù)據(jù)構(gòu)成，學(xué)會收集數(shù)據(jù)、篩選數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，是我們的必備技能，加強數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計”教學(xué)效果的研究是數(shù)學(xué)教學(xué)事業(yè)發(fā)展的必然趨勢。總之，統(tǒng)計與概率的教學(xué)，應(yīng)該注重讓學(xué)生理解這些重要概念背后的含義及它們之間的聯(lián)系，強調(diào)其在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，而不能將這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容純粹作為計算題來學(xué)習(xí)。對統(tǒng)計與概率的教學(xué)還有許多相關(guān)問題值得我們研究，需要我們在理論和實踐中不斷探索、不斷改進，共同努力來完善我們的數(shù)學(xué)教學(xué)改革。

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作者簡介：

韓丹，吉林省長春市，吉林大學(xué)附屬中學(xué)。