實施建模教學，提高數學素養
——小學數學建模教學研究

林素萍

(福建省三明市大田縣實驗小學 福建 大田 353000)

數學學科作為服務性學科，教師教授的目的便要重在“應用”，以提高學生的數學知識應用能力和解決實際問題的能力。而且，新課標也要求教師要引導學生把生活問題抽象成數學模型，以鍛煉學生的數學思維，促進學生數學價值觀的形成。為此，教師在數學教學中，一定要積極引導學生應用數學模型求解問題，強化學生的數學實踐應用能力，進而使學生的數學素養得到發展。

1.建模教學的基本概述

數學建模實際上就是求解數學應用型問題的一種思考方法。即數學建模就是將某類情境問題或某一領域的問題，通過簡化、抽象的方式找出變量及其參數，并建立參數與變量間的數學關系，從而形成數學模型。利用數學模型進行求解數學問題后，對所得到的結果進行解釋與分析并驗證。如果驗證成功那么可以繼續使用，如果驗證失敗，那么需要從問題入手重新進行分析和假設，進而改進模型。其實，數學建模難度系數并不高，只要有應用型數學問題就可以建模，而且建模也與我們的平時生活相關聯，比如天氣預報中提到的降水概率、股票或基金等的走勢分析、醫改以及養老保險等的整改方案均是依靠數學建模來完成的，為此，隨著新課改的不斷深入，小學數學建模教學成為了當下教學的主要教學方式。

2.小學建模教學的情況和必要性分析

2.1 目前小學數學教學情況分析。數學建模的作用就是為了解決數學問題，但是建模教學一直以來都未獲得有效的發展，這主要還是歸于我國傳統應試教育的影響：教師一味追求學生的學業成績，課堂教學方式較死板，學生思維定勢化嚴重。而學生以取得良好的數學成績才為重要目標，導致學生的情感與價值觀這一教學目標無從考核。另外，在以學業成績為是否入學的基礎標準前提下，數學教學成為了如何有效求解問題獲取解題技術的教學，很多學生從接觸數學起一直沒有形成良好的數學思維，更別提如何用創新思維看待數學問題，如何去發現探索問題，這使得學生成了求解數學問題的機器。這并不符合當下素質教育教學以及新課改中所提倡的精神，為此也讓小學數學陷入了進退兩難的處境。

數學教學中建模主要包括兩類：一是怎樣將實際問題進行適當的簡化，從而將其變量和參數之間的關系尋找出來。其內容主要有：(1)理解分析問題；(2)問題化簡，提出猜想與假設；(3)構建數學模型。二是怎樣使用數學工具去分析和處理模型，具體內容包括：(1)分析解決模型；(2)檢驗檢測模型(如若模型不成立，則需要進行模型修改)。在實務數學教學過程中，教師對于后者的教學十分重視，對于前者的引導和教學訓練較少。而前者恰恰是從生活實際問題向理論數學問題間的轉化，由此可分析出，當前教育教學中過于強調如何進行對數學概念的分析和理解、數學公式以及理論如何推導和證明、各類題型的訓練，忽視了怎樣從生活問題的角度，結合抽象邏輯思維，構建數學理論模型，通過分析模型進而將其應用于生活之中去求解不同情境下的數學問題。探究這一情況的原因有：(1)教材中的例題與當下時代偏離，編寫內容以及研究對象過于定型化。比如，數學教材中常常使用如工程、買賣交易、行程等類型的情境問題。(2)教師往往會將數學應用問題進行濃縮化，這會導致應用問題直接轉化成抽象的數學問題，致使學生的數學應用意識難以獲得發展，也是學生數學應用能力較低，創造性思維能力較差的原因所在。

2.2 強化小學數學建模教學的必要性。從學生的角度分析，每個學生都具有強大的潛能力和創造力，教育學家海納特曾說過，有人類的天資及使命就可知，每個人都是富有創造能力的，他們會用不同的方式表達出來，但是這種創造性卻常常會被埋沒、壓制或素服。而實施建模教學有助于樹立學生正確的數學價值觀，且學生在建模教學中可以培養團隊意識和合作精神，有助于建立學生服務社會的品質。我國小學數學課標也明確指出要培養學生求解數學問題的思想方法和能力就需要提高學生的數學應用意識，使用數學模型求解應用問題，并學會將實際的應用問題總結劃歸為抽象的數學模型，再使用數學思想方法對其進行深入的探究和分析、猜想和驗證、運算和驗證，最終使問題獲得充分的解決。上述的要求不但滿足數學思想方法的發展，同時也滿足學生數學素養的培養需要。

