二元一次不定方程的解法及其應用

摘?要：不定方程是數論中一個古老的分支，本文主要研究不定方程中最常見的二元一次不定方程的解法及其在實際生活中的應用。

關鍵詞：二元一次不定方程;整解;解法;應用

不定方程作為數論中最古老的一個分支，其求解方法被無數喜好數學的人所研究。對于方程中未知數的個數比方程的個數多的這類方程（組），我們稱之為不定方程（組），例如ax+by=c就為最簡單的二元一次不定方程，其中的未知數如無特殊說明，其解限制在整數范圍內。

中國古代數學家們對不定方程的研究很早，公元初的“五家井井”問題就是一個不定方程的問題。公元5世紀，張丘建就已經解答了“百錢買百雞”的問題，“百雞問題”作為不定方程中典型的例題一直流傳至今。本文除了介紹解不定方程常用的方法之外，還利用同余式和連分數對不定方程進行求解。同余是數論中最基本的概念，連分數是一種新形式的“分數”，數學史上，人們對三者的研究已經非常深入，但將三者聯系在一起討論得卻非常少。在很多文獻中只提到二元一次不定方程和一次同余式的解法是等價的，利用連分數研究不定方程的更是少之又少。

提到不定方程的應用，很對人都局限在商業中求最大利潤，本文還闡述了不定方程在線性規劃問題中的應用，以及不定方程在化學物質結構求解中的應用。

對不定方程的學習，不僅可以提升我們的數學水平，提高解題能力，還可以很好地培養中學生的思維能力。

1?二元一次不定方程的定義及有整數解的條件

1.1?定義

ax+by=c（1）

式（1）叫做二元一次不定方程，其中a，b，c為整數，且a，b不為0。求方程（1）的整數解x，y的問題叫做解二元一次不定方程。

1.2?有整數解的條件

定理1.1?設ax+by=c有一組整數解x=x0，y=y0，且a，b=d，a=a1d，b=b1d，則（1）式的所有解可以表示成：

x=x0-b1ty=y0-a1tt=0，±1，±2，±3，…（2）

定理1.2?二元一次不定方程ax+by=c有整數解的充要條件是a，b|c。

2?二元一次不定方程的解法

2.1?觀察法

當二元一次不定方程中的系數比較簡單時，可通過觀察直接得到方程的一組特殊整數解，然后據此寫出方程的整數解。

2.2?輾轉相除法

當二元一次不定方程中的系數比較大時，可以通過輾轉相除法求出方程的一組整數解，從而寫出方程的全部整數解。

在不定方程ax+by=c有整數解的情況下，設a，b=d，則ax+by=c與方程aa，bx+ba，by=ca，b即adx+bdy=cd同解，令a/d=a1，b/d=b1，c/d=c1，得a1x+b1y=c1，此方程中未知數x和y的系數是互質的，所以只需求出a1x+b1y=1的一組整數解為x=x0，y=y0，則x=c1x0，y=c1y0為方程a1x+b1y=c1的一組整數解，也即為ax+by=c的一組整數解。

假定a>0，b>0。利用輾轉相除法易得：

a-1n-1Qn+b-1nPn=1

因此ax+by=1，a，b=1有一組特殊解：

x=-1n-1Qny=-1nPn（3）

其中P0=1，P1=q1，Pk=qkPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qkQk-1+Qk-2k=2，3，…，n。

依次求出P2，Q2，P3，Q3，…，Pn，Qn，即可得到（3）式。

2.3?降低系數法（逐步取整法）

當方程的系數較大時，以較小的系數作除數輾轉相除，根據不定方程的解是整數這一條件，把所求不定方程分解成幾個整數的和，從而使系數之絕對值逐步減小，易于觀察求出不定方程的解。

