2021年新高考Ⅰ卷導數(shù)壓軸題的解法探析

福建省福清融城中學 (350399) 王 強福建省福清第三中學 (350300) 何 燈

歷年高考試卷中的導數(shù)壓軸題，都是命題專家的獨具匠心之作．而雙變量問題是其中的高頻考點，高頻考點之下必有變式，2021年全國卷導數(shù)壓軸題其本身表述簡潔，但解題的思想方法是靈活多樣的，這有利于激發(fā)學生思維的靈活性．在解題中，若學生不能將題中的隱性信息識別轉(zhuǎn)化，就無法打開解題思路，因此如何將所給條件進行轉(zhuǎn)化成為解題的關鍵．本文對此類問題進行解法探究，總結(jié)處理此類問題的常用方法及基本思想，以期達到拋磚引玉之效．

2試題解析第(1)問是常規(guī)的利用導數(shù)探求不含參函數(shù)單調(diào)性的問題由題易知f′(x)=1-lnx-1=-lnx(x>0)，令f′(x)=0得x=1，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，從而f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當x∈(0,+∞)時，從而f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．以下探討第(2)問．

圖1

評注：若符合極值點偏移的題型設置，①f(x1)=f(x2)；②兩根之和大于或小于2倍的極值點，x1+x2>2x0，x1+x2<2x0，則解決此類雙變量問題的一般性策略步驟是：(1)設x2>x1，則x2>x0>x1；(2)x1和2x0-x2在f(x)同一個單調(diào)區(qū)間；

(3)f(x1)和f(2x0-x2)比較；(4)轉(zhuǎn)化為單變量f(x2)和f(2x0-x2)比較；(5)利用極值點偏移的特點進行對稱作差構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x).

圖2

圖3

圖4

3變式訓練已知函數(shù)f(x)=x2+πcosx-a在(0,+∞)上有兩個零點x1，x2，且x1

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，對于高考導數(shù)問題中出現(xiàn)的雙變量的等式或不等式，要求我們必須具備轉(zhuǎn)化意識，這樣才能有效地解決問題．而此類問題若能用同構(gòu)思想加以切入，輔以數(shù)學直觀，就能把握其中所蘊含的減元、構(gòu)造新函數(shù)、巧用單調(diào)性等數(shù)學思想．