基于跳躍風險夏普比率的中國基金收益再度量

袁 靖 , 董雅菁 ,劉 響 , 高 建 , 火 穎

(山東工商學院a.統計學院；b.金融學院，山東 煙臺 264005)

一、引言

2020年是我國“十三五”規劃收官之年，也是全面建成小康社會的決勝之年，2018年第四次全國經濟普查數據顯示，我國GDP近年來有了較大幅度增長(2014—2018年我國各年名義GDP分別上調了0.4%、0.4%、0.9%、1.4%和2.1%)。始料不及的是2020年初我國及全世界爆發了新型冠狀病毒肺炎疫情，給經濟增加了全新的不確定性。不確定沖擊對經濟運行的影響效應近年來引起學者們及政策制定者的高度重視，究其原因是突發事件頻發凸顯不確定沖擊是影響經濟運行的主要沖擊，并且對經濟變量總體上表現為負面效應[1-2]。

根據有效市場假說，弱式有效性資本市場下，投資者研究過去交易的信息并不會帶來超額收益。我國學者根據股票價格波動實證分析視角得到結論即我國股票市場屬于弱式有效性市場[3-5]，也就是說，我國基金市場操作只可以追隨模擬市場而不能跑贏市場，但是我國基金操作在投資策略上提出以“積極性策略”即以打敗市場為投資目標，尤其在面對不確定性事件沖擊下。

在基金評價業績方面，對基金的綜合評級基于對基金三方面能力的評價：一是風險管理與構建有效投資組合的能力，體現為風險回報交換的效率，度量指標主要是特雷諾指數、夏普比率和詹森指數；二是選股能力，即通過選擇價值被低估的證券而產生市場風險調整后額收益的能力；三是擇時能力，即基金根據市場走勢的判斷，通過調整基金資產行業證券配置以增加或降低市場的敏感度進而跑贏基金市場基準的能力，這也是積極性策略的出發點和宗旨。特雷諾指數、夏普比率和詹森指數中，Sharpe 指數的估計中使用的是總風險指標，因此，Sharpe指數還能夠衡量基金經理分散和降低非系統性風險能力。計算標準夏普比率理論假設基金市場收益率服從正態分布，已有大量文獻研究發現我國及世界大部分國家基金市場收益率并不服從正態分布[6]，受到其分布形態包括偏度和峰度的顯著影響，基于此對標準夏普比率進行改進的方法包括采用收益率風險在險值進行修正[7]、采用比率代替夏普比率[8]、采用Kappa比率代替夏普比率[9]、考慮偏度和峰度構建修正夏普比率[10]、根據厚尾風險度量收益率標準差構建夏普比率[11]以及根據廣義矩函數構建夏普比率[12]。但目前學者尚未采用不確定跳躍風險修正基金市場夏普比率計算。

本文構建累積分布函數下高階矩夏普比率及不確定沖擊跳躍風險下夏普比率，重新計算我國基金市場基金組合夏普比率，考察面對不確定時期基金組合是否可以打敗大盤指數，從基金投資組合角度再次審視我國資本市場有效性特征。相對于已有文獻，本文的邊際貢獻主要體現在兩個方面。第一，豐富了不確定沖擊跳躍風險在資本市場應用建模的相關研究?；诜钦龖B分布的不確定沖擊跳躍風險解釋資本市場波動更貼近現實經濟的數據特征，因而已有文獻研究已得出結論，嵌入不確定事件的資本市場模型可以較好地解釋我國股權溢價之謎、無風險利率之謎、股票市場價格波動之謎及債券市場利率期限結構行為，基金市場作為資本市場的一個重要組成部分，也必然受到非正態分布不確定沖擊跳躍風險的影響，因而本文的研究結論將極大的豐富不確定沖擊模型在我國資本市場應用的相關研究。第二，對我國資本市場有效性研究提供更強有力的識別條件。以往文獻對資本市場有效性驗證均基于資本市場價格波動特征進行，而根據法瑪的有效市場假說資本市場若為有效性市場，則基金收益率無法打敗股市大盤指數。美國目前已有越來越多的大型基金操作策略依據美股市場中強有效特征構建被動型基金，隨著中國基金市場越來越具有去散戶化特征，我國大型基金在面對危機未來的策略時采用消極性策略還是積極性策略？是企圖打敗市場還是只能跟隨模擬市場？本文的研究以我國資本市場弱有效性特征為前提，考量2007年至 2020年的14年間的股票型基金與上證A股市場收益率，為我國資本市場有效性研究提供更強有力識別，并為基金公司及投資者未來投資策略提供數據檢驗。

