一道清華測試題的解法探究和推廣

浙江省衢州第二中學 (324000) 汪耀生

在解析幾何研究中，圓和橢圓是兩個非常重要的研究對象，它們圖形優美，有極強的對稱性，圓和橢圓可通過仿射變換相互轉化，快速解決橢圓中相關的問題.橢圓中也會生成很多圓，比如內切圓、伴隨圓、基圓和蒙日圓等，它們在性質具有怎樣的關聯？本文從一道清華自測題談起，通過對問題的解法探究、拓展推廣、鏈接應用等，建構這一類問題的解法，幫助學生抓住問題的本質，提升解決問題的能力，積累解題經驗，優化思維品質，提升學生的核心素養.

一、真題再現

本題考查橢圓的幾何性質，直線和橢圓的位置關系以及定值問題，意在考查學生數學運算能力、轉化和化歸問題的能力，以及數學運算和邏輯推理等核心素養.該題內涵豐富，是具研究價值的一道好題.

二、就題論題

三、推廣探究

證明：若OM或ON中有一條直線斜率不存在，另一條必定為0，則|OM|=a,|ON|=b.

四、總結提升

上述問題我們可以這么描述：直線MN是橢圓基圓的任意一條切線，交橢圓于M,N兩點，且OM⊥ON.事實上這也并不難證明(讀者可自行完成)，至此我們得到：

對于雙曲線也存在類似的結論，即：

結合以上結論，再來審視前面給出的例題，我們可以得到更準確而快速的解法：

我們通過對一道清華測試題解法的研究，嘗試去發現在OM⊥ON的條件下，橢圓長短半軸和|OM|,|ON|之間的關系，進而得到基圓，得到一般化的結論.在整個結論推導過程中，并未過多涉及直線MN，換言之，直線MN只是橢圓的一條割線這個簡單的要求，這就為我們后續使用結論奠定了一個廣泛的基礎.在整個推導結論過程，先發現結論必要性，再證充分性，這種研究問題的方法也是我們需要掌握的一種常用方法.再根據橢圓研究結果，推廣到雙曲線，收獲了雙曲線的一般結論，這是我們在研究圓錐曲線這些“同根生”曲線，即截口曲線中常常會采用的一種方式.我們從特殊到一般，從橢圓類比到雙曲線，經歷結論的發現過程，讓我們有一種“發現者、研究者和探究者”的滿足感和成就感，會引導學生按圖索驥，學生經歷了發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，會有探究結論的強烈愿望和沖動，充分調動學生學習數學的積極性，提升學生思維能力，提高學生的核心素養.

五、鏈接應用