淺談高等數學課教學及其科研心得

摘?要：首先，從高等數學教學方法上，強調形象直觀教學法、注重探究教學法和發現教學法、加強陶冶教學法;其次，從高等數學教學方式上，注重數學知識的應用，加強數學實驗教學，引導學生參加數學建模競賽和高等數學競賽，發揮高等數學課在培養學生邏輯思維能力的作用來;再次，從高等數學的教學手段上，充分利用現代化教學手段，重視習題課，重視作業的布置與批改，重視課后答疑;最后，淺談高等數學教師在平時教學中如何提高自身科研水平的心得。

關鍵詞：高等數學;教學方法;數學實驗;邏輯思維

中圖分類號：G623.5??文獻標識碼：A

OnHigher?Mathematics?Teaching?and?Its?Scientific?Research?Experience

Qian?ZhiXiang

The?Department?of?Basic?Education，Guangdong?Polytechnic?College?GuangdongZhaoqing?526100

Abstract：First?of?all，from?the?teaching?methods?of?higher?mathematics，it?emphasizes?the?image?and?intuition?teaching?method，the?exploration?teaching?method?and?the?discovery?teaching?method，and?strengthens?the?cultivation?teaching?method.Secondly，from?the?teaching?way?of?higher?mathematics，we?should?pay?attention?to?the?application?of?mathematical?knowledge，strengthen?the?teaching?of?mathematical?experiment，guide?students?to?participate?in?mathematical?modeling?competition?and?higher?mathematics?competition，and?play?the?role?of?higher?mathematics?course?in?cultivating?students'?logical?thinking?ability.Thirdly，from?the?teaching?means?of?higher?mathematics，make?full?use?of?modern?teaching?means，attach?importance?to?exercises，attach?importance?to?the?assignment?and?correction?of?homework，attach?importance?to?answer?questions?after?class;Finally，talk?about?the?higher?mathematics?teachers?in?peacetime?teaching?how?to?improve?their?own?scientific?research?level?of?experience.

Keywords：Higher?mathematics;Teaching?method;Mathematical?experiment;Logical?thinking

世間萬事萬物都具其自身發展的內在的規律性，教學活動也具有其自身的規律性，雖教無定法，但教學有法，只要你在教學實踐中做有心人，能夠把簡單的事情重復做，把重復的事情精致做，不斷摸索，久而久之，熟能生巧，教學才能得心應手，揮灑自如，你只要一百次、一千次把一件工作做好了，你就是一個工匠，你就是一個庖丁。我是一名高等數學教師，記得我剛開始教學時，由于教學經驗不足，總是喜歡面面俱到、事無巨細地講解書本上的每一個概念和定理，生怕講漏了某個知識點，生怕完成不了教學計劃，而且每節課都生怕講不完，所以經常拖堂，這就導致了課堂上滿堂灌，學生成為被動學習對象，學生的學習主動性被抹殺，學生就會失去對高等數學這門課的學習樂趣。當時上課感覺很累，教學效果也差，學生們厭學情緒嚴重，這讓我不知所措。后來經過多年的教學實踐，在教學中不斷地摸索，不斷地學習，才有了駕馭課本，駕馭課堂的能力，現在上課時基本上把精力都放在重點突出和難點解決這兩個方面，一節課基本上就一個重點一個難點，重點掌握了，難點解決了，學生們都能夠當堂消化知識。現在我在教學上教得很輕松，學生們在課堂上學得也很輕松。總之，教師只有在教學實踐中不斷地探索，不斷地積累，不斷地鉆研，不斷地總結，推陳出新，才能使自己的教學水平達到爐火純青的境界。

