對“抽象”的全景式解讀

張宏偉

[摘 要] “抽象”是數(shù)學(xué)最基本的思想之一。全景式數(shù)學(xué)教育團隊對“抽象”這個概念進行追根溯源，對古今中外詞典、專著以及專家的解釋進行梳理與對比，在此基礎(chǔ)上提出自己對數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究中“抽象”的理解。同時，提出進行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的基本流程，即選材→生象→概念化→回象，并提供范例《認識三角形》，旨在深化學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]抽象;全景式;三角形;解讀

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）03-0001-04

一、追根溯源

（一）對“抽象”中文概念的追溯

1.抽

（1）字源演變

（2）說文解字

全景式數(shù)學(xué)教育團隊認為，在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究中，“抽象”中的“抽”有從現(xiàn)象、對象、生活、素材中抽出、抽取之意。

2.象

（1）字源演變

（2）說文解字

《說文解字》中，“象”的本義是大象，一種哺乳動物，后來引申義為形狀、樣子。

《韓非子·解老篇》：“人希見生象也，而得死象之骨，按其圖以想其生也，故諸人之所以意想者，皆謂之象也。”

《易·系辭》：“象也者，像此者也。”

《疏》：“言象此物之形狀也。”

綜上所述并對比之，全景式數(shù)學(xué)教育團隊認為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“抽象”中的“象”應(yīng)指認識對象的形狀、屬性、本質(zhì)、特征等，相當(dāng)于柏拉圖中的理想型。

（二）“抽象”在《漢語大辭典》和《辭海》中的解釋

1.在《漢語大辭典》中的解釋

（1）從許多事物中，舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的、質(zhì)的屬性，是形成概念的必要手段。

（2）不能具體經(jīng)驗到的，籠統(tǒng)的，空洞的。

2.在《辭海》中的解釋

（1）同“具體”相對，指事物某一方面的本質(zhì)規(guī)定在思維中的反應(yīng)。

（2）指思維活動的一種特性，即在思想中抽取事物的本質(zhì)屬性，撇開非本質(zhì)屬性。

（3）指形而上學(xué)的思維特點，亦稱空洞的抽象。

（三）全景式數(shù)學(xué)教育團隊的理解

結(jié)合對“抽象”中文概念的追溯，我們認為數(shù)學(xué)中的“抽象”是從具體的事物中去除外在的、個別的、非本質(zhì)的東西，提煉（即“抽”）出這類事物共同的、本質(zhì)的屬性，如形狀、樣子、特征、規(guī)律、關(guān)系等，并上升為理性的、理想型的“像”的思維過程。同時，抽象出的結(jié)果是對客觀事物的模擬和再現(xiàn)，并要泛化、歸回、概括、審視到所有此類的具體事物中，即“而得死象之骨，按其圖以想其生也”，我們把這個過程定義為“回象”。因此，全景式數(shù)學(xué)教育團隊認為“抽象”應(yīng)該是一個從具體到抽象再到具體的過程，而不僅僅是從具體到抽象的過程。

二、教育專家和一些經(jīng)典論著中的闡述

許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育研究者對“抽象”一詞有過相關(guān)的描述。如史寧中教授認為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界……而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象……最初的抽象是基于直觀的。對于數(shù)學(xué)，抽象主要包括兩個方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系。這就意味著，數(shù)學(xué)的抽象不僅僅要抽象出數(shù)學(xué)所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關(guān)系。與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關(guān)系更為本質(zhì)。”同時，史寧中教授還將抽象的深度大體分為三個層次：“一是簡約階段，即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達;二是符號階段，即去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述，包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物;三是普適階段，即通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物。”王永春教授也指出：“數(shù)學(xué)抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關(guān)系和空間形式的真實材料進行加工、提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學(xué)語言表達進而形成數(shù)學(xué)理論的過程。”