由于小學數學不單單要讓學生獲得數學新知，更重要的是提高學生的數學思維能力，更要培養學生主動運用數學知識處理和分析生活中的實際問題，進而養成良好的數學思維，促使學生的探索精神和創造性思維得到發展，激發學生的數學學習潛能。為此，在小學數學教學中，強化建模教學是十分必要且可行的。同時，強化小學數學建模教學是落實素質教育教學目標，滿足新課改的教學理念的有效途徑。

3.實施建模教學的具體方法

3.1 提高教師建模意識。為了實施建模教學培養學生的建模能力，首先小學數學教師要提高自身的建模意識，這就需要教師在課前備課中對教學內容進行修改和調整，及時更新教學思想和教學理念，深入探究教材中可使用的建模內容。小學數學教師需要從學科發展歷史進行了解，并掌握一些建模的基礎理論，結合教材內容將其中的知識與學生的實際生活相結合。

例如，在小學數學學習中，學生們學到了“圖形的平移與旋轉”，教師便可以要求學生在實際生活中觀察，并用汽車在馬路上行駛或八音盒中的旋轉小人為例進行教學，從而將抽象的圖形運動與實際事物聯系起來，幫助學生構建抽象的數學模型，提高學生的抽象思維，使學生的數學素養得到發展。

另外，建模意識的建立也需教師靈活把握模型組成結構。通常我們以為的模型是用數字符號表示邏輯關系，但在小學數學中，模型的呈現形式有很多，教師要善于對其進行挖掘,從而使自己與學生都能夠提高建模意識。如應用題中的文字模型，這種類型的模型就是將情境中一些不必要的內容去掉，然后用文字呈現出有關情景以滿足邏輯關系。

例如，出示問題：明明、芳芳、佳佳三個人一共有鉛筆90根，如果芳芳向明明借3根，又給了佳佳5根，最后三人的鉛筆數量相等。求明明、芳芳與佳佳三人原來分別有多少根鉛筆？

分析：原題中的內容較為復雜，三個小朋友的鉛筆互相借來借去，學生們很容易轉暈。那么這時候，教師就要引導學生將重要的數學信息抽取出來，用模型的形式表達。根據題意發現，最后三個人的鉛筆數量相等。那么有：90÷3=30(根)。明明借出去3根，那么明明此時少了3根鉛筆。明明鉛筆數量-3=30。芳芳從明明手中拿到了3根鉛筆，此時芳芳就多了3根，而后她又給了佳佳5根，鉛筆數量少了5根。那么芳芳的鉛筆數量+3-5=30。佳佳從芳芳處得到了5根鉛筆，佳佳多了5根，此時佳佳的鉛筆數量+5=30。綜上分析，學生們就能夠總結出此問題的文字模型：明明鉛筆數量-3=30；芳芳的鉛筆數量+3-5=30；佳佳的鉛筆數量+5=30。

則算式就可以列為：明明：30+3=33(根)

芳芳：30+5-3=32(根)

佳佳：30-5=25(根)

最后，教師要引導學生對此列式進行模型檢驗，結果正確說明模型建立正確。

除了文字模型外，圖式模型也是小學數學建模的常見類型。通常情況下教師在教學中會遇到口述講解學生難以理解的情況，這時便可用圖式的方式進行輔助教學。一般圖式模型會利用數形結合思想，促使學生在圖式模型中能夠對已知條件與問題之間的內在關系有一個充分的理解，從而化隱為顯，激發學生求解思路。

例如，在體積的教學中，教師出示情境問題：先有6個小桶，一個大桶，將它們都裝滿能夠裝630毫升的水。已知一個大桶的容積就等同于3個小桶的容積。求大桶與小桶的容積分別是多少？

分析：求解此問題的時候，教師可以引導學生采用圖示法求解，通過畫圖找出邏輯關系。則有如下圖所示：

通過上述圖示，學生們便可以列出算式：

小桶的容量：630÷(3+6)=70(毫升)

大桶的容量：630÷(6÷3+1)=210(毫升)

