巧用“齊次化”解決圓錐曲線中的定點定值問題

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

定值與定點問題是圓錐曲線中典型的問題，其中圓錐曲線C上的一定點M和兩動點P,Q(異于點M)，則動直線PQ過定點與直線MP,MQ的斜率之積(和)為定值密切相關.

一、幾個結論

(3)當kMP+kMQ=λ(λ≠0)時，

二、典例運用

1.定點求定值

圖1

評注：對圓錐曲線上一定點M(x0,y0)和兩動點A,B(異于點Q)，由動直線l過定點P(p,q)，求kMA+kMB或kMA·kMB的定值，需要注意直線l的斜率是否存在，為避免分類討論，利于二次方程齊次化的轉化，可設直線l:m(x-p)+n(y-q)=1.

2.定值找定點

例2 已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(-1,0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q.若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點.

圖2

圖3

評注：對一定點Q(x0,y0)和圓錐曲線上兩動點A,B(異于點Q)，由kQA+kQB或kQA·kQB為定值，求動直線l過定點是這類問題的正向問題.

3.提煉與移植

圖4

三、連接高考題

2020年高考全國卷Ⅰ理數第20題:

(2)證明：直線CD過定點.

本題還可得出有關定點、定值問題：

(1)證明：直線AD與BC的交點在定直線直線x=6上；

結合上述的結論，我們可以將此題改編為：