創造源自經驗，創新始于模仿

單亮

一、回憶經驗，尋找基礎

師：一聽到內角和，讓我們想到了剛剛學習的圖形三角形，誰能告訴我怎樣定義三角形呢？

生1：三角形由三個角、三條邊、三個頂點組成。

師：她說的不是三角形的定義，卻是三角形的特征。誰來說說三角形是怎樣得到的？

生2：三角形的內角和是180°。

師：他說的也不是三角形的定義，他說的是三角形內角的總度數，那到底什么是三角形呢？

生3：三角形是由三個角、三條邊、三個頂點圍成的封閉圖形。

師：他說的依然是三角形的特征。看來學著學著，我們的小眼睛一直在關注三角形的特點。其實三角形是由三條線段圍成的圖形，這一圍首尾相接了，當然它就變得封閉了。現在快告訴我三角形是怎樣得到的。

生：三角形是由三條線段圍成的圖形。

師：圍之前叫三條線段，圍之后叫三條邊，這是圍前和圍后的變化。

【賞析】學生更多地會從特征方面表述三角形的概念，這樣的表述是不完善的，也不利于后續圖形的學習。徐老師利用簡短的對話，讓學生回憶起三角形的定義，喚醒了原有的學習經驗，這種定義也為后續的學習定下了基調，讓學生明白了，圖形的定義不能僅從特征上去描述，而要抓住圖形的本質屬性，這樣才能簡潔明了地確定圖形的概念，為后面的學習設立了模仿的范例。并且這種直接、簡約的情境導入，正是徐老師倡導的教學情境應簡潔、真實，充分聯系學生已有的知識基礎和學習經驗。

二、基于經驗，創造方法

師：回憶探索三角形內角和的經歷，我們曾經用量角器測量角的大小，然后求和。今天你還打算用這種方法嗎？

師：是不是感覺有些麻煩。除了麻煩，我們回憶當初測量的過程，測量成功嗎？

生：不怎么成功，有多有少。

師：因為只要是使用工具人工測量，總會產生誤差，這種方法是生活的方法，不是數學的方法。這種方法我們不能舍棄，要保留，它叫測量求和法，但是今天我們不用了。再回憶一下，我們還用了什么方法，想想我們的經驗，我們從記憶里尋找答案。

生：可以把每個角都裁下來，把它們拼成一個平角。

師：這是當年的記憶，老師講沒講？我們今天依然可以用老辦法解決新問題。當然你也可以創造其他的方法，拿出四邊形，試一試。

學生嘗試獨立操作后交流。

師：誰來試一試？

學生把四個角撕下后，拼成一個周角。

生：可以利用四個角拼成一個周角，也就是360°的角。

師：他用自己的行動證明，能用四個角拼起來變成一個360°的角，從而證明了四邊形的內角和是360°，那這個“可能”到這里就變成了“肯定”。

師：根據前面的經驗，給這個方法起個名字吧？（撕角法）

師：撕完就完了嗎？大家不同意啊！我們可以商量商量。（撕角拼接法）

師：撕角拼接法，拼完了你干什么？同學們可以看看以前的經驗，前面的方法叫什么？（測量求和法）

師：原來已經有了一個名字了，那我們再起一個名字是不是要根據前面的經驗去做呢？現在有人說撕，有人說拼，那干脆叫什么？（撕角拼接求和法）

師：太多了，再想想，要抓住關鍵的字來概括，想想他第一步干什么？第二步干什么？所以叫——（撕拼求和法）

【賞析】在學習三角形內角和時，學生們都有過用量角器先測量后求和得出三角形內角和的經驗，但是這種方法在操作中會出現各種問題，在本課中學生明顯做出了取舍。學生用撕拼的方法來嘗試得出四邊形的內角和，正是學生基于他們的經驗。在運用此方法進行探究后，徐老師通過充分交流，讓學生經歷命名過程，強化了學生對于新方法的體驗，最終得出“撕拼求和法”這一名稱。在不斷完善名稱的過程中，徐老師對所起名稱提出要盡量準確、簡練的要求，這種簡練對于學生邏輯思維的提升是非常必要的。

三、始于模仿，成在創新

師：孩子們，每一步都是需要學習的，起名字就是一種非常重要的數學概括能力，模仿是最好的老師。到現在我們是不是進一步證明了四邊形的內角和是360°？還有別的方法證明嗎？

