運用GeoGebra軟件，強化數據分析過程

李悅 袁智強

摘要：《一元線性回歸模型》一課，借鑒美國統計學會提出的“提出問題—收集數據—分析數據—解釋結果”四環節教學模式，嘗試運用動態數學軟件GeoGebra，幫助學生充分經歷數據分析過程。具體地，創設兒子身高和父親身高相關關系的問題情境，收集學生及其父親身高的真實數據，運用GeoGebra軟件的動態作圖和較大規模計算功能，讓學生能夠直觀、便捷地探索如何尋找最佳擬合直線;引導學生解釋實驗發現的最佳擬合直線背后的數學思考過程，體會其中蘊含的數學思想。

關鍵詞：數據分析;GeoGebra軟件;《一元線性回歸模型》

本文系教育部人文社會科學研究青年基金項目“創新型STEM教師培養的探索性研究”（批準號：18YJC880115）的階段性研究成果。“統計的研究對象是數據，核心是數據分析?！雹壑腥A人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：31，7?！皵祿治鍪侵羔槍ρ芯繉ο螳@取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養?！雹蹖τ谌私藺版高中數學選擇性必修第三冊第8章第2節《一元線性回歸模型》一課，我們基于美國統計學會為中小學以及幼兒園制訂的《統計教育評價與教學指導綱要》中提出的“提出問題—收集數據—分析數據—解釋結果”四環節教學模式，嘗試運用動態數學軟件GeoGebra，幫助學生充分經歷數據分析過程，提升數據分析素養。

一、教學過程

（一）提出問題，引發思考

教師帶領學生回憶之前學過的“成對數據的統計相關性”，然后觀看“姚明家族身高”短視頻新聞，引出問題：兒子身高與父親身高這兩個變量究竟有什么關系？通過這一與現實生活密切相關的問題，激發學生的好奇心和求知欲。

（二）收集數據，觀察探索

在課前布置作業，請所有男生回家了解自己父親身高的基礎上，教師采取現場收集數據的方式，隨機抽取14位男生將父親的身高與自己的身高通過平板電腦填入教師下發的在線文檔中。由此，讓學生直接產生數據，接觸數據，提高對生活中常見數據的敏感度，培養學生的數據意識。

（三）分析數據，技術整合

這一環節是本課教學的重點之一，教師運用GeoGebra軟件展示數據的散點圖，引導學生分析數據，嘗試利用函數模型近似描述數據的相關關系，并且通過軟件作圖與計算，充分探討如何尋找最佳擬合直線（一次函數模型）。具體教學過程如下：

師（將通過在線文檔收集到的數據粘貼到GeoGebra的表格區，并選中表格區的“父親身高”與“兒子身高”，點擊右鍵 ，選擇“創建—點列”，畫出散點圖）觀察散點圖，看看點的分布有何特點，從而探討兒子身高和父親身高有何關系。

生直觀上可發現，散點大致分布在一條從左下角至右上角的直線附近，這表明兒子身高和父親身高呈線性關系。

（教師出示問題1：兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關系可以用函數模型刻畫嗎？）

生從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線附近，可以用一次函數模型來刻畫兩者之間的關系。

師非常好！我們可以看到，散點分布在一條直線附近，但不在同一條直線上。例如，兩個父親身高均為172 cm，但是他們兒子的身高不同，一個是166 cm，另一個是170 cm?？梢园l現，兩者之間的關系不是簡單的函數關系，因此不能用函數模型來刻畫，但是可以用一次函數來刻畫父親身高對兒子身高的影響。

[教師出示問題2：我們選擇直線模型（一次函數）來刻畫父親身高對兒子身高的影響，那么，如何找到最佳直線，使樣本數據的散點在整體上與此直線最接近？ ]

生畫出一條直線，測量出各點到直線的距離，使得距離之和最小。

生畫出一條直線，使得直線兩側分布的點的個數相同。

生在散點圖中多取幾對點，確定幾條直線，再分別求出各直線的斜率、縱截距的平均值，即為所求直線的斜率和縱截距。

師同學們的想法都非常好！我們不妨實踐一下，看這些方法是否真的可行。事實上，利用傳統的工具完成這些任務是非常麻煩的，并且不一定能達到我們的目的。我們嘗試使用GeoGebra來操作。（同步在GeoGebra中操作，得到圖1所示的結果）隨便選兩點O、P確定一條直線l，在指令欄輸入“T_2=序列（線段（元素（T_2，i），交點（垂線（元素（T_1，i），f），f）），i，1，14）”，即將所有的點向直

