線性代數課程的線上線下混合式教學研究

范 靜

（上海第二工業大學文理學部 上海 201209）

引言

線性代數是代數學的一個分支，它的研究對象是行列式、矩陣、向量、向量空間、線性變換和線性方程組。它是“矩陣論”“泛函分析”的基礎。線性代數是描述和研究量子系統、經濟金融系統等的強有力工具。其理論已經應用于許多學科分支，如運籌學、博弈論、金融數學等，而且在工程技術、生物技術、計算機、多媒體網絡等領域中都有著極其廣泛的應用。[1]線性代數課程的基本概念、理論和方法具有較高的抽象性、較強的邏輯性，對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。因而，線性代數這門公共基礎課程是每個理工科學生必修的課程。[2]

在傳統的線下線性代數教授過程中，授課教師即便用盡渾身解數，在上課之初就提出主要內容、重點和難點，介紹授課方式，并在理論學習后提出知識點的應用及與專業課的聯系，但仍有不少學生只抓期末考試，考罷即拋之腦后，只留下對行列式、矩陣等概念的一些模糊印象。隨著時代發展，線性代數的教學在不斷地進行改革，教學一線的老師們一直在關注如何提高學生的積極性，如何提升學習效果等。

梁靜[3]提出將學科思維導圖引入教學中，以提高學生的邏輯思維能力；楊優美等[4]等提出研究式課堂教學方式，通過問題引導激發學生的學習興趣和求知欲；張軍等[5]提出將數學建模思想融入線性代數的教學中，提高學生運用知識解決實際問題的能力。雖然教師和學生面對面進行教學活動，教師主觀上想運用各種改革方式調動學生的能動性，發揮他們的主動作用，但是很多客觀條件限制了實施效果，如大班教學人數多、課程的學時數有限、考核方式不注重過程、考核內容比教學內容范圍小等。在信息技術的深入影響下，傳統的教學模式不斷暴露出不同程度的問題，各種新興教學技術的出現，使得線性代數的教學改革有了新的方向。[6]

1 線上線下混合式教學的開展基礎

疫情期間，線性代數線上授課完全取代了線下講課，授課教師為線上教學設計了完整的教學方案，重構了教學內容，完善了教學資源，增加了預習模塊、互動答疑、回放鞏固、及時檢測等過程。但純粹的在線教學也存在很多問題。客觀方面，如學生的網絡不穩定、終端硬件損壞等不能保障課程順利開展，主觀方面，如學生學習走神、不參與互動等使得在線教學效果較線下教學大打折扣。在高校線下教學活動恢復正常的后疫情時期，所有的線上教學資源不應曇花一現，教師們辛勤工作的結果應加以更好的利用，也值得具有更持久的生命。這為開展新的教學模式奠定了初步的資源基礎。

2020 年7 月15 日，國家發展改革委、中央網信辦、教育部等部門聯合發布《關于支持新業態新模式健康發展激活消費市場帶動擴大就業的意見》。[7]《意見》要求，要把支持線上線下融合的新業態新模式作為經濟轉型和促進改革創新的重要突破口，并由教育部牽頭負責大力發展融合化在線教育，構建線上線下教育常態化融合發展機制，形成良性互動格局。這里的線上是指利用互聯網的視頻課等，學生在自主選擇的時間進行自學；線下是指在固定時間內，在面對面的課堂中，教師針對重點、難點內容進行詳細講解，通過師生互動解決不同學生的問題。線上線下混合就是要將線上自學與線下翻轉進行有機、有效的結合。這為后疫情時期線上與線下混合的教學模式奠定了政策基礎。

目前，全國各大高校圍繞建設“金課”開展了線上線下混合式教學改革。周小燕等[8]對高等農林院校線性代數課程的教學目標、教學實踐以及過程性考評活動進行設計，建立以學生“學”為中心的線上線下混合式“金課”；周勇強等[9]將線上線下教學深度融合，把抽象理論與數學文化、中國傳統文化、實際工程背景等有機結合；鄭文斌等[10]對應用效果進行分析，結果顯示：無論是學生的主觀滿意度，還是客觀考核成績，線上線下混合式教學模式在線性代數課程中的應用效果更佳；吳延紅等[11]構建了一種“線上+線下”的混合式教學模式，以提高學生課堂教學的參與率和學習積極性。這些研究成果為線性代數課程進行線上與線下混合的教學模式奠定了理論基礎。

2 線上線下混合式教學的實施

2.1 線上授課

為了實施線性代數課程線上線下混合式教學，我們需要從以下四個方面入手，才能使教學目標正確、方式恰當。

2.1.1 重構教學內容，育人于無形

將教學內容進行適當的擴充，并根據難易程度分為線上內容與線下內容。將初步的、基礎的、易激發學習興趣的知識，通過錄制10 分鐘左右的視頻課，并結合擴充內容，放在學習網站上，供學生進行課前預習、課后鞏固。期間，如果可以將課程思政內容很好地融入的話，還能在無形中實現“三全育人”。

