以“領(lǐng)學(xué)”為助力，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中探尋學(xué)生的已知與未知

林超

［摘 要］“做中學(xué)”作為輔學(xué)手段，與“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的理念極為契合，可以促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，順利化解知識難點(diǎn)，為學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展提供助力。在數(shù)學(xué)思維活動的參與下，以“領(lǐng)學(xué)”為助力，以完成共同的實(shí)驗(yàn)任務(wù)為載體，在學(xué)生之間相互協(xié)商確定的規(guī)則下，“領(lǐng)學(xué)”引新、同伴互學(xué)，從而促進(jìn)理性思維、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想、歸納數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題。

［關(guān)鍵詞］領(lǐng)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；深度學(xué)習(xí)

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0044-04

陶行知先生指出，“做中學(xué)”中的“做”含有三種特征，分別是行動、思想、新價值產(chǎn)生。這里的“做”就是發(fā)明，是創(chuàng)造，是實(shí)驗(yàn)，是建設(shè)，是生產(chǎn)，是破壞，是奮斗，是探尋出路。成尚榮先生也指出，智慧常常躲在心靈的深處，而思考是呼喚它的最好辦法和方式。可見，“實(shí)驗(yàn)”與“思維”的融合確實(shí)是解決數(shù)學(xué)問題的好手段。陳家梅老師倡導(dǎo)的“領(lǐng)學(xué)制”，是變“教師教學(xué)”為“學(xué)生領(lǐng)學(xué)”，變“獨(dú)學(xué)”為“合學(xué)”，以“小組群體領(lǐng)學(xué)”的學(xué)習(xí)方式，可將“實(shí)驗(yàn)”與“思維”有效串聯(lián)，能真正還學(xué)習(xí)者以主體地位，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)共同體中汲取養(yǎng)分，從而變革傳統(tǒng)課堂的學(xué)習(xí)生態(tài)系統(tǒng)。

本文將以“3的倍數(shù)的特征”教學(xué)為例，論述如何以“領(lǐng)學(xué)”為助力，將“實(shí)驗(yàn)”與“思維”融合。

【教學(xué)前測】

由于學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了倍數(shù)和因數(shù)，并學(xué)習(xí)了2、5的倍數(shù)的特征，因此筆者將在本課教學(xué)的猜測環(huán)節(jié)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望。基于此，筆者對任教班級的35名學(xué)生進(jìn)行了前測，結(jié)果如表1所示。

可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生已學(xué)過相關(guān)內(nèi)容，但不排除有些學(xué)生是得到了他人的“劇透”，因此60%的“含金量”有待考究；在沒有接觸過相關(guān)內(nèi)容的學(xué)生中，有8.57%的學(xué)生受之前所學(xué)特征的影響，猜測3的倍數(shù)的特征可能也是看個位上的數(shù)，認(rèn)為個位上的數(shù)應(yīng)該是3，6，9；另有約11.43%的學(xué)生應(yīng)是受到已學(xué)特征的干擾，特別是“在‘百數(shù)表中圈數(shù)”對學(xué)生的負(fù)遷移影響較大，學(xué)生很難將“3的倍數(shù)的特征”和“各位上數(shù)的和”進(jìn)行聯(lián)系，僅憑直覺進(jìn)行推測；對3的倍數(shù)的特征有一定感知但表述不清或有其他表述方式的學(xué)生占20%，說明其總結(jié)歸納和語言表達(dá)能力有待加強(qiáng)。

筆者訪談了部分能正確表述3的倍數(shù)的特征的學(xué)生，請其說說“為什么3的倍數(shù)的特征和各位上的數(shù)存在聯(lián)系”。多數(shù)學(xué)生根本無法解釋，僅有一位學(xué)生給出了自己的理解：“我以10為例，10除以2沒有余數(shù)，除以5也沒有余數(shù)，但除以3就有余數(shù)。我想，這時就需要考慮每個數(shù)位上的數(shù)了。”雖然該學(xué)生的表達(dá)還需提煉，但其已能結(jié)合數(shù)的特征進(jìn)行考慮。