1?在高等數學教學方法上的心得

1.1?在高等數學課堂上強調形象直觀教學法

高等數學這門課具有其自身的特點，就是抽象難懂，趣味性低，學生學起來容易產生為難情緒，針對這種情況，我在教學過程中總是強調數形結合的思想方法來解決問題，告訴同學們學數學一定要數形結合，數與形要形影相隨，不可分離，要以圖示性，以圖識性，以圖記性。這樣就可以把抽象的概念形象化，把形象的概念直觀化，把直觀的概念具體化，幫助同學們理解。例如我在講《高等數學》函數的單調性和極值這節課時，其中有駐點、極值點、最值點、不可導點、間斷點、拐點等這些抽象的概念，學生比較難懂，我就采用數形結合的方法，畫函數圖像來幫學生們理解，把這些點的概念和具體的圖像的點的性質特征集合起來進行理解，這樣學生很快就弄懂了;在講《離散數學》偏序集這節課時，其中偏序集中一些特殊的元素，如最大元、最小元、極大元、極小元、上界、下界、上確界和下確界這些抽象的概念，學生很難弄懂，我也用數形結合的方法，畫出這個偏序集的哈斯圖，把抽象的概念與具體的哈斯圖上的結點相聯系，通過數形結合，幫學生們理解，學生們就很容易懂了。還有許多數學概念比較抽象，我盡量使用幾何畫板用動畫的方式直觀形象地展現給學生，有時候也用形象生動的比喻來刻畫難懂的數學知識。

1.2?在高等數學課堂上注重探究教學法和發現教學法

為了培養同學們自主學習的習慣，我經常用打破砂鍋問到底的方法，引導學生追尋數學的源頭。例如在講《高等數學》定積分的定義這節課時，涉及不規則圖形的面積，我就追問學生在中小學時就學過的許多規則幾何圖形的面積公式是怎么來的。例如三角形面積公式為什么是底乘高除以二，梯形的面積公式為什么是上底加下底乘以高再除以二，圓的面積公式為什么是圓周率乘以半徑的平方等，讓同學們思考，結果有少數同學能答出來，這些公式全部可以利用長方形面積公式推導出來，接著繼續追問學生為什么長方形的面積是長乘以寬呢？就沒有人能回答出來了，是人為規定的嗎？我想這可能就是面積的源頭吧！同樣在講到不規則幾何體的體積時，問學生在中小學時所學的規則幾何體的體積公式是怎么來的，例如為什么柱體的體積公式是底面積乘以高;錐體的體積公式三分之一底面積乘以高;球體的體積公式是三分之四乘以圓周率再乘以半徑的立方;還有臺體的體積公式等，其實不管是規則幾何體的體積公式，還是不規則幾何體體積求法都可以由長方體體積公式推導出來，但是長方體的體積公式是怎么來的呢？就很少有人知曉了，我想這也許就是體積的源頭吧！自然數的加法也有類似的情形，例如可以由1+1=2推導出2+1=3，3+1=4，3+4=7等所有自然數的加法，但是為什么1+1=2呢？幾乎沒有同學能夠回答出來，這就是自然數加法的源頭吧！我覺得在課堂上多問為什么，讓同學們自己去探索，去發現數學的源頭，這不僅能活躍課堂氣氛，而且能增加數學課的趣味性。

1.3?在高等數學課堂上通過數學史加強陶冶教學法

數學來源于現實生活，來源于生活實踐，所以我在某一門課開始，或者某一章節開始，總是想方法設法把這一門課的歷史淵源講給同學們聽，或者把與某一個數學概念有關的歷史故事講給同學們知道，讓同學們懂得這門學科或某一數學概念的來源，培養同學們的數學素養，陶冶同學們的情操，激發同學們學習高等數學的學習熱情。例如，在講《圖論》這門課時，我總是會講哥尼斯堡七橋的故事[1]，講述大數學家歐拉是如何利用圖論的思想解決這個千古難題，并且寫出了第一篇關于圖論的文章，從而歐拉被譽為圖論之父。在講《微積分》這門學科時，我從公元前3世紀古希臘數學家和物理學家阿基米德講起，他在著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就提到了微積分學中的積分思想[2];講到我國古代莊周所著的《莊子》“天下篇”，講到我國三國時期劉徽在他的割圓術，其中的思想都已經孕育了微積分中典型的極限思想;1635年，意大利數學家卡瓦列利在他的專著《連續不可分幾何》中，就提到可以把一條曲線看作無數條線段拼成的，其實這就是以大化小，以直代曲的極限思想，這為后來的微積分的誕生奠定了堅實的基礎;到了17世紀后期，在前人對微積分研究的基礎上，牛頓從物理學的角度研究了微積分，創立了“流數術”的理論，這實際上就是現代微積分理論;幾乎同時德國數學家萊布尼茨則是從幾何學角度獨立研究了微積分，萊布尼茨使微積分更加簡潔和明了。這樣通過無數數學家對微積分的研究，從而使微積分這門學科日臻完善。經常通過給同學們講數學史，可以陶冶學生們的數學情操，培養學生的學習熱情，使得上高等數學課不那么枯燥無味。