線l引垂線，并求出每個垂線段長（即點到直線的距離）的序列T2;在指令欄輸入“D1=總和（T_2）”，求出點到直線的距離之和。此時，我們要使得D1的值最小，不妨改變O、P的位置，移動直線。我請一位同學上來移動兩點的位置，其他同學觀察能否找到使D1的值最小的直線。

生（同步在GeoGebra中操作）先移動其中一個點，發現距離和也在發生變動，使可觀察到的D1的值最小;再移動另一個點，使可觀察到的D1的值最小。但我發現，這時再進行微小的移動，總會發現D1的值比之前還要小，所以，無法確定所找到的D1的值是不是最小值。這種方法不妥。

師同學們可以發現，移動直線可以將點到直線的距離之和變小，但是無法確定該值何時最小。接下來，我們探討一下第二種方法，考慮直線兩側點的分布情況。還是請一位同學上來移動直線，其他同學觀察直線兩側點分布情況的變化。

生（同步在GeoGebra中操作）當直線在一定的范圍內移動時，均可使直線兩側分布的點數相同，都是7。也就是說，使直線兩側分布點數相同的直線有無數條，無法判斷哪條是最佳直線。

師同樣地，考慮第三種方法。（同步在GeoGebra中操作）首先，取不同對的點，可以確定不同的直線，從而得到不同的斜率、縱截距及其平均值。其次，用我們學過的計數原理，在14個點構成的散點圖中最多可以取14×13÷2=91（對）點，在沒有三點共線的情況下最多可以確定14條直線，但是，其中會有直線沒有斜率與縱截距，這時便無法求出斜率與縱截距的平均值。（稍停）可見，以上方法雖然都有一定的道理，但是都比較難確定哪條直線為最佳擬合直線。請同學們再思考一下：能否找到其他標準？

（學生遲疑。）

師在許多實際問題中，x是沒有誤差的固定值，只有y才是有誤差的觀測值，所以只考慮y偏離直線的程度即可。而點到直線的距離同時考慮了x和y偏離直線的程度。

生那就讓樣本數據點離直線的豎直距離之和最小。

師非常好！用各點到直線的豎直距離來刻畫各點與該直線的接近程度。也就是說，樣本觀測值與直線的預測（解釋）值之間的偏差越小，說明直線的擬合效果越佳。但豎直距離是縱坐標之差的絕對值，絕對值求和不方便計算，怎么辦？

（學生討論。）

生可以平方后求和。

師很好！那就是用各點到直線豎直距離的平方和，即偏差平方和刻畫“整體接近程度”。（同步在GeoGebra中操作，得到圖2所示的結果）在指令欄輸入“T_3=序列（多邊形（元素（T_1，i），交點（垂線（元素（T_1，i），x軸），f），4），i，1，14）”，畫出偏差平方和的圖像。同學們可以看到，要求各點到直線豎直距離的平方和，就是要求以各點到直線的豎直距離為邊長的正方形的面積和。（將課前設計好

的課件發給學生）同學們可以改變直線的位置，尋找小正方形面積和的最小值。

（學生自主探索，用時2分鐘。）

師請同學們分享一下自己找到的最小值。

生139.54。

師還有同學找到比這個值更小的嗎？

生128.8。

師還有比這個更小的嗎？

生128.78。

師同學們可以看到，偏差平方和為128.78時，直線的方程為y=0.74x+43.93。接下來，給同學們2分鐘時間進行驗證。

（學生驗證。）

師同學們驗證好了嗎？（同步在GeoGebra中操作）在指令欄輸入“線性回歸Y（T_1）”，會得到擬合直線的方程為y=074x+43.93。該直線即為使各散點到直線的偏差平方和最小的直線。

（四）解釋結果，揭示思想

這一環節，教師引導學生解釋實驗發現的最佳擬合直線（線性回歸模型）背后的數學思考過程，從而經歷完整的統計問題解決過程，體會數學研究抽象出一般模型、通過推理與計算嚴格論證的根本追求和總體思路，并且幫助學生進一步理解其中蘊含的數學思想。具體教學過程如下：

師兒子身高和父親身高之間關系的最佳擬合直線，我們是通過GeoGebra軟件強大的計算功能，快速計算各種情況下的偏差平方和找到的?，F在請同學們思考一下——

（教師出示問題3：現實生活中，當我們拿到樣本數據后，該如何計算以找到最佳擬合直線的方程，即擬合函數呢？學生思考。）

師前面說了，不能用一次函數模型來表示兒子身高與父親身高兩個變量之間的關系，只能用一次函數模型來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而影響兒子身高的其他因素應作為隨機誤差。我們用x表示父親的身高，Y表示兒子的身高，e表示隨機誤差。假定隨機誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關的定值σ2，可以構建Y關于x的線性回歸模型，即Y=bx+a+e，