三、課程標(biāo)準中的解釋和相關(guān)論述

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011年版）》在前言中指出：“數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會科學(xué)中發(fā)揮著越來越大的作用。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，所以教師預(yù)設(shè)教學(xué)時要處理好直觀與抽象的關(guān)系，教學(xué)設(shè)計要在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，使學(xué)生經(jīng)歷從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。

在數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)中，知識與技能方面提出要經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本學(xué)習(xí)技能;要經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本學(xué)習(xí)技能。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方面，則要求建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀能力和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。

在學(xué)段目標(biāo)中，每一學(xué)段都有不同層次的要求。在知識與技能方面，第一學(xué)段要經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，初步認識分數(shù)和小數(shù)，同時經(jīng)歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程，了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形;第二學(xué)段要體驗從具體情境中抽象出數(shù)的過程，認識萬以上的數(shù);第三學(xué)段要體驗從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號的過程，理解有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)。數(shù)學(xué)思考方面，第一學(xué)段要從物體中抽象出幾何圖形，在想象圖形的運動和位置的過程中發(fā)展空間觀念。情感態(tài)度方面，第三學(xué)段要在運用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，認識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴謹和應(yīng)用廣泛等特點，體會數(shù)學(xué)的價值。

另外，課程標(biāo)準在課程資源開發(fā)與利用的建議中，要求使用有效的數(shù)學(xué)軟件繪制圖形，呈現(xiàn)抽象對象的直觀背景，加深學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解。

四、抽象的基本流程

那么，教師如何實施數(shù)學(xué)抽象教學(xué)呢？基于對“抽象”這個概念的分析和理解，我們認為至少應(yīng)該經(jīng)歷以下四個步驟：第一步，選材，即從復(fù)雜的環(huán)境中排除非典型對象，抽取和確定典型的研究對象;第二步，生象，即集合所有的典型對象，通過對比、觀察、想象，抽取出共同的屬性、關(guān)系、形式或數(shù)量關(guān)系，也就是理想型;第三步，概念化，即利用概念、符號、圖形、關(guān)系式等構(gòu)建圖式、模型，形成概念;第四步，回象，指理解概念之后的綜合運用、拓展延伸，即“而得死象之骨，按其圖以想其生也”。

五、教學(xué)案例

在此呈現(xiàn)我們?nèi)笆綌?shù)學(xué)教育團隊研究的一個教學(xué)案例——《認識三角形》，供大家參考。

課前思考：

《認識三角形》是人教版數(shù)學(xué)四年級下冊第五單元的內(nèi)容，在第一學(xué)段中，學(xué)生已經(jīng)直觀、初步認識了三角形和其他一些簡單的平面圖形，具備了直觀認識三角形和從平面圖形中尋找三角形的能力。

三角形是學(xué)生在日常生活中見得最多的平面圖形，如何從常見的三角形物體中抽象出三角形，再把三角形知識應(yīng)用到現(xiàn)實生活中，引導(dǎo)學(xué)生全面深入地研究三角形呢？基于全景式數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的“全景視野下的長線浸潤式教學(xué)”，把本節(jié)課分為前期整體浪漫浸潤和課中專項研究兩個階段，這樣不僅能拓展學(xué)生的知識視野，而且可以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改變學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)單一、刻板的印象。

教學(xué)目標(biāo)：

1.利用生活經(jīng)驗，通過觀察、操作、實驗等活動，認識三角形和三角形的特征，知道三角形高和底的含義，會在三角形內(nèi)畫高。

2.在認識三角形特征的活動中，學(xué)習(xí)認識多邊形特征的基本方法，培養(yǎng)觀察、比較、抽象、概括等能力。

3.體會數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系，并在活動中進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形的興趣。

教學(xué)重點：

認識三角形，掌握三角形的基本特征。

教學(xué)難點：

三角形的高及畫法。

教學(xué)過程：

（一）前期開啟整體浪漫浸潤

為了豐富學(xué)生關(guān)于三角形的積累，教學(xué)初就啟動前期整體浪漫浸潤階段，即讓學(xué)生有意識、有目的地搜集生活中的三角形，使學(xué)生從整體上感知和了解三角形，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。然后將搜集到的三角形物體擺放在教室里，將無法搬移的實物拍成照片，打印出來貼在教室的墻壁上，讓學(xué)生思考它們在生活中的作用并記錄下來。

