統一定義在焦點弦相關問題中的妙用

甘肅省武威第十中學 (733000) 趙登祥

過圓錐曲線焦點的弦稱為焦點弦，關于焦點弦問題，除了運用弦長公式外，常利用過焦點的特點，即用圓錐曲線統一定義求出焦半徑，從而得到焦點弦的長，也可使與焦點弦相關的問題獲得簡解，達到優化解題、提高解題效率的效果．

圓錐曲線的統一定義：與定點(焦點)的距離與對應的一條定直線(準線)的距離的比等于常數(離心率e)的點的軌跡為圓錐曲線，當01時軌跡為雙曲線，當e=1時軌跡為拋物線．

3、若|AB|是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F(c，0)的弦，則|AB|=x1+x2+p(證明留給讀者)．下面舉幾例談它們的應用．

一、在橢圓問題中的應用

評注：通過將弦所在的直線方程與橢圓方程聯立后，就容易求出弦長公式的x1+x2，這是解此類題中的一個重要步驟，而后面的解題就是根據題設和解題需要列式求解了．

評注：求橢圓方程必須分別求出a2,b2的值，所以必須尋找出兩個方程，解題時要注意題設條件全面和反復運用，不能顧此失彼．

二、在雙曲線問題中的應用

評注：關于雙曲線的焦點弦有四種形式，需要針對不同的焦點與準線，在使用時可能會造成誤用，當然在使用時，不必死記硬背，可以用定義進行推導一下，就能準確運用．

評注：要求焦點弦所在的直線方程，必須求出弦與雙曲線的焦點，如果按常規方法是比較難辦到的，在運用了焦半徑的公式后，兩個線段的比問題就能用坐標表示出來了，由定比公式又可得到另一個等式，下面的問題就很簡單了．

三、在拋物線問題中的應用

例5 設O是拋物線的頂點，F為焦點，且AB為過F的弦，若|OF|=a，|AB|=b，求ΔOAB的面積．

評注：關于拋物線的焦半徑是既好推導，也好記憶，也是我們解題中經常使用的一個結論，所以要經常使用它幫助解題．

評注：此題的證明方法比較多，而這里運用拋物線的焦半徑定理來證，顯然推理通暢、過程簡潔，體現了這個結論給我們解題帶來的優勢和方便．

上面由圓錐曲線統一定義推出了焦半徑和焦點弦長公式，并舉例講述了幾種應用題型，其實質就是統一定理的運用，在我們平時的教學中，若能經常教會一些解題方法和技巧，我想學生的學習興趣和學習能力會得到較大提高的．