設給定一個二元一次不定方程適合下列條件：

ax+by=c，a>b>0，a，b=1（4）

則有整數q1，q′1，r1，r′1滿足條件：

a=bq1+r1，0<r1<b

c=bq′1+r′1，0<r′1<b

則b，r1=a，b=1，故方程：

by′+r1x′=r1′（5）

有整數解。設x=x0，y=y0是ax+by=c，a>b>0，a，b=1的一組整數解，則有y=c-ax0b=q′1-q1x0+r′1-r1x0b但y0，q′1-q1x0都是整數，所以r′1-r1x0b也是整數，令r′1-r1x0b=y0′，則x′=x0，y′=y0′是（5）的一組整數解，即（4）的任意一組整數解可以表示為：

x=x′，y=q′1-q1x′+y′（6）

其中x′，y′是（5）的某一組整數解，反之，如果x′，y′是（5）的任意一組整數解，則由（6）式所求出的x，y是（4）的一組解，這是因為由（5）和（6）可以得出：

y=q′1-q1x′+y′=q′1-q1x+r′1-r1xb=c-axb

2.4?矩陣法

將不定方程中的系數進行分離寫成矩陣的形式，然后根據矩陣的行初等變換進而求出不定方程的一組特殊解。如若求不定方程ax+by=c的一組特殊解，可以先寫出矩陣10a01b，然后對該矩陣施行一系列行初等變換（將其中某一行乘以某個非零整數加到另一行），最終將上述矩陣變換為以下這種形式c（可以變換兩行的位置）。我們就可以從變換后的矩陣中的第二行里讀出原不定方程的一組特殊解（x0，y0，c）了。

2.5?不等式估算法

利用不等式確定不定方程中某些變量的取值范圍，從而求出滿足條件的不定方程的解。

2.6?同余式求解法

二元一次不定方程ax+by=c（a，b，c為整數，且a，b不為0）與一次同余式by≡cmoda（a不為0）具有等價關系，當不定方程的系數較大時，可以先利用同余理論使方程簡化，最后再根據以上所介紹的方法求出不定方程的整數解。

2.7?連分數求解法

若連分數[a1，a2，…，an]的漸進連分數分別為P1Q1，P2Q2，…，PnQn，則在這些漸進連分數中有下列關系式：

P1=a1，P2=a2a1+1，Pk=akPk-1+Pk-2，（3n）

Q1=1，Q2=a2，?Qk=akQk-1+Qk-2，（3n）

PkQk-1-Pk-1Qk=-1k。k2

在有解的條件下，不定方程的求解問題往往取決于求出方程的一組特解x0，y0，如果x′、y′滿足不定方程ax+by=1，（其中a，b=1，b>0）則cx′、cy′就是不定方程ax+by=c，（其中a，b=1，b>0）的一組特解，所以要求此方程的特解，關鍵是要求出x′、y′。

設ab=[q1，q2，…，qn，qn+1]，得：

（a，b）（Pn+1Qn-PnQn+1）=-1n+1（a，b）

在條件a，b=d=1下，上式可以化簡為：

Pn+1Qn-PnQn+1=-1n+1

當n取奇數時，ax+by=1，（其中a，b=1，b>0）的一組特解是Qn，-Pn。

當n取偶數時，ax+by=1，（其中a，b=1，b>0）的一組特解是-Qn，Pn。

因此，不定方程ax+by=c，（其中a，b=1，b>0）的一組特解是cQn，-cPn，或-cQn，cPn。于是其整數解就可以表示出來了。那么如何求Qn和Pn呢？只需將ab寫成連分數[q1，q2，…，qn，qn+1]的形式，再求出其第n個漸進連分數PnQn即可。

