線性變換的幾何意義

雍龍泉，李翠霞，吳世良

（1.陜西理工大學 數學與計算機科學學院，陜西 漢中 723001；2.云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500）

線性代數課程具有概念多、定理性質多、抽象程度高等特點，導致學生在課程學習過程中會遇到各種各樣的困難.線性代數課程知識之間的聯系較為密切，可以說是環環相扣的，如講授行列式以及矩陣的逆是為了給特征值和特征向量等內容做鋪墊.線性代數教學一般都是大班上課，特別是目前學校普遍壓縮線性代數課時，導致課時緊張，教師無法實時了解到每位學生的學習狀態和教學效果.由于目前教材舉例較少，圖解也比較少，因此需要學生在課前多準備，多去預習，查閱相關的資料，課中保持認真聽講和做好筆記的習慣，課后不斷鞏固和學習相關內容，及時與教師溝通和去圖書館拓展知識內容.只有這樣才有可能學好這門課程.

線性變換是線性代數中重要的知識內容，線性變換在計算機圖形學、圖像處理、現代光學等學科中具有重要的應用.目前線性代數教材缺少與幾何圖形的有機融合，線性代數教師在講授線性變換內容時常常忽略線性變換的幾何意義、特征向量與特征值的幾何意義以及正交線性變換的幾何意義[1-7].本文以二階矩陣為例，闡述線性變換的一些幾何意義.

1 非退化的線性變換

方程（2）表示一個橢圓，其長軸與短軸不在坐標軸上.

應用Matlab 程序繪制方程（2）的幾何圖形，結果見圖1.圖1表明，通過線性變換y=Ax，單位圓變成了一個長軸與短軸不在坐標軸上的橢圓.

圖1 線性變換的軌跡

圖2 特征值與特征向量的幾何意義

從二次型的角度來研究方程（2）.方程（2）表示一個橢圓（見圖3a），此時橢圓的長軸與短軸不在坐標軸上.通過選取一個正交線性變換[9-10]，使其長軸和短軸落到坐標軸上.

方程（3）便是一個長軸和短軸落到坐標軸上的橢圓（見圖3b）.

方程（4）也是一個長軸和短軸落到坐標軸上的橢圓（見圖3c）.

圖3 方程（2）～（4）對應的曲線

圖3b 相當于對圖3a 做順時針旋轉45°，圖3c 相當于對圖3a 做逆時針旋轉45°.

2 退化的線性變換

這表明，通過線性變換y=Ax，單位圓變成了線段y2=2y1，（見圖4）.

圖4 線性變換的軌跡

給出研究線性變換幾何意義的思路（見圖5），以便學生清晰了解和記憶.

圖5 線性變換的幾何意義

3 結語

線性代數是一門應用性很強的學科，但目前多數線性代數教材似乎都偏重“代數”而較少涉及“線性”一詞包含的幾何意義，所以可能給人印象較抽象，不容易讓學生產生興趣.通過挖掘線性變換的幾何意義，讓學生建立“代數”與“幾何”的統一觀，強化學生對唯物辯證法中“事物的聯系是普遍的，要用普遍聯系的觀點看問題，防止孤立、片面地看問題”這一哲學思想的理解.講授過程中從辯證法的角度理解數學知識，在教授學生數學知識的同時也潛移默化地對學生進行了唯物辯證法的教育.