合理同構，巧妙解題

甘肅省武威市涼州區(qū)職業(yè)中等專業(yè)學校 (733000) 武曉蕓

在一些代數式、函數或方程、不等式、數列等問題中，同構意識是一種常見的解題意識與技巧，即通過分析其中代數式或數列通項的結構所蘊含的一些特殊的同型或共性，經過合理轉化或變形，提取出其中相同或相似的結構，結合對應的數學模型加以合理構造，揭示代數式或數列通項間的內在聯系，繼而利用同構后的數學模型及其對應的性質來巧妙解題．

1．同構方程

涉及一些高次方程或超越方程等相關問題，經常借助原方程中相關式子的合理變形或轉化，找出同型或共性，合理同構方程，利用低次方程或簡單方程的應用，降維處理，巧妙轉化，合理破解．

例1 (2021屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三名校10月考試數學試卷)已知實數α，β滿足αeα=e3，β(lnβ-1)=e4，其中e是自然對數的底數，則αβ=________．

分析：通過對指數方程與對數方程進行兩邊同取對數處理，結合對數關系式的變形，尋找共性，同構方程，結合數學建模中方程的根的唯一性建立相應的關系式，通過條件的合理代換，結合關系式的變換與應用，綜合代數運算加以巧妙轉化與應用．

解析：由于實數α，β滿足αeα=e3，β(lnβ-1)=e4，兩邊取自然對數可得α+lnα=3，lnβ+ln(lnβ-1)=4，即α+lnα-3=0，lnβ-1+ln(lnβ-1)-3=0，所以α和lnβ-1是方程x+lnx-3=0的根，由于方程x+lnx-3=0的根是唯一的，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，可得3-lnα=lnβ-1，整理得lnα+lnβ=4，即αβ=e4，故答案為e4．

點評：同構方程可以有效降低題目條件中方程的維度，借助同構方程進行數學建模，合理利用所構造的低次方程或簡單方程的性質，變形轉化，巧妙應用，很好考查數學運算、邏輯推理、數學建模等數學核心素養(yǎng)．

2．同構函數

涉及一些高次或超越不等式、方程等的恒成立問題，經常借助原不等式、方程中相關式子的合理變形或轉化，找出同型或共性，合理同構函數，利用函數的基本性質(函數性、奇偶性、最值等)的應用，巧妙轉化，得以合理確定代數式或參數的大小關系、參數的取值范圍等應用問題．

分析：通過對不等式恒成立的恒等變換，結合變形同構函數，利用所同構函數的單調性合理轉化不等式恒成立問題，利用構造函數并通過求導，結合函數的單調性確定最值，進而確定參數的取值范圍問題．

點評：同構函數可以有效破解不等式、大小比較、函數等相關問題，借助同構函數來構造相應的新函數，利用函數的基本性質(特別是單調性、奇偶性、極值、最值等)的應用，將原問題中所蘊含的內在規(guī)律外顯化，揭示問題的豐富背景和相關內涵，展示同構函數的巨大魅力，很好考查數學抽象、數學建模、數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)．

3．同構數列

涉及一些復雜數列通項或遞推關系式等問題，經常借助數列中的關系式(通項或遞推關系式)的合理變形或轉化，找出同型或共性，合理同構數列，利用數列的定義、通項、求和、基本性質等的應用，巧妙轉化，得以合理轉化數列中的關系式(通項或遞推關系式)，有效破解．

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

分析：根據題目條件，合理同構數列，構造新數列{bn}，通過等差數列的判斷與通項公式的應用，確定新數列的通項公式，并結合遞推關系式恒成立的條件建立關系式，進而得以確定參數的取值．

點評：同構數列可以有效破解一些比較復雜的數列問題或創(chuàng)新數列問題，借助同構數列來構造相應的新數列，通過遞推關系式的變形與轉化，利用數列的定義、通項、求和、基本性質等的應用，將原數列中所蘊含的豐富內涵加以充分展示，把復雜的數列問題簡單化、熟悉化，很好考查數學抽象、數學建模、數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)．

4．同構代數式

涉及一些復雜代數關系式、函數或方程等相關問題，經常借助原代數關系式中相關式子與所求代數關系式間的聯系，找出同型或共性，合理同構代數式，利用相應的代數運算與轉化，合理變形，巧妙轉化，有效利用相關知識來合理處理與解決．

例4 若正數x、y滿足xy(x-y)=4，則x+y的最小值為________．

分析：根據題目條件合理同構代數式(x-y)2與(x+y)2，通過合理變形與轉化，借助平方關系的巧妙處理，合理恒等變形來轉化對應的代數關系式，利用三元均值不等式來確定對應的最值問題．

點評：同構代數式可以有效破解一些已知代數關系式求相應關系式的最值或取值范圍問題、代數關系式的大小比較問題等，借助同構代數式來構造相應的新關系式，通過題目條件加以巧妙轉化與變形，利用關系式的合理處理與應用，再借助相關的不等式、函數、方程等知識來分析與處理，很好考查數學建模、數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)．

總之，在破解一些數學相關問題中，必須借助我們的慧眼去識別問題中的代數式或數列通項等結構的同型或共性，通過不斷感知、抽象、認同、同構、建模等過程，鏈接熟知事物與相關知識的密切聯系，合理同構，構造同型，數學建模，應用共性解題，由此增強創(chuàng)新意識、同構意識與創(chuàng)新應用，達到知識交匯，思維飛躍，形成數學能力，培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)的目標：找同型，巧同構，證共點，用共性．