E（e）=0，D（e）=σ2。其中，父親身高為xi的所有男生的身高組成一個子總體，該子總體的均值為bxi+a，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數關系。但當一個男生父親的身高為xi時，這個男生的身高yi卻不一定為bxi+a，而是該子總體中的一個觀測值，這個觀測值與均值之間有一個誤差項|ei|=|yi-（bxi+a）|。誤差項越小，表示樣本數據點與直線的豎直距離越小。對一組真實的數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），設最佳擬合直線的方程為y=bx+a，根據我們前面討論的尋找最佳擬合直線的方法，即使樣本數據點與直線豎直距離的平方和最小，就是要確定什么的值，使什么最小？

生確定a、b的值，使∑ni=1（yi-bxi-a）2的值最小。

師你可以通過數學上求二次多項式最小值的方法，確定a、b的值嗎？

（學生遲疑。）

師注意，這里有很多字母，首先要分清哪些是未知數或變量、哪些是已知數或常量。

生a、b是變量，xi、yi是常量。

師所以，這個式子本質上是一個二元二次多項式。求一元二次多項式，即一元二次函數的最值，最根本的方法是什么？

生配方法。

師同學們可以試著求一下a、b分別等于多少時，∑ni=1（yi-bxi-a）2取最小值。實在求不出來，可以看一看教材第109頁的推導過程。

（學生活動。）

師得到了a、b，也就得到了最佳擬合直線的方程。我們將其稱為Y關于x的經驗回歸方程，將相應的擬合直線稱為經驗回歸直線，將這種求經驗回歸方程的方法叫作最小二乘法。由經驗回歸方程可以發現，經驗回歸直線過點（x，y），我們將其稱為樣本中心點。（稍停）再來看前面我們收集的兒子身高與父親身高的14組數據，利用推導出來的公式可以計算出其經驗回歸方程中的a、b分別為多少？

（學生用電腦程序計算。）

生b=0.74，a=43.93。

師這和我們剛剛運用GeoGebra軟件所求的經驗回歸方程一致。

（教師出示問題4：請同學們利用剛剛求出的經驗回歸方程，求出當x=176 時，Y為多少？如果一位父親的身高數據是176，那么其兒子的身高數據一定為所求的值嗎？）

生Y≈174。兒子的身高不一定為174cm，影響兒子身高的還有諸多其他因素，只是按經驗來說一般平均為該值，用回歸方程求出來的值為總體中兒子平均身高的估計值。

師沒錯。而且，經驗回歸方程y=0.74x+43.94的斜率可以解釋為父親的身高每增加1 cm，兒子的身高平均增加0.74 cm。通過對該模型的分析，還可以發現，高個子父親有生高個子兒子的趨勢，但一群高個子父親的平均身高要高于其兒子的平均身高;矮個子父親有生矮個子兒子的趨勢，但一群矮個子父親的平均身高要低于其兒子的平均身高。英國著名統計學家高爾頓把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現象”。后來，人們就把用一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為“回歸分析”。（稍停）用最小二乘法求得的經驗回歸模型擬合效果如何？是否還能進行優化？請同學們帶著問題回去思考一下。

二、教學思考

本節課基于統計教學的“四環節”教學模式，運用動態數學軟件GeoGebra，讓學生充分經歷了統計問題解決的數據分析過程。課上，教師創設現實情境，引導學生提出問題，進而收集真實數據，多元分析數據，充分經歷“從猜想到證實或證偽、從嘗試到確定或否定”的數學探究過程，尋找解決問題的方案。

注重信息技術與數學教學的深度融合是高中數學新課標理念之一。統計教學往往需要收集和分析（包括制表、作圖、計算以及隨機模擬等）大量數據，因此，信息技術的運用顯得尤為重要。本節課最大的亮點是，教師運用GeoGebra軟件的動態作圖和較大規模計算功能，讓學生能夠直觀、便捷地探索“如何找到最佳直線，使樣本數據的散點在整體上與此直線最接近”，從而充分經歷從實驗發現到理論推導的數學探究過程，對客觀數據中蘊含的統計規律有從感性到理性的認識與思考，更深刻地理解數據分析的內涵。

此外，值得一提的是，單純通過實驗探索得到通過豎直距離（偏差）平方和最小尋找最佳擬合直線的方法，說服力還是有些不足的。所以，教學中，教師在充分放手的基礎上適時介入，補充了一定的道理，引導學生得出上述方法。