又見中點

龔美華

摘要：中點作為初中數學中的基礎知識，對于很多學生而言并不陌生，但中點本身涵蓋的內容較多，而且隨著幾何知識的不斷深入學習，也會了解到更多的中點知識。而在中考改革工作全面落實后，中點成為了幾何專題中的核心關鍵內容，備受青睞，需要學生在復習階段展開全面系統的分析。基于此，本文以2021年北京市中考數學試卷第27題為例，借助輔助線方式，強化圖形認識，合情合理展開思維推理，進一步了解中點問題的解題方式，為中考考試奠定基礎。

關鍵詞：中點問題;平面幾何;思維推理;圖形思維

一、中點問題的解題思路分析

從目前來看，初中階段關于中點的知識內容有很多，具體表現在以下幾個方面：線段的中點，三角形的中線，全等三角形中的倍長中線法，等腰三角形中的三線合一，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，平面直角坐標系中中點坐標公式，中位線，圓中的垂徑定理，相似中的重心等等。這些概念都有可能在中考中遇見，這不僅考查學生對基礎概念知識的了解情況，也對學生的數學能力提出了一定要求。中點問題本身也屬于平面幾何證明題的一種，學生需要具備良好的邏輯推理能力，同時能夠在解題過程中構造輔助線，強化自身的創新意識。新時期，教師也要有意識的培養學生的幾何直觀意識，為學生數學核心素養的成長奠定良好的基礎。

從過往的教學經驗來看，添加輔助線是中點問題常見的解題方法，雖然沒有固定的方法，但卻有規律可循，教師要在教學時，引導學生深入挖掘題設，讓學生能夠抓住特定條件的本質特征，找到已知條件和未知條件之間的必然聯系，強化自身的創新意識，借助圖形解題法，合情合理的進行推理，強化數學思維。總的來說，中點問題幾乎貫穿了平面幾何，除了輔助線解題法之外，還可以考慮中位線解題法，可以幫助學生清晰的判斷數量關系和位置關系。另外，中點問題較為分散，會衍生出不同幾何圖形的種種變化，借助多元化的解題方式和解題思路，解決平面幾何中的中點問題。在實際解題過程中，學生要學會借助不同的方式轉化條件、制造聯系，從而快速的解決問題。

二、中點問題的解題案例分析

中點是中考中的重點考察內容之一，下題為北京市中考數學試卷中出現的又見中點相關試題，作為經典的中點考核題目，具體內容如下：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉a得到線段AE，連接BE，DE。求解：∠BAE與∠CAD誰大，并且用等式表示線段BE、BM、MD之間的數量關系，同時，還要證明過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數量關系。

解題：

因為AB=AC，M為BC中點

可得∠CAM=∠BAM，∠AMC=90°

由MN⊥AB于K，可得∠AKM=∠AMC=90°。

考慮到Rt△AKM和Rt△AMC內角和相等，

可得∠AMK=∠C=∠ADE。

易證△ADF∽△NMF，

又∠AFM=∠DFM，于是可得△AFN∽△DFM.

可得∠ANF=∠DMF=90°，

易得AN為等腰△ADE的中線，得NE=ND。

三、中點問題的解題策略分析

中點問題作為近幾年來的幾何壓軸題，重點考察學生的數學素養和綜合應用能力，在不同題目上考察的內容各不相同，也對初中數學教學提供了一定的指導。

（一）中位線解題策略

在平面幾何相關的考題中，以圓、三角形等數學核心知識，雖然綜合性較強，難度較大，但解題方式很多，根據不同的解題方法選擇，產生的效果也各不相同。這就需要教師在教學過程中，充分把握住課程標準，強化能力培養，讓學生充分掌握基礎知識和基本技能，保證每個學生都可以得到良好的發展。從中點這一專題中的試題情況來看，大多具有多種不同的解題方法，學生選擇的方式不同，解題速度快慢不同。中點對于大部分學生而言，是非常熟悉的內容，輔助線是最常見的解題策略，構造中位線是最常見的一種，上述案例中也是通過構造中位線，制造出相應的兩平行關系，從而完成具體的解題。一般情況下，中位線法主要應用在題目條件中出現了中點，就可以利用另一邊的重點，構造出相應的中位線。中位輔助線法有兩種不同的取證手段，分別為等量關系和平行關系，上述案例中采用的是等量關系。而在平行關系中，也可以通過平行關系下的相關概念定理完成解題。

（二）中線加倍解題策略

近幾年來，各地區的中考試題中的平面幾何考察知識點、考察能力都發生了極大的變化，除了學生的基礎知識能力之外，更重視學生的綜合性和實際應用能力。除了中位線解題策略之外，還可以采用中線加倍的輔助線策略，需要結合條件中的三角形中線，將中線延長，構造出全等三角形，將條件進行下一步轉化，更好的完成解題。以中點問題為例，在教學過程中，還可以借助2倍角轉化和高線對稱法等最常見的輔助線解決策略，分析決策問題，主要考察的學生平面幾何能力以及圖形結合的的掌握情況，讓學生認識到中點知識的重要性。除了輔助線之外，在實際解題過程中，還要充分考慮到其中存在的問題和具體條件，完成相應的解題。

綜上所述，在初中數學教學中，教師要設計出多元化、全面性的課堂空間，從而讓學生主動的投入到教學活動中。從目前中考試題來看，每一問都包含了多種解題方法，考察學生快速調取知識、合理選擇方法的能力。實際上，就是在要求強化對學生核心素養培養，讓學生在知識應用中形成經驗，真正實現教育教學。

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