學生們采用畫圖替換的方式將原題生動形象的展示出來，此過程中的模型雖然僅適用于此問題，但對于學生來說是他們感知建模思想的關鍵過程。

再如，出示問題：元元家準備做店慶，如果元元爸爸將一臺冰箱以成本35%的折扣賣出，那么就要承擔200元錢的利潤虧損。但如果用原價15%打折銷售，則能夠盈利200元，請問冰箱的成本是多少？

分析：在教師講述到有關于商品價格問題的時候，可從中提煉出數學模型。因為商品價格本身存在三類：原價，成本以及售價。那么求解此問題的時候，教師就可以引導學生把冰箱的原價當做“1”或100%，這樣學生們就能夠獲得如下圖示模型：

上述線段圖是學生經過閱讀后整理出的模型，而通過線段模型，學生們便能夠清楚的發現，雙倍200元就是商品原價20%，那么，這個電冰箱的原價就應該列算式為：(200+200)÷(35%-15%)=2000(元)，電冰箱成本就是：2000×(1-15%)-200=1500(元)。

由此，在小學數學教學中，教師需要引導學生多加了解不同模型的表現形式，同時也要讓學生明白應用模型的便利。像上述問題中，通過線段圖的繪制所得到的模型僅適用于求解此問題，但在模型分析中，學生們能夠立刻找到各個元素之間存在的關系，從而使問題求解變得簡單直接。需要注意的是，教師要保證學生所繪制的圖示模型與題意相符，這樣才能夠保證求解問題的準確性。

3.2 發掘教材建模素材。數學建模教學一定要與教學進度中的理論內容相結合，利用好課堂教學實踐，讓學生在模型的基礎上學習和理解新知，為此數學教師就需要對教材內容進行深入挖掘和研究，從而發掘其中所包含的建模教學素材，開展有效教學。

例如，在行程、工程、買賣等問題中，就可以尋找能夠代表數量關系的數學模型。如出示相應模型的情境問題：已知A、B兩輛車相距440千米，A車行駛的速度為23千米/小時，B車行駛的速度為21千米/小時，兩輛車同時從起點出發，相向而行。①當A、B相遇時，求A、B輛車各行駛了多少千米？②相遇時A車比B車多行駛了多少千米？

分析，根據題干中的已知條件，教師首先要求學生明確各個要素的“身份”，首先“440千米”是輛車最初的相距距離，那么在本題中這就是“路程”。接著“A車行駛的速度為23千米/小時，B車行駛的速度為21千米/小時，”題干中標明這兩個要素為速度。最后，分析①②③三個問題，①需要求解的是行駛的千米數，條件是“當A、B相遇時”，由此提煉出所需求解的要素為路程，題干中已知A與B的速度，要想求解需要知道兩車相遇的時間；②需要求解的是比較路程的長短。那么就要知道相遇時，A與B兩車分別形式的路程長度，同樣已知知A與B的速度，要想求解此問仍舊需要獲知兩車相遇的時間。

解：兩車相遇時間：440÷(23+21)=10(小時)

①A車行駛了23×10=230(千米)，B車行駛了21×10=210(千米)

②相遇時A車比B車多行駛了230-210=20(千米)

由此，整理出模型時間=路程÷速度模型。還有在學習搭配和規律問題中，就可以構建樹狀圖或排列組合相關的數學模型；在比較速度問題中，就可以構建平均數的數學模型。再如，在學習加法交換律的時候，教師就可以帶領學生進行猜小球的游戲，然后讓學生講述游戲中變與不變的原因，接著引導學生能夠使用數學符號或數學語言進行表示，從而構建出抽象的數學模型A+B=B+A。教師通過在新授課程教學中向學生們滲透建模思想，同時使用建模教學促使學生形成建模意識。在教師潛移默化的引導下學生可以從不同的建模問題中感受到數學建模的廣泛性，進而調動起學生應用數學建模求解數學問題的興趣，以使學生在求解問題中提高應用數學模型的使用頻率，促使學生的建模能力得到有效的提升，從而發展學生的數學素養。

3.3 理論與實踐相結合。教師可以制定適當的建模專題內容，如有關公式定理的建模、有關圖形分析的建模、有關數量關系的建模等。學生在討論和分析實踐中獲取數學建模和模型驗證的一些數學思想，從而有效掌握數學建模的方法。另外，教師還可以組織學生進行必要的實踐活動，讓學生在活動中體驗模型的建立和應用模型的優勢。