有一位學(xué)生還提出了自己的困惑：“為什么所有數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)？”這一點(diǎn)引起了很多學(xué)生的共鳴。因?yàn)榻滩闹胁]有提供“為什么”的說理材料，學(xué)生是通過觀察、舉例的方法得出結(jié)論后，將其作為一個結(jié)果加以記憶及應(yīng)用。雖說教學(xué)中常用舉例的方法驗(yàn)證猜想，但舉例驗(yàn)證只能說明猜想可能是正確的，并不能得到“一定”的結(jié)論。

受此啟發(fā)，又有學(xué)生提出自己的困惑：“為什么2和5的倍數(shù)只看個位就行，不用看所有數(shù)位上的數(shù)的和呢？”

基于此，考慮到本課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，筆者期望借助“領(lǐng)學(xué)”，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供助力。

【教學(xué)片段】

“為什么3的倍數(shù)要考慮各位上數(shù)的和”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

出示“研習(xí)探究單”（如圖1）：

組內(nèi)“領(lǐng)學(xué)者”（組長）根據(jù)前測時掌握的每位學(xué)習(xí)者（組員）對知識的掌握情況，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者（組員）選擇適合自己的“領(lǐng)學(xué)”任務(wù)，使得人人都可成為某個實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的“領(lǐng)學(xué)者”。

A組“領(lǐng)學(xué)”：

生1（領(lǐng)學(xué)者）：這兩個數(shù)字分別是441和527。我們小組以441為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。如果參考2和5的倍數(shù)的特征，441個位上是1，1除以3除不盡，我們小組就想，要不再看十位上的4，但4除以3也除不盡，百位上也遇到了相同的問題。

師：明白他們小組的意思了嗎？

生2（學(xué)習(xí)者1）：我來補(bǔ)充。我們小組的意思是個位上的1除以3有余數(shù)；十位上的4除以3，可以理解為40除以3，也有余數(shù)；百位上的4除以3，就是400除以3，還是有余數(shù)。

生3（學(xué)習(xí)者2）：這樣的話，每個數(shù)位上都有余數(shù)，這就不像2和5的倍數(shù)，個位上的數(shù)都能整除。這時就要看各數(shù)位上的數(shù)是幾，再把這些數(shù)相加。

師：根據(jù)之前的猜想，3的倍數(shù)的特征是要把各數(shù)位上的數(shù)相加。根據(jù)你們組的想法，這和每個數(shù)位上的余數(shù)有沒有關(guān)系？

生4（學(xué)習(xí)者3）：我們小組是從方塊圖（如圖2）中得到了啟發(fā)，可以把每個數(shù)位分開來看。百位上的4不要一下子全分完，可以1個百1個百地分，每個百除以3都余1，4個百就余下4個1；十位上的4也是1個十1個十地分，每個十除以3也都余1，最后也余下4個1；個位上的數(shù)本來就是幾個1，就不用分了，那么多出來的就是4+4+1=9，9能被3整除，這就和3的倍數(shù)的特征一樣了。

生1（領(lǐng)學(xué)者）：也就是把每個數(shù)位上的數(shù)除以3后，多出來的1全部相加，再看得到的和能不能被3整除，就可以判斷這個數(shù)能不能被3整除了。要不換個數(shù)再驗(yàn)證？

B組“領(lǐng)學(xué)”：

生1（領(lǐng)學(xué)者）：我們小組認(rèn)為527不是3的倍數(shù)，我們也同意A組的發(fā)現(xiàn)。527百位上是5，因?yàn)?00除以3余1，5個百就會余5個1；十位上是2，1個十除以3余1，2個十就會余2個1；個位上的7表示7個1。