生：我們可以把四邊形分成兩個三角形，三角形的內角和是180°，兩個三角形就是360°。

師：你說的我怎么沒聽明白，要不你來展示一下該怎么辦？

生：從一個頂點出發到這個頂點切開。

師：頂點到頂點的線段好熟悉啊！叫什么名字呢？

生：對角線，切出了兩個三角形，三角形的內角和是180°，兩個三角形就是360°。所以四邊形的內角和是360°。

師：等一下，我剛才好像忘了一個細節，四邊形的內角和是幾個角？我們數一數。（如圖1）

師：什么呀？你搞了6個角的度數和。你看看，四邊形4個內角，你怎么能用6個角呢？你多了兩個角，那看起來四邊形的內角和不應該是360°。你能解釋嗎？

生：其中這兩個角是原來的一個角，這兩個角也是原來的一個角。

師：所以現在的6個角就是原來的4個角，這就是數學的形變質通。你看看，模仿是最好的老師，我也有一種方法，如果我畫對了，請大家給我掌聲，因為老師也需要表揚。

徐老師把圖拼好，沿著另外一條對角線把四邊形分成兩個三角形。（如圖2）

師：這種方法跟前面的不一樣了，前面的方法是直接找到360°，這種方法是個創新，既然是創新，快給這種方法起個名字吧！

生：分割求和法、切割求和法。

師：怎么切的，原來是一個四邊形，結果變成了兩個三角形，干脆叫一——

生：一分為二求和法。

師：對了，名字里就能看出它的做法。

徐老師把切開的四邊形變成四個三角形。（如圖3）

師：又出事了，我無意間一碰，原來的四邊形變成了4個三角形，那現在四邊形的內角和應該是180°×4了，還能是360°嗎？

生：因為最中心的那4個角可以拼成一個周角，但是它們不算最外面的，所以這360°要減去。

師：它們可以拼成一個周角360°，但是原來有這個角嗎？它是新增加的，所以720°要減去360°，還是360°。你知道你的發現有多重要嗎？我把數學家們發現的方法送給你們。他們沒這么復雜，他們就是在四邊形中任意點一個點，然后向頂點連線，這樣有多少條邊，就可以分成多少個三角形，你能說出他們是怎么得到360°的嗎？

生：因為180°×4=720°，但是720°里面包含那個不存在的周角，再減去360°，所以得到四邊形的內角和是360°，180°×4-360°。

師：慢慢的，我發現越來越有意思了，由原來眼睛里的學習，變成了頭腦中的學習，真好。

【賞析】運用三角形內角和及分割法來求多邊形的內角和，學生最難理解的是為什么要減去360°。要解決這一問題，需要學生對分割法有深刻的理解，且需要對角的個數增減有非常敏銳的想象力。課堂中學生能完全理解這種計算方法，并在后面的學習中準確應用，正是由于徐老師模仿學生做法這一簡單設計，制造出認知上的矛盾，讓他們深入思考如何解決這一矛盾，并以此讓學生深刻感受：從圖中任取一點向頂點連線后組成的多個三角形內角度數之和，總是比原來圖形的內角和多了360°;并且不論是幾邊形，分成幾個三角形，把它們的內角和加起來始終只會多一個周角的度數，在計算時總是需要把多出的360°減去，這樣才能正確求出所要求多邊形的內角和。在此我們可以清晰地看出，徐老師在這個小環節的設計中，同樣滲透了簡約教學的基本模式，即生疑、探疑、議疑、解疑、疑疑，由問題的解決引發新問題的產生，從而讓學生逐步形成基于問題研究的學習思想。同時，我們也能深刻領略徐老師對于教學中即時生成問題的精準把握與精妙處理。徐老師運用教學媒體之簡單（黑板、四邊形紙片），教學過程之簡化（師生深入的對話交流），就將整節課推向了高潮，也正是這簡化的教學過程和簡單的教學媒體，才讓師生有更充足的時間來圍繞主要的認知矛盾進行層次分明的探索和交流。同時也使得學生經驗得以升華，創造了多邊形內角和計算的一般方法，這種方法是具有普適性和簡潔性的，從而實現了求多邊形內角和方法的創新。

（作者單位：江蘇省徐州市豐縣順河中心小學 責任編輯：王彬）

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