培養恒等變形終止標志的意識
——透過高考壓軸題的視點

淮北師范大學數學科學學院 (235000) 姜 琪 張 昆

波利亞在《怎樣解題》一書中寫道：“標志可以引導我們的行動.缺少這些標志也許是警告我們走入了一條死胡同，這樣就幫我們節省了時間，避免了徒勞的努力；它們的出現能使我們把精力集中于正確的一點.”[1]在解數學題時，不少學生面對恒等變形束手無策，找不到變形的方向，或者不知道變形該到什么地方停止.這會導致學生解題效率降低，甚至解不出來.但是，如果學生有恒等變形終止標志的意識，就像哥倫布知道了新大陸的標志一樣，就能在終止標志的指引下找到變形的正確方向，發現“新大陸”.本文以幾道典型的高考壓軸題來說明恒等變形的終止標志.

一、恒等變形終止標志確定示例

例1 (2020年全國高考天津卷·20)已知函數f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)為f(x)的導函數.

分析：對于問題(Ⅰ)的第(ⅰ)問，讀者不難得到：當k=6時，y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=9x-8.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

對于問題(Ⅱ)，由(Ⅰ)知，當且僅當a>2時f(x)存在兩個極值點.由x1,x2是f(x)的極值點，可知f′(x1)=f′(x2)=0，即x1,x2滿足x2-ax+1=0.所以x1+x2=a,x1x2=1，不妨設x11.

上述是所有的已知條件.接下來要對①式不等號左邊的式子進行恒等變形，恒等變形的終止標志是a的獨立出現和剩余部分只有一元.

對比發現，⑦式與所要證明的①式不等號右邊的式子(a-2)在形式上是相似的.

以上兩種恒等變形的結果(⑦和⑨)都符合恒等變形的終止標志，且都能得到最終的結果①，區別在于第一種變形結果在之后的計算中恰巧借助了第(Ⅰ)問的結論，從而簡化了大量的計算；而第二種變形結果在之后的計算中沒有借助第(Ⅰ)問的結論，證明過程稍顯繁瑣.

二、恒等變形終止標志意識的培養

通過以上兩個典型例子，不難看出，在高考數學壓軸題中，恒等變形占據重要地位.在解答此類題目時，要具有恒等變形終止標志的意識，知道恒等變形要朝著什么方向進行，到什么時候終止.作為教師，首先，自己要具備這樣的意識；其次，要有意識地培養學生恒等變形終止標志的意識，使學生在面對復雜的恒等變形時，能在終止標志的指引下找到正確的變形方向，不至于像無頭蒼蠅一樣隨意變形.那么，作為教師，應當怎樣培養學生恒等變形終止標志的意識呢？

其一，教師要親身經歷解題的過程，樹立研究意識，在解題的過程中積極思考和總結，增強對恒等變形終止標志的敏感性.教師只有親身經歷了恒等變形的過程，才能切身體會確定恒等變形終止標志的思維過程，認識到它對于數學解題的重要性.如果只是單純的照搬參考答案，是不會真正地建立這種意識并讓學生感同身受的.

其三，教師講好題的關鍵一步是教學設計.教師親身經歷解題過程得到了恒等變形的終止標志，在進行教學設計時，不能再以教師自身的視角進行設計，而應當站在學生的立場，與學生進行“心理換位”，把自己設想成學生，體會學生認知結構中已有的知識，體會學生在遇到恒等變形時的思維過程和心理活動，體會學生在變形過程中可能會走的彎路和遇到的困難，等等.[4]教師在進行教學設計時，要不斷地問自己：為什么恒等變形的終止標志是這個？怎樣想出來的？把自己的思路理清楚并向學生合理呈現.[5]

其四，波利亞指出：“解題是一種本領，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能夠靠模仿和實踐才能學會.”[6]因此，學生萌生在這種意識之后，要注意應用與鞏固.如果教師在之前的教學中成功地使學生萌生了恒等變形終止標志的意識，那么接下來教師就要為學生選擇具備典型性的相關練習.選擇的題目不宜過多，但要“精”，“精”練勝過多練.同時，教師要引導學生對解題過程不斷反思、總結，鼓勵學生在反思回顧中不斷地積累數學解題經驗，增強恒等變形終止標志的意識，從而提升學生的數學解題能力和效率.[7]

三、結束語

在高考數學壓軸題中，涉及恒等變形的題目非常多，能否正確地進行恒等變形直接關系到解題的效率甚至正誤.在例1中，得到的恒等變形的終止標志是k的獨立出現和⑥式括號內只有一元；在例2中，得到的恒等變形的終止標志是a的獨立出現和剩余部分只有一元.它們恒等變形的終止標志既有相似之處，也有不同之處.因此，面對各種各樣涉及恒等變形的題目，我們無法總結出一個可以通用的終止標志.但是，教師可以通過設計合理的教學使學生體會確立終止標志的思維過程，掌握策略方法，逐步培養學生恒等變形終止標志的意識.這樣，學生在遇到同類型的題目時就能舉一反三、應對自如.總而言之，恒等變形的終止標志對數學解題至關重要，教師要注重培養學生這方面的意識，學生將受益匪淺.