生2（學(xué)習(xí)者1）：請大家看我們組的方塊圖（如圖3），只要看多出的部分就行了。5+2+7=14，14不是3的倍數(shù)。

生3（學(xué)習(xí)者2）：我們還有一個有趣的發(fā)現(xiàn)。我們一直以為判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，只要把各數(shù)位上的數(shù)加起來就行，但今天才發(fā)現(xiàn)，需要的數(shù)并不是各數(shù)位上的數(shù)的和，而是各數(shù)位上的數(shù)的和除以3之后的余數(shù)。

師：明白他們的意思嗎？

生4（學(xué)習(xí)者3）：也就是有幾個計(jì)數(shù)單位就會多幾個1。比如百位上是8，每個百除以3都余1，8個百就會余8個1。其實(shí)我們加的是每個計(jì)數(shù)單位上的數(shù)除以3之后的余數(shù)。

師：你們的發(fā)現(xiàn)真了不起！現(xiàn)在大家明白3的倍數(shù)的特征的道理了嗎？

“組際交流”：

生1：通過今天的學(xué)習(xí)，我想到這個方法也可以用在2和5的倍數(shù)的特征上。我昨天學(xué)的時候就一直在想，為什么檢驗(yàn)是不是2的倍數(shù)、5的倍數(shù)只要看個位，不用看前面的數(shù)，剛才聽了A組和B組的匯報才想通。我和我的組員們還進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。

生2：以238為例，我們畫了一幅示意圖（如圖4）。百位上的2表示2個百，因?yàn)?00÷2=50，所以百位上無論是幾，都是2的倍數(shù)；十位上的3表示3個十，10÷2=5，所以十位上的數(shù)也肯定是2的倍數(shù)，都能分完。

師：照這樣的分法，百位和十位上的數(shù)除以2的余數(shù)肯定是幾？

生3：百位上無論是幾個百，每個百都能分完，余數(shù)是0，十位上也一樣。

師：照這個思路，還有哪些數(shù)位上的余數(shù)也會是0？

生4：千位、萬位……因?yàn)楦邤?shù)位上的計(jì)數(shù)單位都可以看成幾個千、幾個萬，所以都能被2整除，余數(shù)為0。

生5：只有個位的余數(shù)不能確定。因?yàn)閭€位上的數(shù)除以2，要么能整除，要么余1。

師：那個位是什么數(shù)的情況下沒有余數(shù)？

生6：個位上是0、2、4、6、8時沒有余數(shù)，是1、3、5、7、9時有余數(shù)。因此2的倍數(shù)的特征只需要看個位。

生7：5的情況和2一樣，個位之前的數(shù)位余數(shù)肯定都是0，只要看個位就行了。

……

以上教學(xué)借助三次互學(xué)活動，驅(qū)動學(xué)生以自己的實(shí)驗(yàn)生成自己的數(shù)學(xué)感悟，解釋了“為什么3的倍數(shù)要考慮各數(shù)位上的數(shù)的和”。在思維聚焦的過程中，有的學(xué)生已經(jīng)在反思“為什么2、5的倍數(shù)只需要看個位上的數(shù)字”。可見，在考慮到學(xué)生“已知”和“未知”的需求基礎(chǔ)上，通過設(shè)置挑戰(zhàn)性的任務(wù)，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中探究知識的本質(zhì)，生成多元的思考；通過“領(lǐng)學(xué)”式的互學(xué)，學(xué)生能夠?qū)诵膯栴}有個性化的思考和表達(dá)；通過延展探究式的推理，學(xué)生能夠基于自身的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化展示并形成對問題本質(zhì)的思考。

【教學(xué)反思】

1.“做”中見行動，嵌入單項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，促“領(lǐng)學(xué)”開展