二、研究假設、研究設計及樣本數據

(一)研究假設

Markowitz的投資組合理論[13]最早提出了對于金融資產風險的計算方法，并準確計算了證券投資基金的風險和收益，但Markowitz通過計算組合中各資產的協方差矩陣來計算風險，其方法過于復雜，當時的計算機技術遠沒有今天發達，因此難以得到大范圍的推廣和應用。學者們開始嘗試建立更多新的更加實用的基金業績評價模型，其中以Treynor、Sharpe和Jensen提出的三個風險調整收益指標[14-16]最具代表性，這三個指標分別是特雷諾指數、夏普比率和詹森指數，這三個指標的出現大大簡化了基金業績評價計算的復雜性。夏普比率使用投資組合收益率的標準差作為其風險度量指標，計算了投資組合單位風險下獲取的收益情況，該標準差的幾何意義即投資組合和無風險利率兩者連線的斜率。夏普比率越大，說明投資組合承受單位總風險所獲取的超額風險調整收益越高。

對于夏普比率，其理論假設是收益率呈現正態分布，但現實經濟極值事件或者厚尾事件比正態分布更經常出現，正態分布的對數收益率前兩階矩是有限值，高階矩為0，而厚尾的對數收益率高階矩不等于0，不確定事件導致的跳躍風險下資產價格對數收益率是負偏的(偏度是負數，就是三階矩)，峰度值較高。

本文將基于累計生成函數重新構建高階矩的夏普比率及不確定沖擊的跳躍風險下夏普比率，并試圖回答如下理論假設：

假設1：我國基金市場收益率呈現明顯負偏高峰度的非正態分布。

假設2：我國基金市場夏普比率受到不確定沖擊的跳躍風險的顯著影響。

假設3：經過十幾年的發展，我國基金市場已經從非有效性市場逐漸進入弱式有效性市場，按照法瑪的有效市場理論，中強有效市場將會是我國未來發展的方向，美股基金市場從上世紀90年代開始偏好消極性策略，即構建基金組合只能模擬大盤指數，這一應用有近30年發展歷程。未來我國基金市場越來越成熟，也會在短時間內趨于相同的選擇，以基礎分析為主要分析策略的大型基金，其收益打敗大盤指數變得越來越困難，隨著我國資本市場越來越成熟，擁有卓越分析能力的優秀基金畢竟是稀缺的，大多數基金只能以跟隨和模擬大盤指數而非跑贏大盤指數收益為目標，尤其面對不確定沖擊的危機時期。

(二)基于累計生成函數高階矩下的夏普比率構建

對于任意隨機變量X，均有

m(θ)≡Eexp(θX),K(θ)≡logEexp(θX).

且對于所有的θ，期望值均存在；則稱m(θ)為矩母函數，K(θ)為累積生成函數(cumulative generating function，簡稱CGF)。累積生成函數包含了關于變量X所有階矩的信息，我們通過冪序列的形式將K(θ)展開得：

(1)

其中，αn代表變量X的第n階矩。從代數的角度看，α1代表變量X的均值，α2代表變量X的方差，α3/σ3代表變量X的偏度，α4/σ4代表變量X的峰度，如此類推。

市場存在兩類資產，一類是貨幣市場的無風險資產，一類是資本市場基金指數，假定指數基金不分紅，考察兩期投資，t={0,T}，到期時無風險資產價格為B(T)，指數基金價格為P(T)，

B(T)=B(0)exp{rf}.

(2)

P(T)=P(0)exp{r}.

(3)

r為基金價格對數收益率，rf為無風險利率，基金收益率等于其投資期內平均增長率減去其均值，即：

r=μ+X-k(1).

(4)

μ為平均增長率，X為隨機變量，k(1)為X的一階矩即均值，K(θ)為X的累積生成函數，

(5)

將基金價格表示為CGF函數形式為：

(6)

(7)

計算基金價格對數收益率的均值及方差表示為：

C(1)=μ,C(2)=2μ+K(2)-2K(1).

