關(guān)于數(shù)學(xué)多元表征視角下的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動

韋慶杰

（常州市新北區(qū)新橋?qū)嶒?yàn)小學(xué)，江蘇常州 213000）

隨著新課改不斷推進(jìn)，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求，傳統(tǒng)教學(xué)模式顯然很難滿足，所以需教師積極創(chuàng)新和改革。不過因?yàn)閼?yīng)試教育的影響，導(dǎo)致很多教師在教育教學(xué)中依舊采用灌輸式教學(xué)手段，并且觀念也比較落后，過分看重學(xué)生的考試成績，對其他方面比較忽視，這樣導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂顯得十分枯燥無趣，阻礙學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的提升，教學(xué)效果自然也很不理想。而基于多元表征理論視角進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動的設(shè)計開展，則能很好解決傳統(tǒng)教學(xué)中的弊端，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為其今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、數(shù)學(xué)表征概述

表征是認(rèn)知心理學(xué)中的重要概念之一，不過當(dāng)前有關(guān)表征的界定卻多種多樣。其中比較典型的一種描述為：“能夠反復(fù)指代某一事物符號的形式，將一種事物、知識重新進(jìn)行體現(xiàn)，是將一個表征世界與被表征世界的某種元素或者是特性構(gòu)建起來的對應(yīng)關(guān)系。”而對數(shù)學(xué)表征而言，則是說問題解決者在處理某一問題的時候，與另一個比較容易理解的問題搭建起來的映射過程[1]。具體體現(xiàn)為在特定的情境中，可以說明和辨別的以特定表征形式出現(xiàn)的知識，而且還能結(jié)合實(shí)際要求去應(yīng)用或者是轉(zhuǎn)換成其他形式的表征，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決。從類型角度上來說，數(shù)學(xué)表征具體可以分為形象與抽象表征、內(nèi)外部表征等。

除此之外，還有一些研究者將數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)比較常見的一種表征形式分為文字表征、符號表征以及操作性表征等。就其中的符號表征而言，具體就是指借助一些數(shù)學(xué)符號形式進(jìn)行問題的解決；文字表征則是說將問題合理轉(zhuǎn)變成為文字形式，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行問題的處理；操作性表征是指將問題轉(zhuǎn)變成為實(shí)際操作，然后解決。在具體應(yīng)用中，需要教師結(jié)合實(shí)際情況合理選擇，這樣才能將其作用更加充分地發(fā)揮出來，促進(jìn)學(xué)生更加有效地學(xué)習(xí)，達(dá)成理想的教學(xué)目標(biāo)。

二、數(shù)學(xué)多元表征視角下的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動組織設(shè)計必要性

就當(dāng)前情況來看，歐美一些國家早已經(jīng)重視數(shù)學(xué)表征，就美國而言，2000年公布的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》便提到了表征，同時還強(qiáng)調(diào)在教育教學(xué)中，應(yīng)該實(shí)現(xiàn)表征多元化。新加坡在2007年的基礎(chǔ)教育課程改革中也提出了表征概念，同時強(qiáng)調(diào)在問題解決中，應(yīng)該應(yīng)用多種表征合理解釋[2]。鑒于此，根據(jù)我國實(shí)際，筆者覺得多元表征教學(xué)的必要性具體表現(xiàn)在以下幾方面：