楊九俊先生指出，“領(lǐng)學(xué)制”的課堂重構(gòu)了學(xué)習(xí)小組的關(guān)系，“領(lǐng)學(xué)組”與“學(xué)習(xí)組”之間的交流，不僅僅體現(xiàn)在“領(lǐng)”，更有“引”的意蘊(yùn)。佐藤學(xué)也指出，真正的學(xué)習(xí)是一種對話與修煉的過程。也就是學(xué)生之間的互學(xué)，其意義遠(yuǎn)勝于教師的教。但是，若是學(xué)生的互學(xué)始終貫穿于全程，則會脫離教師的指導(dǎo)，容易失去方向。因此，教師可以針對教材中的某個環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)單項(xiàng)實(shí)驗(yàn)：可以圍繞一個知識點(diǎn)開展，引導(dǎo)學(xué)生直接指向?qū)δ硞€數(shù)學(xué)內(nèi)容的求解。

在 A組“領(lǐng)學(xué)”時，對于“441是否是3的倍數(shù)”這個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，筆者認(rèn)為最為關(guān)鍵的是問題的生成，因?yàn)閱栴}是從學(xué)生的已知與未知中提煉出來的，對學(xué)生而言，提出問題才是學(xué)習(xí)的開始。

因此，在實(shí)驗(yàn)之前，筆者設(shè)計(jì)了相應(yīng)的學(xué)習(xí)要求，并預(yù)設(shè)了實(shí)驗(yàn)時的“領(lǐng)學(xué)”、互學(xué)成效（如圖5）。此時，無論是“領(lǐng)學(xué)者”還是學(xué)習(xí)者，交流的對象由教師轉(zhuǎn)變?yōu)橥椋麄儾槐負(fù)?dān)心問題的質(zhì)量高低，也不必?fù)?dān)心交流受限，更多的時候可以在問題的啟迪下，產(chǎn)生更多的新問題，在心理放松的同時，增進(jìn)了彼此的學(xué)習(xí)能力。

由圖5可知，在互學(xué)時，學(xué)生可在組內(nèi)先行提出問題并在組內(nèi)解決，以增強(qiáng)組內(nèi)學(xué)習(xí)的自信心；在組際交流時，可著重交流本組尚未解決的問題。這就需要教師在實(shí)施“領(lǐng)學(xué)”時重構(gòu)“群”與“個”的關(guān)系，不僅要關(guān)注“領(lǐng)學(xué)者”的表達(dá)過程，還要關(guān)注學(xué)習(xí)者的思考過程。

2.“做”中見思想，建構(gòu)組塊實(shí)驗(yàn)，促核心聚焦

陳家梅老師指出，“領(lǐng)學(xué)制”的實(shí)施，讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在提問中學(xué)習(xí)，在交往中學(xué)習(xí)。從A組“領(lǐng)學(xué)”到B組“領(lǐng)學(xué)”的自然過渡，是因?yàn)椤邦I(lǐng)學(xué)者”在知識的核心處提出了問題“也就是把每個數(shù)位上的數(shù)除以3后，多出來的1全部相加，再看得到的和能不能被3整除，就可以判斷這個數(shù)能不能被3整除了。要不換個數(shù)再進(jìn)行驗(yàn)證？”，將研究視角從“結(jié)論的字面意義”轉(zhuǎn)向了“各數(shù)位上數(shù)的和”，進(jìn)而為概括出3的倍數(shù)的特征的真實(shí)意義并由此形成的判斷方法埋下伏筆。這樣的教學(xué)轉(zhuǎn)化非常契合小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)涵，因其本身就強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、分析、猜想和推理等數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”的過程，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)。

學(xué)生因受除法運(yùn)算思維的影響，習(xí)慣把一個數(shù)看成整體后進(jìn)行平均分，而要感悟3的倍數(shù)的特征及2、5的倍數(shù)的特征則需要把每個數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行平均分，如除了個位，每個數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位都能平均分成2份或5份，因此判斷是不是2、5的倍數(shù)，只需要關(guān)注個位。同樣的方法也適用于解釋3的倍數(shù)的特征。溝通這些關(guān)系的過程正是教學(xué)片段中的三次“領(lǐng)學(xué)”。

