培養數學逆向思維 提升學生核心素養

福建省漳州市第一中學 黃素蘭

逆向思維是一種創造性思維，能輔助學生深度理解教學內容與相關數學知識，對培養學生邏輯性思維有著重要的作用。在初中教育階段這一學生數學學習的基礎時期，應當為學生的逆向思維培養進行合情合理策略的構想，并在實踐中實施相關策略，促進學生的數學逆向思維培養，提升學生的數學核心素養。

一、逆向設問，啟迪逆向思維意識

培養學生的逆向思維，首先就要在教學中逆向設問，讓學生通過逆向問題進行相應的逆向思考，從而啟迪學生逆向思維意識，打開逆向思考的窗口。在逆向問題的指引下，學生的分析也會更加得心應手。

如在“有理數”這一節中，學生要學習到與有理數的概念相關的數學知識，此時教師就可以向學生進行逆向設問，啟迪學生的逆向思維意識。在認知有理數這一概念時，以往常規的問題是有理數包含哪些類別，然后讓學生進行整數、分數等多個類別的概括，容易出現含糊的情況，且提問方式較為常規，不容易讓學生進行相關概念的記憶。此時教師就可以進行逆向設問，提問學生反方向的問題。教師首先引領學生閱讀教材內容，讓學生了解有理數包括哪些類別的數字組成后，向學生提問：“與有理數有關的知識我們已經了解了一部分，與有理數相對的無理數包括哪些數字？”學生此時就會根據已有的經驗推斷出無理數就是無限不循環小數這一概念。然后，教師向學生講解：“是的，對有理數和無理數這一對概念，我們只需要把握住準確的無理數概念——無限不循環小數，除此之外的數字就是有理數，這樣這一概念就比較容易記憶，大家也能更好地區分哪些是有理數，例如我們生活中常見的整數、分數都是有理數。”學生此時就理解了有理數、無理數之間的概念差別，通過緊緊把握無限不循環小數這一概念，實現對這一節內容的深度學習。

這樣進行逆向設問，可以讓學生進行靈活思考，為學生的逆向意識形成打開有效的窗口，從而打破以往教學中存在的定勢，進行創新的同時發散學生的思維，實現對逆向思維意識的有效培養。

二、逆用公式，提升思維靈活性

培養學生的逆向思維，還要求教師引導學生進行數學公式的逆用，讓學生通過逆用公式實現對數學問題的求解。這種逆用公式的方法為學生的問題解決打開了新的思路，有效促進了學生思維靈活性的提升。

如在“勾股定理”這一節中，學生要學習到與勾股定理相關的數學公式。此時教師可以引導學生進行數學公式的逆用，提升學生的思維靈活性。在這一節中常規的題目是根據勾股定理計算斜邊邊長，這種題目不能讓學生完全習得勾股定理。教師可以為學生出逆向利用公式的題目，讓學生進行靈活解決。“我偵察員小王在距離東西向公路400 m處偵察，發現一輛敵方汽車在公路上行駛，他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400 m，10 s后汽車與他相距500 m，你能計算汽車的速度嗎？”學生此時就會發現，這一題目屬于利用勾股定理進行計算的問題，但是已知的條件并不是兩條直角邊，而是一條直角邊和斜邊，學生此時就會進行勾股定理的逆向應用，根據斜邊500 m、直角邊400 m的情況，計算出另外一條直角邊為300 m的結果，而這輛汽車用了10 s行駛了300 m，即可得到汽車的速度為300÷10＝30 m／s，實現了逆用公式解答題目，有效提升了學生的思維靈活性。教師繼續向學生解釋道：“我們在運用勾股定理時，不能只通過直角邊的平方和進行斜邊的計算，而是要學會根據任意兩條邊求第三邊的值，例如在這一題目中知道直角邊和斜邊求另一直角邊，這就需要我們熟悉勾股數都有哪些，在這一題目中出現的是3、4、5這一組勾股數，另外還有6、8、10，7、24、25，5、12、13這些，我們要形成逆向思維，不僅出現直角邊數字要迅速想到斜邊數字，出現斜邊數字也應當迅速反應出相關直角邊數字。”