（一）認(rèn)知負(fù)荷理論的必然結(jié)果

認(rèn)知負(fù)荷理論最早是由澳大利亞心理學(xué)家所提出，具體就是指人在信息加工中需要耗費(fèi)心理資源總量。唐劍嵐在研究中覺得，可以將認(rèn)知負(fù)荷分為三部分，分別是有效認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷以及外在認(rèn)知負(fù)荷。就其中的有效認(rèn)知負(fù)荷而言，主要是說工作極易對認(rèn)知任務(wù)實(shí)施的實(shí)質(zhì)性認(rèn)知操作而承受的符合，這里所講的實(shí)質(zhì)性認(rèn)知操作主要是指形成圖式建構(gòu)和圖式自動化相關(guān)的活動。從認(rèn)知負(fù)荷理論角度上來說，需要教師在教學(xué)實(shí)踐中盡可能提升有效負(fù)荷，降低其他兩者負(fù)荷[3]。對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，有著一定的抽象性與復(fù)雜性，所以學(xué)生學(xué)習(xí)理解起來存在一定的難度，如果教師一味進(jìn)行言語表征，會增加學(xué)生學(xué)習(xí)中的無效負(fù)荷。而合理創(chuàng)設(shè)多元表征，則能將復(fù)雜抽象化的概念合理進(jìn)行分解，進(jìn)而有效降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。同時，這樣還能幫助學(xué)生構(gòu)建新舊知識間的聯(lián)系，降低外在負(fù)荷，提升有效負(fù)荷，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率更上一個臺階。

（二）數(shù)學(xué)智慧課堂的必然選擇

在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生所學(xué)的并不是簡單的知識，更為重要的還是在知識探尋中萌發(fā)的智慧。這里所講的數(shù)學(xué)智慧并不是說讓學(xué)生簡單做幾道數(shù)學(xué)習(xí)題，而是屬于緘默知識的范疇，以數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、思維生成等當(dāng)內(nèi)隱的一種表達(dá)形式。要想使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維，最為首要的任務(wù)便是構(gòu)建數(shù)學(xué)智慧課堂。數(shù)學(xué)智慧課堂存在和諧性、多向性以及探索性等特征。對數(shù)學(xué)信息的多元化表征具體就是對數(shù)學(xué)信息多方面的解釋過程，把知識當(dāng)作核心，使各種表征方式統(tǒng)一和諧。除此之外，多元表征具體是以數(shù)學(xué)探索當(dāng)教學(xué)形式的，主要目標(biāo)就是生成數(shù)學(xué)智慧[4]。需要認(rèn)清的一點(diǎn)，數(shù)學(xué)多元表征是以多種形式將知識表征出來，看起來會復(fù)雜化課堂教學(xué)設(shè)計，其實(shí)不然。多元表征能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)智慧的生成，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)思想感悟方面變得更加簡約，有效加深學(xué)生對知識的理解，推動教學(xué)質(zhì)量有效地提高。

（三）為問題的解決提供良好平臺

正確的問題表征是數(shù)學(xué)問題解決的重要前提，不論是解決基于文字信息還是生活中的數(shù)學(xué)問題，在具體處理中都得先提取自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)信息，然后進(jìn)行問題的表征。不同的表征方式在問題解決中，一般能夠達(dá)成不一樣的效果。數(shù)學(xué)問題有著抽象性和復(fù)雜性，因此在實(shí)際解決中，如果只采用一種方式表征問題，往往只能解釋問題的一個方面，不能透徹體現(xiàn)出問題本質(zhì)。而引入多元化表征方式則能很好解決這一問題，從多方面解釋問題，學(xué)生更加全面地掌握數(shù)學(xué)知識，達(dá)成理想的教學(xué)目標(biāo)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中亟需改善的問題

（一）教學(xué)觀念有待更新

雖然在我國新課程標(biāo)準(zhǔn)中針對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提出了相應(yīng)的教學(xué)理論指導(dǎo)思想和方法，但不論任何一種先進(jìn)的教學(xué)思想和方法要想在教學(xué)實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用和認(rèn)可，都必須要經(jīng)過較長一段周期，因而，目前多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師依舊是以傳統(tǒng)教學(xué)理念為指導(dǎo)思想，所采取的教學(xué)方式也主要以灌輸式、說教式為主，很少會引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和問題進(jìn)行主動思考和探究，進(jìn)而影響到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。并且長期受到這一教學(xué)指導(dǎo)思想的影響，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也會對教師產(chǎn)生較大的依賴性，遇到問題很少會主動思考，而是選擇放在那里等教師講解，或是向教師尋求幫助，這對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升是非常不利的。

（二）教學(xué)方式使用不當(dāng)