(8)

得到標準夏普比率Sharpe-ratio:

(9)

性質1：夏普比率不僅依賴于收益率的均值及方差即前二階矩，還依賴于偏度峰度等所有高階矩。

(三)基于不確定沖擊的跳躍風險下的夏普比率構建

隨著經濟全球化的不斷深入，中國經濟越來越多地暴露在國際國內經濟金融危機沖擊的風險中，嚴重自然災害沖擊也愈加頻繁。Barro[17]對上個世紀100年期間內OECD國家做了統計分析，發現樣本期內，有60次的不確定導致人均GDP下降15%以上，其中1929—1933年間主要工業國家人均實際GDP下降幅度均在16%～33%之間，兩次世界大戰期間，法國、德國、澳大利亞等戰區國家人均GDP下降幅度最低達到16%，最高達到64%。

將不確定對經濟造成的跳躍風險引入夏普比率，

X=W+Z,W?N(0,σ2),

(10)

將以上設定帶入CGF函數：

(11)

得到對數收益率r的矩：

c1=μ-K(1)+k1,k1=λμJ

(12)

將以上參數帶入得到不確定跳躍風險下的夏普比率Sharpe-ratioDisaster為：

(13)

性質2：不確定沖擊帶來的尾部跳躍性風險會顯著影響夏普比率。

(四)數據選取及說明

2008年金融風暴及之后的歐債危機等不確定沖擊事件給全世界絕大多數國家經濟造成嚴重的影響效應，我國股市也在2008年及2015年、2016年受到重創，基于此本文將樣本區間選擇為2007—2020年。由于本文的研究目的是基金市場與大盤指數收益率特征及對比，因此選擇股票型基金為樣本框，即2007—2020年存續的股票型基金，其中消極型投資策略的基金樣本中，選取華安上證180ETF(上證50交易型開放式指數證券投資基金)及華夏上證50ETF(上證180交易型開放式指數證券投資基金)，對于積極型策略基金，在萬得數據庫中的開放型基金中選取了普通股票型基金、偏股混合型基金和平衡混合型基金中自2007年1月開始有日收益數據的基金作為“積極型投資策略”基金的選取樣本，并且基金中債券類凈值平均不超過基金組合凈值的10%的基金，篩選符合條件的主動型基金有115支。樣本基金共117支。

基金復權凈值是對基金單位凈值進行了復權計算，考慮基金的分紅或拆分，因此本文基金收益率計算采用其基金復權凈值數據，計算方式采用對數收益率計算方式；對于大盤指數收益率，本文采用上證A股數據，關于股票市場收益率，考慮以流通股市值為權重加權平均，同時還要考慮配股、送股、拆細的影響以及紅利再投資。股票收益率的計算方法通常有兩種：一是采用對數收益率，二是采用百分比收益率。由于對數收益率具有很多良好的統計特征，因此在有關金融資產定價領域多采用對數收益率的形式。鑒于此，本文亦采用對數收益率進行計算。以上數據來源均為萬得經濟數據庫。

三、我國基金市場收益率分布特征及夏普比率計算

(一)我國基金市場的收益率特征以及夏普比率

選取的117支基金和上證A股大盤指數，樣本數據共118支投資組合，對所有樣本數據2007年1月至2020年12月共14年周期的基金收益率偏度系數及峰度系數進行計算，使用Jarque-Bera檢驗統計量對基金收益率進行正態性檢驗(由于計算結果表篇幅太長，未放入論文中，感興趣可向作者索取)，結果如下：(1)偏度系數結果顯示樣本數據對數收益率偏度系數均為負偏尖峰分布，偏度平均值為-0.687，偏度最小值為-0.248，偏度最大值為-1.201；(2)峰度系數結果顯示峰度平均值為4.959，峰度最小值為3.771，峰度最大值高達7.939，負偏度使得收益率下降概率超過上升概率，從而增大投資者蒙受損失的可能性，高峰度又使得極值事件發生的概率增加；(3)我國117支基金及上證A股Jarque-Bera檢驗統計量p值顯示拒絕原假設，即均不服從正態分布，這意味著計算標準夏普比率衡量基金收益率風險存在較大偏差。