2?在高等數學教學方式上的心得

2.1?注重數學知識的應用

注重數學知識的應用，讓學生知道數學不是枯燥的概念和公式的集合，而是一個實際應用的工具。例如，高等數學中微分的應用這一節，我就要讓學生知道，中學階段的各種數學用表，如平方根表、立方根表、指數表、對數表，還有三角函數表等都是高等數學中微分及其近似計算理論的應用而得到的。

2.2?加強數學實驗的教學

加強數學實驗的教學，讓學生掌握應用數學軟件來解決實際問題的能力，讓學生懂得數學是一門工具，數學實驗是把數學理論與數學實踐結合起來的重要的教學手段，隨著電子計算機技術的飛速發展和數學軟件的不斷開發，數學實驗課已經變得越來越重要了，數學實驗課不僅能提高學生的數學素養和靈活運用計算機的能力，而且能培養學生利用數學建模從事科學研究的能力，讓學生們懂得數學不是那么抽象，而是具體的應用工具。

2.3?引導學生參加數學建模競賽和大學生數學競賽

引導學生參加數學建模競賽[34]和大學生數學競賽[5]，讓學生們體會到高等數學的精妙絕倫和獨特的魅力。調動同學們的學習積極性，增強榮譽感，培養同學們應用數學理論解決實際問題的能力，鍛煉同學們創新思維能力，也可以借此來推動高等數學的教育教學改革，讓同學們學會把高等數學中的基本理論與實際生活緊密結合起來提高對高等數學的認識與實踐，從而提升高等數學教學方式和教學方法。

2.4?發揮高等數學教育在培養學生邏輯思維能力中的作用

培養學生邏輯思維能力是高等數學的一個核心素養，高等數學教育教學中概念的引入、定理的證明、公式的推導等到處都蘊含著邏輯思維，邏輯思維的形式是多種多樣的[6]。例如：在高等數學中，從一元函數微分學向多元函數微分學的推廣和完善，就是運用了延伸式思維;在高等數學中，把二維向量空間、三維向量空間的有關概念和定理向N維向量空間中推廣應用就是擴展式思維的運用;在高等數學中，導數的應用、矩陣與二次型的關聯等都離不開聯想式思維;在高等數學中，運用極限的思想，通過“以大化小、以常代變、近似求和、取極限”方法求不規則幾何體的面積和體積，就是運用式思維的體現。此外還有逆向式思維、幻想式思維、奇異式思維、綜合式思維、求異式思維的運用等，高等數學教育中到處都充滿著邏輯思維的運用，因此在高等數學教育教學中要時時刻刻加強對學生進行邏輯思維的訓練，為培養創新型人才做出貢獻[7]。

2.5?強化高等數學中的公式和定理的證明

高等數學中的公式和定理的證明也能夠培養學生們邏輯思維能力和創新能力，數學公式的證明是學好數學，培養抽象思維能力的一種重要的方法和途徑。高等數學的定理的證明，對于培養學生的邏輯思維能力和抽象思維能力都有很大幫助。證明一個數學上的問題往往不像證明工程技術中的實驗那樣具體，高等數學中的一些公式和定理證明是一種高度抽象的思維活動。高等數學可以培養學生們的抽象思維能力和邏輯思維能力，而抽象能力和邏輯思維能力是學好自然科學學科所必需的能力。

3?在高等數學教學手段上的心得

3.1?充分利用現代化教學手段

充分利用現代化教學手段，精心制作課件，盡力使課件重點突出，簡潔明了，條理清晰，結構合理，并且加以動畫，讓自己的課件動起來，這樣才能讓同學們聽課不枯燥，才能使同學們能夠專心聽講，適當的時候穿插一些準備好的教學視頻，讓課堂教學多樣化。還可以使用微課[8]精講某個知識點，效果更好。使用翻轉課堂，讓學生和老師的角色發生變化，老師通過學生提出的問題來引導學生學習和運用知識。

3.2?重視習題課

重視習題課，每一章我至少安排兩節課的習題課，習題課是高等數學教學的一個重要環節，是對本章知識的一個概括、總結、運用和深化，也是培養學生學會歸納總結，抽象概括和綜合運用能力的一個有效途徑。上好習題課，首先要幫助學生在思維中形成一個完整的知識體系和知識結構，梳理本章中的數學概念、定理、公式和法則，以及它們的應用條件，應用范圍和相互關系，然后配合經典的例題講解，幫助同學們復習，鞏固所學的知識內容，溫故而知新，同時還會加深同學們對本章知識的理解，提高同學們運算能力、綜合運用能力和歸納演繹能力。