在新課改背景下，越來越多的先進(jìn)教學(xué)手段和方法被引入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，在一定程度上豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)的形式。但由于部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師對于這些先進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的認(rèn)知不夠全面，導(dǎo)致他們在使用這些教學(xué)方法時存在一定的盲目性和隨意性。以數(shù)學(xué)多元表征教學(xué)為例，部分教師在使用時，未能充分考慮小學(xué)生的認(rèn)知特征和發(fā)展需求，所采取的表征方式不合理，導(dǎo)致學(xué)生不能利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，將數(shù)學(xué)問題表征成自己所熟悉的內(nèi)容，進(jìn)而影響數(shù)學(xué)多元表征教學(xué)的效果，限制學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

四、數(shù)學(xué)多元表征視角下的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動開展措施

（一）深入挖掘有價值的資源

數(shù)學(xué)這門課程屬于思維性學(xué)科，所以需要學(xué)生應(yīng)用自己的思維能力進(jìn)行新知識的建構(gòu)，并在建構(gòu)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。就教育心理學(xué)角度上來說，在新知識學(xué)習(xí)時，學(xué)生首先就得進(jìn)行知識內(nèi)容的表征，如果新知與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)沒有過多的矛盾，學(xué)生便能直接應(yīng)用同化的方式將其納入自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中[5]。如果兩者存在一定的差異性，學(xué)生在新知表征中往往會存在一定的難度，需要進(jìn)行原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組與改造。而在這類新知學(xué)習(xí)中，合理引入多元化的表征方式，將能很好降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。在此過程中，需要教師對知識本質(zhì)展開深層次的分析，并且應(yīng)用開放性思維進(jìn)行多元化表征方式的開放。

以“千米和噸”這節(jié)知識教學(xué)為例，這兩個概念其實(shí)并不是很難，不過學(xué)生在選擇單位填空的時候時常會出現(xiàn)錯誤，這就代表著學(xué)生對該部分知識理解不夠透徹。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生時常會以學(xué)校跑道的圈數(shù)與百米賽跑圈數(shù)、1千米的關(guān)系構(gòu)建相應(yīng)的等式。不過因?yàn)榍纂x學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有著一定的距離，所以學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)理解起來存在一定難度。在多元表征理論視角下，教師可以在教學(xué)前讓學(xué)生走一千米的路程，并要求他們走完之后記錄時間和感受，如腿酸、很累等，這樣便能實(shí)現(xiàn)概念的體驗(yàn)化表征，有效加深學(xué)生的理解，進(jìn)而在下次遇見類似問題的時候，能夠有效解決。

（二）借助多元表征強(qiáng)化學(xué)生數(shù)感

數(shù)感是小學(xué)生必須具備的一項(xiàng)數(shù)學(xué)能力，良好的數(shù)感能夠幫助學(xué)生更好地理解生活中數(shù)的意義，把握具體情境中的一些數(shù)量關(guān)系。不過需要注意的一點(diǎn)，數(shù)感是對數(shù)的一種感悟，不像知識技能學(xué)習(xí)那般可以立竿見影，而是學(xué)生在不斷學(xué)習(xí)中進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的積累，然后逐漸得到提高。針對此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)該清楚認(rèn)識到這一點(diǎn)，采用合適的方式進(jìn)行引導(dǎo)。

例如在《找規(guī)律》這節(jié)知識教學(xué)中，本質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。針對此，教師在教育教學(xué)中可以合理引入多元表征，這樣能夠強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)感的感悟，加深他們對本課程知識的理解。在課程開始的時候，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：小兔子在家中玩拼圖游戲，第一次拼的是三行一列，第二次是三行兩列……，第十次是三行十列。之后提出問題：“小兔子幾次拼的圖形一樣嗎？有什么不同和變化？”這時很多學(xué)生都能回答出正確答案，本環(huán)節(jié)主要目的就是借助語言表征、圖形表征使學(xué)生初步認(rèn)識到數(shù)列的規(guī)律。之后，教師可以讓學(xué)生應(yīng)用不同的表征形式將自己理解的內(nèi)容呈現(xiàn)出來，可以采用算一算、圈一圈等方式。學(xué)生應(yīng)用不同的表征形式找到規(guī)律的時候，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行規(guī)律的朗讀，以便進(jìn)一步加深學(xué)生的記憶，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的有效形成，提升教學(xué)質(zhì)量。