例如，矩陣的概念是比較簡單的教學內容，就可以作為線上內容，通過短視頻課進行學習。在視頻中，除了講解矩陣是數表這個本質外，還可以舉閱兵式中的隊列為例，讓學生通過各兵種的隊列圖片了解不同行列數的矩陣，還可以領略中國人民解放軍嚴格的紀律和過硬的軍風，增強學生的民族自豪感、培養學生的愛國情操。

2.1.2 擴充教學案例，育人于應用

線下教學往往受限于有限的教學時間，教學案例的選擇有限，無法進行詳細的、分類別的講解。因此，線性代數的多數應用案例就可以在線上通過視頻課、練習題進行學習，這既能增加課程的趣味性，又能啟發學生解決實際問題的思維。

例如，直觀的閱兵隊列可以用矩陣來表示，而且實際生活中的航班路線也可以用矩陣來表示。如果從城市A到城市B、城市C 有航班，城市B、城市C 到城市A 也有航班，但城市B 與城市C 之間沒有航班。這三個城市間的航班表就可以表示為一個三階方陣，第1-3 行表示從城市A、城市B、城市C 出發的航班，第1-3 列表示到達城市A、城市B、城市C 的航班。若用數字1 表示有航班，用數字0 表示沒有航班，因此，此方陣中第1 行的第2、3 列元素及第1列的第2、3 行元素為數字1，其余元素均為0。

2.1.3 增加軟件操作，育人于實際

在線性代數的學習過程中，有限維的向量、矩陣、線性方程組等的維數都很小，但在實際領域內，維數一般大大超出了手動計算的范圍。同時，計算機科學的發展，為學習線性代數提供了一個科學的現代化環境。把MATLAB軟件引入到線性代數的學習中，借助命令、程序進行運算，通過視頻課演示與鞏固練習，可以提高學習效率，增強學生解決實際問題的能力。

例如，利用MATLAB 軟件創建矩陣時，不僅要講直接輸入數字創建矩陣，還要講利用查找、賦值等方法產生新的矩陣；不僅要講矩陣的分塊，還要講矩陣的拼接；不僅要講數字矩陣的運算，還要講符號矩陣的運算；不僅要講矩陣與行列式、向量的理論運算聯系，還要講它們各自在軟件中的獨特運算。

2.1.4 設計個性方案，育人于精準

線上的教學完全以學生為主體，在無人監督的情況下，應盡量增加師生、人機互動，設計個性化的考核方案，以保證線上學習的有效性。

例如，教師在線上發布征詢矩陣的實際生活應用案例或專業領域的應用案例，由學生通過查找資料列舉更多的案例，并進行打分及評論。再例如，在矩陣學習初期，很多學生會與行列式的寫法混淆，可以設計層級的多選題，在第一個多選題中選出正確的矩陣，如果正確，則結束；否則再彈出一個類似的多選題，直至選擇正確才結束。

2.2 線下授課方式的調整

在線下的課堂教學中，在師生面對面的交流中，教師作為主導，應從線上內容的反饋入手，講評線上學習的問題，進行總結后，導入到翻轉思考、引導學習的階段。因此，我們需要在線下從以下兩方面進行調整，才能做到及時鞏固、效果良好。

調整教學方法，轉變教學思路。在新模式教學中，教師需要綜合運用小組合作、以問題為導向的學習方法，進行啟發式、探究式、研討式的講授，通過生講生評，生講師評，及時對學生的課堂表現進行反饋。

設計教學內容，把控教學節奏。在新模式教學中，對教師的要求有增無減，不僅要按照教學進度安排教學內容，還要設計不同的分組討論主題，使不同程度的學生既可以在討論中有收獲，還能突破一定的難度。

2.3 師資培訓及教學評價要緊跟新模式的步伐

對于線上線下混合式教學的開展，還需要以下兩方面工作的配合調整，才能從全方位形成老師與學生間的新教學生態。

加強教師培訓，增加交流學習。授課教師除了要具備熟練的課程講授能力之外，還需要對線上平臺足夠熟悉，可以熟練進行任務發放、答疑評論等。另外，教師還需要學習先進的教學方法，提高自身的素質。因此，教師需要進行各方面的培訓和學習，以及本校及校間交流和切磋。

改變教學評價，權衡線上線下。改變以往平時成績過低的評價方式，制定全新的評價方式，以綜合考慮學生線上表現和線下表現，結合課前、課中和課后的學習過程和學習效果，通過學生平時的學習成績，設置合理的權值，使得最終評定的成績與學生真實的學習狀況保持一致。

3 結束語

目前，很多高校針對線性代數課程進行了線上線下混合式教學探索和實踐。本文著重從開展線上線下混合式教學的基礎出發，探討了構建新教學模式所需的調整和改變，包括線上的教學內容、教學案例、軟件操作及個性化方案；線下的教學方法和教學內容；并配以教師培訓與改變教學評價。通過線上與線下全方位的配合，多樣性的結合，在達到學習線性代數理論知識、實際案例、軟件應用等學習目標的同時，能夠充分尊重學生學習的個性化，有利于學生建立學習的自信，主導自我的發展，從而改善學習現狀，提升教學成效。