隨著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不斷增加，問題的范圍也不斷擴(kuò)大，因此在組內(nèi)互學(xué)階段，組員需在“領(lǐng)學(xué)者”的引導(dǎo)下在小組內(nèi)對問題進(jìn)行判斷與篩選、組織與聚焦，并在后續(xù)的組際交流中確立核心問題。

3.“做”中見價值，善用“先期學(xué)習(xí)”，促思維提升

在前測時，60%的學(xué)生通過課外的學(xué)習(xí)已能正確表述特征，俞正強(qiáng)老師將這樣的學(xué)習(xí)稱為“先期學(xué)習(xí)”，即以某知識點(diǎn)為對象，在教師還沒有組織全班學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生在已具備學(xué)習(xí)能力的基礎(chǔ)上，已經(jīng)以個體的方式對該知識進(jìn)行了一定程度的學(xué)習(xí)，從而形成個性化的理解。這種現(xiàn)象其實(shí)也是當(dāng)前學(xué)習(xí)型社會的必然結(jié)果。因此，陳家梅老師指出，考慮到學(xué)生存在“先期學(xué)習(xí)”的情況，在課程知識的精準(zhǔn)掌握階段，由“領(lǐng)學(xué)組”承擔(dān)教學(xué)任務(wù)相當(dāng)于新授課環(huán)節(jié)。教師需指導(dǎo)“領(lǐng)學(xué)組“提煉問題、提問以及進(jìn)行目標(biāo)檢測等，“領(lǐng)學(xué)組”還要篩選目標(biāo)檢測題（這一環(huán)節(jié)也可以放在課前，由師生共同完成）。

學(xué)生的“先期學(xué)習(xí)”在給教師組織課堂教學(xué)提出挑戰(zhàn)的同時，也為教師調(diào)整組織方式、轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)形態(tài)提供了契機(jī)。教師需要接納學(xué)生的先期學(xué)習(xí)成果，要試著對學(xué)生的先期學(xué)習(xí)做出診斷，以完善他們的學(xué)習(xí)成果，彌合個體之間的差距，而“領(lǐng)學(xué)”的方式此刻最能激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生帶著更多的學(xué)習(xí)成果來到課堂上交流。

綜上，教師既要關(guān)注學(xué)生的想法，又要關(guān)注學(xué)生潛在的、尚未表達(dá)的想法。“領(lǐng)學(xué)制”可以引領(lǐng)學(xué)生把注意力從教師身上轉(zhuǎn)移到其自身，在同伴互助與支持下學(xué)習(xí)。這種由學(xué)生“領(lǐng)學(xué)”的模式更能凸顯數(shù)學(xué)問題的聚焦性。正如郭慶松老師所指出的：要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識探究和發(fā)現(xiàn)的過程，體會數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯與結(jié)構(gòu)，還要讓學(xué)生通過對所學(xué)知識的闡述，學(xué)會有條理地進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。

【本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題2016年度立項(xiàng)課題“‘小先生制思想關(guān)照下同伴互學(xué)課堂文化建設(shè)的研究”（B-b/2016/02/24）階段性研究成果。】

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 潘小福，陳美華.小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2018.

[2] 陳家梅.數(shù)學(xué)課堂“領(lǐng)學(xué)制”的實(shí)踐探索[J].江蘇教育，2019（81）：32-34.

[3] 陳家梅.“領(lǐng)學(xué)制”的內(nèi)涵、操作范式與意義[J].江蘇教育，2021（86）：7-9.

[4] 郭慶松.指向?qū)W科育人的教學(xué)方式變革：“領(lǐng)學(xué)制”教學(xué)法的啟示[J].江蘇教育，2021（86）：18-22.

[5] 楊九俊.“領(lǐng)學(xué)制”：別開生面的兒童數(shù)學(xué)課堂［J］.江蘇教育研究，2021（35）：14-16.

（責(zé)編 金 鈴）