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中的三角形，使學(xué)生從整體上感知和了解三角形，為學(xué)生全面認識三角形、初步感受三角形在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，以及進一步深入研究三角形的特征奠定基礎(chǔ)。】

（二）課中專項研究

1.回顧選材

把學(xué)生搜集到的三角形實物擺放在教室里，并將學(xué)生搜集到的有關(guān)三角形的資料制作成短片在課前播放，進一步激發(fā)學(xué)生研究三角形的興趣。

2.生象

師：同學(xué)們在之前的自主學(xué)習(xí)中，尋找到許多三角形的實物，現(xiàn)在請閉上眼睛想一想，三角形是什么樣子的？同時把它畫下來。（展示學(xué)生畫的三角形）你們是怎么畫的？

生1：房子的屋頂呈三角形，我把它的輪廓畫出來了。

師：也就是說，在畫三角形的時候，不考慮物體的顏色、花紋、材質(zhì)，只畫出物體的輪廓。

【設(shè)計意圖：重視學(xué)生的想象和已有的認知經(jīng)驗，進一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體的三角形實物中逐步抽象出三角形的過程。】

3.概念化

活動A：抽取特征。

師：同學(xué)們畫的三角形都不一樣，那它們有什么共同的特征？

生2：都有三個角，三條邊。

生3：還有三個頂點。

師：現(xiàn)在請同學(xué)們找一找自己畫的三角形的邊、角、頂點，并試著標(biāo)注出它們。（學(xué)生操作略）

師：同學(xué)們，通過畫三角形以及探究三角形的特征，你們覺得什么樣的圖形是三角形？

生4：有三個角、三條邊、三個頂點的圖形是三角形。

活動B：用反例辯證。

師：大家同意嗎？

生5：我覺得不一定。你們看我畫的圖（如右圖），雖然也有三條邊、三個角、三個頂點，但是有一條邊是彎曲的，它就不是三角形。

師：那三角形的三條邊必須符合什么條件？

生6：應(yīng)該都是直的。

生7：應(yīng)該是三條線段。

師：那由三條線段組成的圖形一定是三角形嗎？（出示右圖）請同學(xué)們看看這兩個圖形。

生8：它們都不是三角形。第一個圖形雖有三條邊、三個角，但這三條邊沒有連接起來;第二個圖形雖然有三條邊，但有缺口，沒有封閉。

師：你能用自己的話概括三角形的定義嗎？

生9：由三條線段組成的封閉圖形是三角形。

生10：由三條線段圍成的圖形叫作三角形。

師：你能結(jié)合剛才畫的圖形解釋一下什么是“圍成”嗎？

生10：三角形有三條線段，每兩條線段的端點連接在一起，這就是“圍成”，“圍成”一個封閉的圖形。

活動C：形成規(guī)范、標(biāo)準的概念。

師：由三條線段圍成（每兩條線段的端點相連）的圖形叫做三角形。

【設(shè)計意圖：三角形的定義較難用學(xué)生易理解的數(shù)學(xué)語言進行表述，通過對三角形特征的辨析，引發(fā)學(xué)生對三角形定義判斷依據(jù)的反思。】

活動D：用字母表示三角形。

師：為了方便，我們還可以用字母來表示三角形。（在三角形的頂點分別標(biāo)上A、B、C，讀作三角形ABC，記作△ABC）

4.回象

師：我們認識了三角形的特征，現(xiàn)在請同學(xué)們觀察這些實物和圖片，從中找出三角形并說出判斷的理由和依據(jù)。（學(xué)生尋找三角形并進行判斷說明）