3.3?重視作業的布置與批改

重視作業的布置與批改，高等數學課作業的布置與批改是高等數學課教學的一重要環節，是對高等數學課教學效果的檢驗和加固，教學中所產生的一切問題都體現在學生的作業情況之中，因此必需引起高度重視，但是眾所周知高等數學課是一門公共基礎課，大多是以合班的形式授課的，授課的班級人數較多，而且每兩次課都要布置一次作業，這樣對于一個高等數學教師來說，如果全批全改顯然工作量巨大，有的教師會在這個環節上偷工減料。但是我認為教師應該要有樂于奉獻的精神，要全身心地專注于每個教學環節，認真批改好學生的作業，從學生的作業中發現問題，從而改進今后的教學。我總是習慣于全批全改學生的作業，在批改學生的作業過程中與學生發生互動，我喜歡給學生的作業進行點評，加批注。如遇到一些普遍性的問題，那就更要注意了，我就把它記入教學后記中，在今后的教學中加以注意。我在給學生布置作業的時候，也是有講究的，我布置的作業類型有課前作業、隨堂作業，還有課后開放性的作業。課前作業是用來引導學生養成課前預習的好習慣，隨堂作業是培養學生的學習積極性的，課后開放性的作業是培養學生的學習興趣的。總之，用好作業這個教學環節是非常重要的。

3.4?重視課后答疑

重視課后答疑，高等數學課每節課授課內容多，知識點抽象難懂，而且每個學生的基礎知識和理解能力參差不齊，這樣教師很難在短短的一節課里讓每個同學都能完全掌握所學知識，因此課后答疑解惑環節不可或缺，過去有些教師一下課就甩手走人，課下學生找不到老師蹤影。現在互聯網高度發達，我們可以通過微信、騰訊QQ、騰訊課堂等有效形式給同學們進行課后答疑解惑，同學們學習上只要遇到什么問題，我們都可以隨時給他們進行答疑，教學效果顯著提高。

結語

首先要廣泛閱讀同行專家撰寫的經典論文，認真研究他們解決問題的方法和解決問題的技巧，模仿著寫幾篇論文，提高自己的自信心。其次，平時要多積累素材，充分利用圖書館的資源。對于我們高等數學老師來說，我們不僅要充分利用圖書館的資源中的有用書籍，而且更重要的是充分利用數據庫上的網絡資源。如果能夠有效利用網上資源，那么會給我們帶來意想不到的成功。為了解學科前沿，我們要盡量多地參加國內外著名專家的學術講座，從中受到啟發，激發靈感。了解本專業的科研動態和最新發展方向，了解國內國外學者們的最關注的學術前沿，在教學中也要多留意各樣的素材，善于總結，多積累，厚積薄發，利用課堂教學積累資料，撰寫教學研究論文，教研相長。再次，要積極主動地申報科研項目，利用科研項目來促進科學研究，且善于動用所有資源，尋找研究方向，進行有效的突破。然后，寫論文時候要在學中寫，在寫中學，不能等萬事俱備。最后，還要有堅持不懈、持之以恒、敢于攀登的精神。

參考文獻：

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[3]甘筱青.數學建模教育及競賽[M].（第一版）南昌：江西高校出版社，20042：136140.

[4]王小琴.提高高職學生數學建模能力的方法探討[J].科技資訊，2020（17）：116117.

[5]趙珈玉.以學科競賽促進數學與應用數學專業課程改革路徑淺述[J].科技資訊，2021（12）：137139.

[6]韋特海默.創造性思維[M].林宗基譯.北京：教育科學出版社，1987：8691.

[7]李亞蘭.試論高職數學課程對大學生創新能力的培養[J].科技創新導報，2020（02）：201202.

[8]練琪，王錦.微課教學模式在高職公共課教學中的應用探討[J].科技創新導報，2020（18）：204205.

基金項目：廣東理工學院高等教育教學改革項目（JXGG202151）

作者簡介：錢志祥（1974—?），男，漢族，安徽巢湖人，碩士，副教授，研究方向：微分算子理論。