對117支基金及上證A股的標準夏普比率Sharpe-ratioN進行計算，將其月均值做圖如下：

根據圖1結果，將我國117支基金及上證A股的夏普比率與我國同時期股票市場波動走勢進行比較分析得到如下結論：

圖1 117支基金及上證A股的夏普比率月均值

(1)夏普比率出現波動較大的時期分別為：2007年4月夏普比率均值達到最高值0.535即跌至0.26，到6月跌至最低點0.01，7月回升，但到11月跌至-0.39，12月又回升至0.37；2008年夏普比率一直處于低點運行，其中從9月的-0.14下跌至10月的-0.55，這是樣本數據中的最低點；2009年夏普比率回升，僅8月出現較大波動，跌至-0.41；2010年夏普比率穩步回升，其中7月回升至全年最高點的0.36；2011年10月跌至-0.43；2012年全年夏普比率水平較高，有輕微波動，其中12月更是回升至0.49；2013年波動較大的月份是5月和6月，從最高點0.41跌至全年最低點-0.33；2014年夏普比率全年走勢平穩；2015年6月從0.32跌至-0.52，這是樣本數據中跌幅最大的一次；2016年1月也從0.14跌至-0.41；2017—2019年走勢較平穩；2020年6月夏普比率達到高值0.42，隨即8月跌至-0.33,11月有所回升。

(2)我國樣本數據基金夏普比率波動走勢與我國股市大盤指數波動走勢完全一致，尤其上證A股波動2008年1月5 000多點跌至10月的1 600多點，2015年6月15日至7月9日，短短18個交易日上證指數從5 178.19暴跌至3 373.54點，最大跌幅達34.85%，2015 年7 月初，以證金公司為代表的“國家隊”開始強勢入市拯救股市，夏普比率在2008年和2015年波動幅度最大，但是2014年和2018年大盤指數波動最小，夏普比率波動走勢亦平穩。數據顯示我國基金走勢與大盤指數收益走勢表現一致。

(3)將上證A股夏普比率與117支基金夏普比率對比，在股市走勢平穩甚至上升期，上證A股夏普比率居中，但是在不確定沖擊下，上證A股夏普比率的計算結果也非常高，這樣，2008年所有樣本數據夏普比率均值分別為(-0.19、0.02、-0.36、0.02、-0.17、-0.36、0.02、-0.32、-0.14、-0.55、0.16、0.06)，但上證A股夏普比率分別為(0.21、0.06、-0.15、0.06、0.18、-0.31、0.04、0.26、0.09、-0.31、0.35、0.15)；2015年股災期間，所有樣本數據夏普比率均值分別為(0.12、0.31、0.48、0.30、0.32、-0.52、-0.17、-0.19、-0.03、0.33、0.10、0.14)，但上證A股夏普比率分別為(0.18、0.32、0.52、0.55、0.38、-0.08、0.16、0.13、0.11、0.38、0.35、0.28)；表明在不確定沖擊下，基金并沒有體現出其優秀的擇時能力。

結果表明:我國基金市場收益率呈現負偏高峰度的非正態分布。

四、不確定沖擊跳躍風險下的我國基金市場夏普比率

(一)不確定沖擊跳躍風險下的我國基金市場夏普比率構建及特征

1.參數校準

2.不確定沖擊的跳躍風險下我國基金市場夏普比率構建

由于我國117支基金與上證A股指數收益率均為高峰分布，而高峰分布意味著不確定性沖擊影響效應極大，因而重新計算我國117支基金與上證A股指數,2007—2020年考慮不確定沖擊跳躍風險修正下夏普比率Sharpe-ratioDisaster，并計算其與標準夏普比率Sharpe-ratioN的差值做圖如下：

根據圖2結果得到如下結論：

圖2 117支基金和上證A股不確定沖擊下夏普比率與標準夏普比率均值差值

(1)不確定沖擊下夏普比率計算結果與標準夏普比率有較大顯著差異，尤其是經濟危機時期，2008年9月差值達到15%，2015年7月差值達到19%，這也是樣本數據差值最大的時期，差異較大的時期與夏普比率波動較大的時期一致，說明面對不確定沖擊的尾部跳躍風險，標準夏普比率偏差太大。

研究結果發現，我國基金市場夏普比率受到不確定沖擊的尾部跳躍風險的顯著影響。

(二)面對不確定沖擊我國基金與上證A股大盤指數表現對比分析

弱式有效性資本市場下，投資者研究過去交易的信息并不會帶來超額收益，基金市場是否比大盤指數表現更優？將上證A股標準夏普比率及不確定事件沖擊下夏普比率排名，目的是比較大盤指數與整個基金市場業績表現，做圖如下：