【設(shè)計意圖：再一次引導(dǎo)學(xué)生回歸到具體實物中，完整地經(jīng)歷概念抽象的過程——從具體到抽象再到具體，即回象。】

5.認識三角形的高

（1）選材與生象

師：同學(xué)們，我們前面學(xué)過的平行四邊形有底和高，那么今天學(xué)習(xí)的三角形有底和高嗎？

生：有。

師：什么是三角形的高？什么是三角形的底？請同學(xué)們帶著問題自學(xué)課本第61頁的內(nèi)容，小組內(nèi)交流討論。（學(xué)生匯報自學(xué)情況）

（2）概念化

師：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段是三角形的高，這條對邊是三角形的底。

師：同學(xué)們知道了什么是高，那怎樣畫三角形的高呢？請試著畫一畫，并和同桌交流自己的畫法。（學(xué)生反饋，交流畫法）

生11：我用三角尺的直角來畫的。

生12：我將三角尺的一條直角邊和三角形的底邊重合，然后沿著底邊移動，當(dāng)另一直角邊過三角形的頂點時，從頂點出發(fā)向底邊畫一條垂線，這條垂線就是三角形的高。

師：我們認識了三角形的高，誰來說一說銳角三角形可以畫幾條高？

生：三條。

師：請把銳角三角形的另外兩條高也畫出來。（學(xué)生操作后展示作品，交流反饋）

師：銳角三角形能畫出三條高，那有一個角是直角的三角形和有一個角是鈍角的三角形是不是也能畫出三條高呢？請同學(xué)們在練習(xí)本上試一試，并在小組內(nèi)交流。

生13：我們選擇有一個角是直角的三角形，發(fā)現(xiàn)只需要畫一條高，另外兩條高不用畫，因為這兩條高是三角形的兩條直角邊。

師：他說得對嗎？你能在黑板上用直角三角尺指一指這個直角三角形的高和底嗎？（學(xué)生邊解釋，邊指出直角三角形的另外兩條高）

生14：（出示右圖）我們小組研究了有一個角是鈍角的三角形，只能畫出一條高。

師：他們研究的這個三角形有點特殊，其中有一個角是鈍角，于是他們從鈍角的頂點C向?qū)匒B作了一條垂線，找到了一條高。但是，這個三角形只能畫一條高嗎？

生15：可以把另外兩條邊延長，就可以畫出另外兩條高了，且這兩條高都在三角形的外面。

（教師組織學(xué)生交流討論把鈍角三角形中兩個銳角作為頂點作高的過程，并比較這個高與前面的高的不同，完善學(xué)生對高的理解和認識，這個過程即為“全象”）

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在嘗試畫高的過程中認識三角形的底和高，學(xué)會畫三角形的高，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和動手操作能力。】

（3）回象

教師呈現(xiàn)生活中各種有高或者類似高的三角形物體，讓學(xué)生根據(jù)高的概念判斷說明哪些是高或者接近高，哪些不是高。

6.拓展延伸

師：今天我們學(xué)習(xí)的三角形都是平面三角形，生活中也有不少球面三角形（多媒體呈現(xiàn)下圖），即球面上由三條弧線圍成的三角形就是球面三角形。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會球面三角形在生活中的應(yīng)用，拓展和豐富學(xué)生對三角形的認識。】

……

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有許多核心概念，如概括、模型、遷移、推理等，教師對這些概念本身的內(nèi)涵理解得越深入、越全面，也就越能有效地利用它們指導(dǎo)自己的課程設(shè)計和教學(xué)實施，從而取得好的教學(xué)效果。全景式數(shù)學(xué)教育團隊篩選出20個這樣的核心概念進行全面、深入、立體的解讀，并針對每個核心概念提供了相應(yīng)的教學(xué)流程和典型案例（詳見《小學(xué)數(shù)學(xué)20個核心概念的全景解讀》一書，即將出版），希望能給小學(xué)數(shù)學(xué)教師帶來一些可行的借鑒。

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