（三）通過多元表征幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念有著復(fù)雜性與抽象性等特點(diǎn)，蘊(yùn)含著非常豐富的內(nèi)涵，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。可以說，所有數(shù)學(xué)規(guī)則的研究與應(yīng)用，都依賴于數(shù)學(xué)概念。針對此，數(shù)學(xué)教師需要加強(qiáng)對其的重視，合理開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)。不過就實(shí)際情況來看，部分教師因?yàn)閭鹘y(tǒng)教學(xué)觀念的影響，在教育教學(xué)中依舊采用灌輸式教學(xué)手段，具體就是自己簡單講解，然后讓學(xué)生機(jī)械背誦，這樣導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然，而且時間久了還很容易遺忘，不利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。而通過多元表征方式則可以很好解決這一問題，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。

例如在《除法》這節(jié)知識中的“有余數(shù)除法”教學(xué)中，教師幫助學(xué)生構(gòu)建概念的多元表征，同時結(jié)合具體需要引導(dǎo)學(xué)生靈活地轉(zhuǎn)換。首先，教師可以通過符號、動作等表征方式的轉(zhuǎn)換幫助學(xué)生理解有余數(shù)除法和余數(shù)的概念含義。其次，在課堂上，以學(xué)生熟悉的小棒擺圖形情境引入新課，具體就是讓學(xué)生利用自己手中的小棒擺出相應(yīng)的圖形，然后看看剩余多少。最后，學(xué)生對擺圖形的結(jié)果合理分類，分別是有剩余和沒有剩余。學(xué)生借助操作表征和言語表征之后，教師便可以進(jìn)入算式表征，這樣便能將本課程的本質(zhì)呈現(xiàn)出來，有效加深學(xué)生對知識的理解與掌握，提升教學(xué)質(zhì)量。

（四）借助多元表征幫助學(xué)生理解算理

在應(yīng)試教育背景下，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中往往比較看重立竿見影的教學(xué)訓(xùn)練，進(jìn)而在課堂教學(xué)中一味采用灌輸式教學(xué)手段，讓學(xué)生大量做題，這樣導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較枯燥無趣，影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提升。以計算教學(xué)為例，教師一般都是設(shè)計大量的練習(xí)，旨在幫助學(xué)生更好地掌握算法。這樣雖然能夠短時間看到效果，不過對學(xué)生長期發(fā)展有著很大的不良影響，阻礙學(xué)生真正地理解算理。

在兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位法這一知識點(diǎn)教學(xué)中，為了達(dá)成理想的教學(xué)目標(biāo)，教師不僅可以為學(xué)生提供小棒，還有方格紙。看起來簡單的兩種學(xué)具，其實(shí)能夠發(fā)揮大作用，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的逐漸滲透。之后，教師可以為學(xué)生呈現(xiàn)一些比較典型的例題，然后讓學(xué)生通過多種計算方法進(jìn)行解答，比比哪個學(xué)生提出的方法最多。在好勝心驅(qū)使下，能夠使學(xué)生的思維一直保持活躍的狀態(tài)。而且，這樣體現(xiàn)的很多計算方法是學(xué)生通過具體操作獲得，而不是教師硬塞的，所以學(xué)生的理解將會更加深刻，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好鋪墊，有效強(qiáng)化學(xué)生獨(dú)立探究與遷移的能力。

五、結(jié)束語

綜上所述，基于多元表征進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動的組織設(shè)計十分必要，有助于增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。可以這樣說，數(shù)學(xué)理解離不開多元表征教學(xué)，而這就需要教師積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念，加強(qiáng)對多元表征的分析，認(rèn)清其特點(diǎn)和優(yōu)勢，然后結(jié)合教學(xué)目標(biāo)與要求合理進(jìn)行教學(xué)活動的設(shè)計，這樣便能將多元表征的作用更好地發(fā)揮出來，使得學(xué)生可以形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。