例如，在小學數學學習中，學生們學習到了“測量單位”，教師除了要引導學生正確測量外，還要讓學生感受同一數字下的不同單位之間的長度差異。如5厘米、5分米與5米之間的差異，學生在準備好測量工具后來到操場中進行實踐測量，使學生對測量單位有一個初步的認識，強化學生的數感，提高學生的估算能力。隨后，教師要將數學單位同實際生活實物聯系起來。為此，教師將學生劃分為小組，并制定實踐表。教師可以給學生們提供課本、講臺、黑板、桌子以及等其他生活實物，并將所得測量結果依次填寫在實踐表中。在策略結束后，學生小組需要針對策略情況進行總結與歸納，這時就會發現學生小組中出現了多個策略方法，而且大家所使用的長度單位也存在“不同”，為此教師需要引導學生們就此進行討論，交流在測量不同物體時應當如何使用恰當的測量單位。學生通過討論統一了測量方法，并總結如何準確使用測量單位，使學生增加生活經驗的同時，提升學生的數學素養。

3.4 引導學生自主探究。教師實施建模教學的過程中一定要引導學生自主探究，讓學生經過獨立自主思考后，使知識實現內化。教師通過舉例說明的方式，讓學生完善數學知識體系，從而使知識延伸，進而讓學生在探究中構建模型。

另外，在小學數學應用題的求解中，教師可引導學生自主思考并將某類題型的求解模型整理出來。

例如，有關于兩積之和類模型，用數學符號表示為mx+ny=q。這個模型中一共有5個元素，元素的已知或未知情況不定，但可以結合具體的數學問題來分析。此類型題在小學數學應用題求解中經常遇到。比如有:某圖書館訂購兩類書，單價分別是x，y，數量則是m，n，求解圖書館需要支付的總錢數就是mx+ny。再比如題目：小明去文具店買鋼筆和筆記本，鋼筆單價18元，筆記本單價3元，小明買了4根鋼筆，2個筆記本，最后小明需支付多少錢？該問題求解列式為：18×4+3×2=78(元)，此列式歸納出數學模型就是mx+ny=q。還有如經典的雞兔同籠問題，用數學模型就可以表示成：4x+2y=總腳數，x+y=總頭數(x，y分別為兔子數量和雞的數量)。當然，除了兩積之和模型外還有兩商只差模型，用數學符號表示就是m÷n-q÷t=h。和上面的模型相同也存在5個元素。具體應用范例有：某個工廠原本計劃是30天生產400件螺絲，實際上每天生產量要比計劃的多200件，求實際生產的天數？列出算式就是400÷x-400÷30=200；明明今年的壓歲錢能夠到超市買8斤的楊桃，如果單價貴5元的車厘子就要少買2斤，求明明今年的壓歲錢是多少？列出算式是：x÷(8-2)-x÷8=5。再有：A與B兩輛汽車同時從甲地開到乙地，已知甲乙兩地的距離是1000千米，A車每小時能夠比B車多行駛80千米。在A車到達乙地后，B車已經行駛了600千米，求A車到達乙地花費了多少小時？列出算式是1000÷x-600÷x=80。上述應用題的兩種模型歸納已經將小學時期大部分有關于速度、價錢、工作效率等的數學問題都囊括其中。教師在教學中可以引導學生自主探究，通過獨立思考，將題干中一些非本質的屬性剔除，用能夠表示數量關系的元素列出文字模型，從而明確該模型是兩積之和還是兩商之差的模型。在判定好模型后，將對應的數字帶入到模型之中，進行問題求解。此類模型從數學上分析類似于線性組合，所以教師在教學的時候可針對性的為學生們做不同情境下的線性組合應用題訓練，讓學生在訓練過程中充分感受模型的核心思想，從不同情境中總結出文字模型的共性，進而歸納出符號版的數學模型。

4.結語

在小學數學教學中，教師實施建模教學的目的就是為了使學生的數學素養得到提升，由于目前建模教學還未在小學數學教學中廣泛地應用，師生建模意識都較為缺乏，為此，就需要教師明確加強建模教學的必要性和可行性，并建立建模意識，從教材入手分析利用好課堂教學時間，引導學生通過獨立思考和小組討論的形式獲得模型構建后的感受，帶領學生將構建的模型應用到現實生活中，使學生建立模型意識，并體驗到應用模型的優勢，發展數學素養，推進數學成長。