中考數學命題的幾類失誤分析與思考

四川省成都市第十二中學 (610041) 鄧萬強四川省成都市第十八中學 (610072) 向 城內江師范學院數學與信息科學學院 (641100) 劉成龍

中考是九年義務教育階段最重要的一次考試.自然而然，中考命題成為了一項艱巨而嚴肅的工作，它不僅對命題者學科素養要求較高，而且對邏輯關系、書面表達、心理素質等要求較高.因此，中考命題偶爾會出現失誤.本文中分析中考數學命題中的常見失誤，以期對命題工作的優化有所幫助.

一、中考命題失誤的幾種類型

失誤1.數據設置不當

由于命題者所設置數據不當，導致得出的結果與基本事實、定理、公理等不相符合，造成命題失誤.

案例1已知圓錐的底面半徑為20，側面積為400π，則這個圓錐的母線長為.(2018年齊齊哈爾)

圖1

評析：利用所給數據OC=20，得到RtΔAOC中斜邊AC與直角邊OC相等.違背了三角形中大邊對大角，小邊對小角這一基本事實.

失誤2.圖形繪制不準確

圖2

案例2 如圖2，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為ΔABC內一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將ΔABD繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AC重合，點D的對應點為點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為cm.(2019年山西)

評析：錯解的原因是學生誤以為B、D、E三點在同一條直線上，其根源是所給圖形不準確.這與美國著名的數學問題解決專家匈菲爾德提出的一個好的題目應滿足的5個條件中的“不故意設陷阱”相違背.

失誤3.設問表述不當

評析：本例中的k不存在，但題目設問是：“則實數k=”，顯然設問欠妥.

失誤4.條件互相矛盾

圖3

圖4

失誤5.難度設置過大

圖5

案例5 如圖5，有一矩形紙片ABCD，AB=8，AD=17，將此矩形紙片折疊，使頂點A落在BC邊的A′處，折痕所在直線同時經過邊AB、AD(包括端點)，交AB于E，AD于F，則折痕EF的取值范圍為.(2014年達州中考改編)

圖6

圖7

評析：錯解是通過幾何關系計算出特殊位置的線段長度，得到折痕的范圍，看似天衣無縫.事實上，本例難度較大，超出了初中學生的能力范疇.

圖8

失誤6.試題背景不公

圖9

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由；

(3)若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P坐標.(2013河南中考)

評析：本例(3)含有高中夾角公式的背景.運用初中知識解答本例需構造直角三角形，再利用三角形相似和勾股定理來解答，涉及較繁瑣的運算.但借助高中的夾角公式來解答可以回避構造、避免繁瑣的運算，從而大大降低試題難度.毫無疑問，對于那些學習了競賽數學或老師講過夾角公式的學生來說占盡優勢，顯然背景不公平.特別指出，中考命題必須堅持試題背景公平，即試題背景對所有人都是公正中立的，不會對某個或某些特定的群體產生與考試目的無關的過激反應.

失誤7.照抄照搬陳題

圖10

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)連接AF，BF，求∠ABF的度數；

評析：本例是2012年中考試題，但某地命題者將該題目一字不差地搬上了2015年中考試卷，顯然試題的信度和效度大大降低，更為不幸的是本例是一個錯題，相當于命題者抄襲了一個錯題.無論是從學術的視角，還是從中考的重要性和嚴肅性來講照抄照搬都應該杜絕.筆者認為中考命題可以借鑒現有中考試題，但需要適當改編.

二、對命題的思考

試題命制是一個嚴肅而充滿創造的系統工程，既要關注知識、能力、素養的考查，又要注重合適的難度、有效的信度和適當的區分度的設置，更要關注試題的嚴謹性.[1]道爾頓指出，一個好題必須具備下列條件中的一個或更多：問題要簡單，是學生能認識并解決它；依靠學生的知識和能力能得出多種解法；能引導學生轉向類似的問題；包含的數據能夠被理解、分類、列成表格和分析；能夠通過模型和簡圖解決；能馬上引起學生興趣；通過學生現有知識或將要學到的知識能將一種解法一般化；能用一種再認知的方式解決；答案要有意思.同時，匈菲爾德給出了好題的五條原則：容易接受的(不需要大量技巧)；有多重解題方法(或者至少有多重思路)；蘊含了重要的數學思想；不故意設陷阱；可以進一步開展和一般化(導致豐富的數學探究活動).這些條件和原則為試題命制提供了方向和要求，同時也對命題者的素養提出更高的要求.