根據圖3結果得到如下結論：

圖3 上證A股夏普比率排名及不確定沖擊下夏普比率排名

第一，我國上證A股不確定沖擊下夏普比率排名比標準夏普比率下排名均有所提高，尤其面對不確定沖擊，2008年6月標準夏普比率下排名為第117，經過不確定沖擊尾部跳躍風險修正夏普比率下排名為第69，2015年7月標準夏普比率下排名為第28，經過不確定沖擊尾部跳躍風險修正夏普比率下排名為第17，說明上證A股抵抗不確定事件沖擊下尾部跳躍風險的能力優于大部分基金組合。

第二，我國上證A股標準夏普比率排名下最差名次為第117(2007年12月和2008年6月)，最優名次為第2(2014年5月和2014年6月)；不確定沖擊修正下夏普比率排名最差為第101(2007年2月)，最優名次為第2(2014年5月和2014年6月)。

第三，無論是標準夏普比率下排名還是不確定沖擊修正下夏普比率排名，我國上證A股排名走勢是越來越優，尤其2017年之后。

第四，近年來我國大盤指數擴容很快，其抵御風險的能力越來越強，但是基金市場基金組合選取跟不上步伐，其模擬性越來越差。

研究結果發現我國基金市場整體收益率不如上證A股，也就是說，我國基金市場已經從弱有效性市場逐漸走向中強有效性市場，以基礎分析為主要分析策略的大型基金，其收益打敗大盤指數變得越來越困難，隨著我國資本市場越來越成熟，擁有卓越分析能力的優秀基金畢竟是稀缺的，大多數基金只能以跟隨和模擬大盤指數而非跑贏大盤指數收益為目標，尤其面對不確定沖擊的危機時期。

五、結論

我國基金市場收益率并非滿足正態分布假設，因而采用標準夏普比率進行評級存在較大偏頗；近年來我國A股市場連續出現崩盤事件，而我國基金市場一直提出以“積極性策略”打敗市場，對基金市場是否可以達到此目標重現計算科學夏普比率進行評價。本文通過構建累積生成函數高階矩下夏普比率，并將不確定事件的跳躍風險嵌入其中，對我國基金市場表現進行評價比較，并對我國資本市場有效性進行了強有力識別。得到以下結論：

第一，2007—2020年的我國117支股票型基金與上證A股市場收益率呈現明顯負偏高峰度非正態分布，而是明顯負偏高峰分布，這說明我國基金市場操作存在較大下降風險，并容易受到極值事件影響。

第二，我國117支基金及上證A股收益率夏普比率受到不確定沖擊的跳躍風險的顯著影響，差值最大達到了19%，比美國基金市場小很多，其中很大原因是面對不確定沖擊，我國政府在危機時期進行了直接干預，這對于穩定我國資本市場發展及保護投資者效益是非常必要的。

第三，無論是標準夏普比率下排名還是不確定沖擊修正下夏普比率排名，我國上證A股排名走勢是越來越優，尤其2017年之后，經過十幾年的發展，我國資本市場已經從非有效性市場逐漸進入弱式有效性市場，中強有效市場將是未來發展方向，以基礎分析為主要分析策略的大型基金，其收益打敗大盤指數變得越來越困難，隨著我國資本市場越來越成熟，擁有卓越分析能力的優秀基金畢竟是稀缺的，大多數基金只能以跟隨和模擬大盤指數而非跑贏大盤指數收益為目標，尤其面對不確定沖擊的危機時期。

本文的研究對于我國建立防范和應對金融市場危機的機制具有一定的參考價值。由于基金市場在面對不確定沖擊時表現不能優于大盤指數，因而機構投資者和個人投資者在構建投資組合抵御風險時應緊緊追隨大盤指數，而面對危機市場則需要借助政府的力量，解決不確定沖擊尾部風險(尤其是左尾風險)效應以達到市場穩定的目的。本文采用累計生成函數對標準夏普比率進行修正，計算了四階矩下夏普比率及不確定沖擊的尾部跳躍風險下夏普比率，但是沒有繼續推導無限階矩下夏普比率，其計算結果是否與本文結果存在較大差異？這將是后續進一步研究的主要內容。