3?二元一次不定方程的應用

3.1?二元一次不定方程在古代的應用

中國古代數學家們很早就開始研究不定方程了，約1500年前，張丘建就曾經解答了不定方程中流傳千古的典型例題—“百錢買百雞”的問題。

3.2?二元一次不定方程在線性規劃中的應用

例：設x、y滿足約束條件10x+4y

360x、y∈N求z=600x+1000y的最大值。

解：由題意設z=600x+1000y=2003x+5y=200z′，即z′=3x+5y，要求z的最大值，只需求出z′的最大值。對以上約束條件運算得到：

15x+8ySymbolcB@

5009x+13ySymbolcB@

56012x+27ySymbolcB@

10800SymbolcB@

ySymbolcB@

40，x、y∈Nz′=3x+5y5z′-17ySymbolcB@

500①3z′-2ySymbolcB@

560②4z′+7ySymbolcB@

1080③0SymbolcB@

ySymbolcB@

40，y、z′∈N

7×②+2×③得：

29z′SymbolcB@

6080，z′SymbolcB@

608029=2091929

由于z′∈N，則z′的最大可能值是209。當z′=209時，由①、②、③知y=34，將z′、y值代入z′=3x+5y得x=13;再將x、y的值代入5x+4y=201，不符合條件5x+4ySymbolcB@

200。

z′的最大可能值是208。當z′=208時，由①、②、③知32SymbolcB@

ySymbolcB@

35，而不定方程3x+5y=208的整數解可以表示為：

x=1+5ty=41-3t（t=0，±1，±2，…）

又由32SymbolcB@

ySymbolcB@

35，即32SymbolcB@

41-3tSymbolcB@

35，則t=2或t=3，因此：

x=11y=35或x=16y=32

經檢驗，x=11，y=35滿足所有約束條件，而x=16，y=32不滿足約束條件5x+4ySymbolcB@

200。故z′的最大值是208，即可得z=200z′的最大值是41600。

3.3?二元一次不定方程在商業中求最大利潤的應用

例：某公司計劃在今年銷售冰箱和洗衣機兩種產品，這兩種產品在市場上非常受歡迎，生產出來的產品都可以銷售完，但該公司在資金和勞動力上有一定的限制，因此，該公司要根據實際情況來確定這兩種產品的月供應量。調查顯示，與這兩種產品相關的數據如下表：

問：每月應生產這兩種產品多少臺，才能使公司獲得最大利潤？并求最大利潤。

解：每月生產冰箱x臺，洗衣機y臺，總利潤為z。

根據表格可得x、y滿足約束條件：

30x+20y66②y、z′∈Nx0，y0

目標函數為z=6x+8y。

將目標函數z=6x+8y變形為y=-34x+z8，這是斜率為-34，截距為z8，隨z變化而變化的一族平行線，在可行域中，當z8取得最大值時z也取到最大值，由圖可知當直線過M點時，z8的值最大，此時z取到最大值。求出M點坐標x=4y=9代入目標函數中求得z=6×4+8×9=96（百元）。

3.4?二元一次不定方程在解化學題中的應用

例：已知某種氣體為氮的氧化物，且這種氣體共78ml，現將其與過量的氫氣混合在一起，在一定的條件下可發生化學反應，生成液態水和氮氣，在同溫同壓下，剩余氣體比原混合氣體減少了234ml，求該氮的氧化物的分子式。

解：由題意可設該氮的氧化物的分子式為NxOy，根據題中數據可列式子：

NxOy+yH2→x2N2+yH2O液態??ΔV??1?y??x2????????（1+y-x2）?78?;?????????????234

整理計算得：78y-x2=156，即：y-x2=2。

此不定方程的解為：x=2，y=3。綜上可知，該氮的氧化物的分子式為N2O3。

結語

本文分別運用觀察法、輾轉相除法、同余式法、連分數法等七種不同的方法來研究二元一次不定方程的解法，其中觀察法、輾轉相除法和降低系數法是解不定方程的基本方法，矩陣法、不等式估算法、同余式法和連分數法應用矩陣、不等式、同余式和連分數的知識解決不定方程問題，拓展了不定方程的解法。古代的“百雞問題”已經將不定方程應用于生活中，文中就運用不定方程的基本解法解決了“百雞問題”，實際上不定方程在實際生活中的應用很廣，卻不被人們所熟知，很多人大都局限于商業中求最大利潤，本文闡述了不定方程在古代生活中、線性規劃、商業中求最大利潤及化學物質結構求解中的應用。

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作者簡介：龔子明（1991—?），女，布依族，貴州都勻人，本科，研究方向：職業教育數學教學。