基于數(shù)學(xué)抽象的函數(shù)性質(zhì)解題應(yīng)用
——一次核心素養(yǎng)背景下的高三復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計

福建省福清第一中學(xué) (350300) 郭海萍福建省福清市教師進(jìn)修學(xué)校 (350300) 林新建

函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)的重要內(nèi)容，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題是高考命題的主線索，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．解決這類問題，必須基于函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與模型特征，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的方法，從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決問題．本文以“函數(shù)性質(zhì)解題應(yīng)用”為例，從“感知背景、抽象特征、概括要義、辨析內(nèi)涵、深化理解”五個方面入手，就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下的高三復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計作了一次探析，與同行分享．

1.數(shù)學(xué)情境，感知性質(zhì)應(yīng)用背景

教師：你如何解這道題？直接代入解不等式嗎？

學(xué)生：直接代入無法求解，太繁瑣．

追問：不直接代入，我們又該如何求解呢？

設(shè)計意圖：通過問題引領(lǐng)學(xué)生思考解決問題的方法，引起認(rèn)知沖突，感知“性質(zhì)應(yīng)用”背景．

2.數(shù)學(xué)探究，抽象性質(zhì)應(yīng)用特征

問題2 你運(yùn)用哪些知識來解決這個問題的？

學(xué)生：用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性來解決問題．

追問：你是如何想到運(yùn)用這些知識來解決這個問題的？

學(xué)生：函數(shù)解析式比較復(fù)雜，直接代入求解不等式，無法完成求解，所以考慮從結(jié)構(gòu)上分析函數(shù)特征，利用函數(shù)性質(zhì)求解問題．

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生識別函數(shù)模型，思考如何基于函數(shù)模型和性質(zhì)求解問題．

問題3 (2017年福建省高三質(zhì)檢理15題)已知函數(shù)f(x)=x2(2x-2-x)，則不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是.

教師：就這個問題，你如何抽象出函數(shù)特征，并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)予以求解？

師生活動：抽象函數(shù)f(x)的模型特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)f(x)為奇函數(shù)，且在(-∞,+∞)上遞增，從而運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性等知識解決問題．

設(shè)計意圖：強(qiáng)化認(rèn)知讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象解決問題的過程，抽象“性質(zhì)應(yīng)用”的特征．

3.數(shù)學(xué)體悟，概括性質(zhì)應(yīng)用要義

問題4你能基于上述應(yīng)用，概括一下“基于數(shù)學(xué)抽象的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用”的要義嗎？

師生活動：借助數(shù)學(xué)抽象的方法，抽象出函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、模型特征、變化規(guī)律等，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等分析和解決問題這個過程就是“基于數(shù)學(xué)抽象的函數(shù)性質(zhì)解題應(yīng)用”的過程．

問題5你能基于對“性質(zhì)應(yīng)用要義”的理解，概括一下常見的基本初等函數(shù)及其變換模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、模型特征和變化規(guī)律嗎？

師生活動：整理常見的基本初等函數(shù)及其結(jié)構(gòu)模型如下表．

基本初等函數(shù)由基本初等函數(shù)組合由基本初等函數(shù)變換分段函數(shù)由基本初等函數(shù)復(fù)合f(x)g(x)h(x)……F(x)=af(x)±bg(x)F(x)=af(x)×bg(x)F(x)=af(x)÷bg(x)……F(x)=f(x+a)+bF(x)=f(ax)F(x)=af(x)F(x)=f(x)F(x)=f(x)……F(x)=g(x),x≥a,h(x),x

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生概括“性質(zhì)應(yīng)用”的要義，并熟悉基本初等函數(shù)及其結(jié)構(gòu)模型，為抽象函數(shù)的“結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、模型特征和變化規(guī)律”以解決問題做準(zhǔn)備．

4.數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析性質(zhì)應(yīng)用內(nèi)涵

教師：為了更好地理解和掌握“性質(zhì)應(yīng)用”的內(nèi)涵，我們再來思考幾個問題．

評析：當(dāng)函數(shù)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜時，應(yīng)等價改變其形式，向常見的基本初等函數(shù)及其變換模型靠攏，進(jìn)而抽象函數(shù)模型特征，挖掘函數(shù)所具有的性質(zhì)，運(yùn)用性質(zhì)分析和解決問題．

A．[-1，0) B．[0，+∞)

C．[-1，+∞) D．[1，+∞)

圖1

師生活動：在本題的求解中，大多人將已知條件“函數(shù)g(x)存在2個零點(diǎn)”轉(zhuǎn)換為“方程f(x)+x+a=0存在兩個實根”，亦即“方程f(x)=-x-a存在兩個實根”，所以“函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x-a有兩個交點(diǎn)”．作出函數(shù)y=f(x)與直線y=-x-a的圖象(如圖1)，直觀直線y=-x-a隨變量a的變化規(guī)律，不難感知必須滿足-a≤1，解得a≥-1，故正確選項為C．

評析：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，必須借助數(shù)學(xué)抽象的方法，抽象出函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、模型特征和變化規(guī)律等，進(jìn)而有的放矢地選擇運(yùn)用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對稱性等來分析問題，則可將問題輕松予以解決．

5.數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化性質(zhì)應(yīng)用理解

練習(xí)(2013年高考全國卷Ⅰ理16)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則f(x)=________，f(x)的最大值是________．

解析：若按常規(guī)方法求解本題，難度較大，費(fèi)時費(fèi)力．其實，若能抽象出函數(shù)f(x)的模型特征，則可減小運(yùn)算量，最終將問題輕松予以解決．抽象函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)1,-1,而f(x)圖象關(guān)于直線x=-2對稱，故f(x)另有兩個零點(diǎn)-3,-5,所以得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)．再對f(x)的模型特征作抽象感知，若將f(x)的圖象向右平移兩個單位，則其最大值不會隨之改變，因此，我們可將求f(x)的最大值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值．至此，直接配方即得h(x)=-(x2-5)2+16,所以f(x)的最大值為16．

評析：函數(shù)性質(zhì)類問題解題的關(guān)鍵在于識別條件的結(jié)構(gòu)特征，理解其內(nèi)涵蘊(yùn)意，進(jìn)而確立解題方向．上述解法與命題者的參考解答相比較，另辟蹊徑，獨(dú)到新穎，凸顯了“數(shù)學(xué)抽象”在引領(lǐng)特征感知、簡化解題途徑上的重要作用．