引導學生進行逆用公式，從相反的方向理解如何進行題目解答，可以有效促進學生的數學逆向思維能力培養。在數學教材中存在許多可以進行逆向使用的公式，教師要酌情選擇相關公式進行使用，提升學生對數學知識的理解深度。

三、逆向分析，執果索因

培養學生的逆向思維，還要從逆向角度，引導學生進行相反的分析，讓學生通過反方向的分析，了解數學問題的前因后果，從結果入手推導出原因，從而實現對數學知識的深度掌握，促進學生的數學逆向思維的形成。

如在“一元一次方程”這一節中，就可以引導學生進行逆向分析，因為方程本身就是一種典型的從結果出發進行等式建構的數學方法，因此教師可以運用方程的題目讓學生進行逆向分析。教師首先向學生出題：“某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4 m的圓柱形儲水箱，我們現在將它的底面直徑由4 m減少為3．2 m，在容積不變的情況下，高度應當增加到多少米？”學生此時就會開始思考，底面直徑和高均為4 m，那么體積應當為16 m，而底面直徑減少到3．2 m時，其底面積變為了2．56 m，此時16÷2．56，得到高應當為6．25 m。教師向學生講述：“與其我們這樣一步步的分析，不如直接從結果入手進行一元一次方程的設置，我們先將水箱的高設為x，那么我們就可以得到體積相等的式子，即2×2×4＝1．6×1．6×x，這樣就可以直接通過結果得出等式，之后中間再進行化簡，可以簡便運算，得到結果。”學生就會了解到如何通過結果進行逆向分析，教師繼續補充：“運用這種執果索因的方法，關鍵在于找到等量，運用等式進行計算。”

進行逆向分析可以幫助學生從結果入手，了解數學問題的推導過程，從而節省理解問題的時間，幫助學生進行高效的數學思考，促進學生的數學學習，在這一過程中，學生的數學逆向思維也被大大強化了。

四、反證，調轉思維方向

反證是指在數學問題的解決過程中從相反方向給出的數學證明方法，它打破了常規教學的思路，有效實現了數學問題的創新解答，促進學生調轉思維方向，實現逆向思維的有效培養。

如在“平行線的判定”這一節中，教師可以讓學生運用反證的方法，調轉自己的思維方向。教師首先向學生提出問題：“什么情況下兩直線平行？”學生會回答教師與內錯角、同位角、同旁內角相關的判定定理。教師再提問學生：“大家看我黑板上畫的這兩條直線，已知角1等于角2，那么兩條直線平行嗎？”學生發現兩個角并不是同位角、同旁內角、內錯角的關系，但是可以通過平角為180°推出同旁內角其實是相等的。此時學生就會從判定兩者不平行的角度進行分析，由于兩者的同旁內角相等且不同為90°，因此同旁內角不互補，因此兩直線不平行，這樣就實現了反證。

這樣運用反證法進行數學問題的解決，讓學生調轉了思維的方向，促進了學生逆向思維的培養，在這一過程中，學生對數學問題的理解思路由正向驗證轉變為了反向思考，有效培養了數學逆向思維。

五、主客互換，轉化矛盾

主客互換是指在數學解題時，把常量換為變量，從而達到轉化數學矛盾的目的。它將題目中的已知條件轉變為可操作、可變換的變量，有效實現了對數學問題創新性解答，實現了對學生逆向思維的培養。

如在“一元一次不等式”這一節中，教師可以讓學生針對題目中的條件進行主客互換，實現矛盾轉化。在“－x＋1＞7x－3”這一題目中，學生需要求出x的取值范圍，為了使不等式兩邊盡量簡化，就需要在兩邊同時加減整數實現去常量的目的，此時常量就會發生變動，學生將兩邊同時加3，就變味了－x＋4＞7x，這樣就可以直接移項得到結果。

主客互換雖然沒有直接采用逆向的解題方法，但它通過對數學問題中變量常量的轉換，有效實現了對數學問題的創新解答，也是屬于逆向思維的一種。這種主客互換的方式有較大的條件限制，教師要引導學生進行有效的情況區分。

在核心素養背景下，初中數學教師要有針對性地培養學生的逆向思維能力，幫助學生養成多角度、全方位思考問題的良好習慣，確保數學知識在現實生活中得到充分、合理的運用。