序進教學：構筑目標、內容、認知、過程一致的數學教學

凌建青 李新

摘要：教學目標、教材內容、學生認知、教學過程等教學要素都有一定的“序”，具體表現為教學目標的序列、知識內容的結構、學生認知的規律、教學過程的組織?！靶蜻M教學”旨在構建目標、內容、認知、過程一致的數學教學，通過立序、變序、進序、優序等實施路徑更好地推進教學進程，實現教學優化、學習優質、發展優先。

關鍵詞：序進教學;教學目標;知識結構;認知規律;教學組織

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2022）02A-0109-05

一、“序進教學”的界定

“序進”源于“循序漸進”?！靶颉笔侵钢R本身的順序和人們認識事物的順序，表現為一個序列、一個過程，兩者構成一個統一的整體?！斑M”是指學習的步驟、進度和速度，它不是無序的，而是按照知識的序列和認知的過程漸進的，不能躍進，也不能顛倒?！靶蜻M教學”是指遵循“循序漸進”的原則，審視教學目標的優先序列，把握知識內容的邏輯結構，探索學生學習的認知規律，優化教學過程的組織程序，構建目標、內容、認知、過程一致的小學數學課堂，促進學生的深度學習，發展學生的數學學科素養?！靶蜻M教學”具有三個特征：一是教學目標的優先序列性，二是教學過程的組織序列性，三是數學課堂的“教、學、評”一致性。

二、“序進教學”的緣由

（一）教師對數學知識結構的“序進”認識不足，導致“結構化”缺失

系統論告訴我們，自然界、人類社會各個領域的系統都存在一定的結構?！敖Y構是指系統內部各組成要素之間在空間和時間方面的有機聯系與相互作用的方式或者順序?！盵1]數學教材主要是根據該學科知識的內在邏輯結構、學習者的認知水平以及時代對教育的要求，用文字等形式來表達的一種知識結構，體現了數學知識本身的嚴密性和邏輯性，體現了教材編排的“螺旋上升”的特點。教材的結構，對學生來說，就是學習的知識結構。教學時，設計好知識結構的序，有利于更好地揭示知識間的內在聯系，便于學生形成良好的認知結構，促進學習的有效性。

（二）教師對兒童認知發展的“序進”理解不夠，致使“生本化”缺失

從教育心理學角度看，人的生理因素和心理因素都呈現出一定的年齡特性，體現為由弱到強、由低到高、由單純到綜合的發展過程，呈現出一定的層次序列形式。皮亞杰認知發展階段理論提出，兒童認知發展可以分為四個階段：感知運算階段、前運算階段、具體運算階段、形式運算階段。認知發展的四個階段就是一種規律，是按照固定的連續性的順序，一個一個出現的，某一個階段不能得到正常的發展，就會影響下一階段的發展。加涅在20世紀60年代初期提出了“學習階層”概念，指出學習活動有其合理的次序存在，較簡單的學習為較復雜的學習預備條件。數學概念、原理原則及運算技巧等的學習，均有一定的先后排列及學習階層順序[2]。教師的教學要順應學生的認知規律，把握好學生認知的序列與節奏，才能做到“以學定教”“順學而教”。

（三）教師對教學過程的“序進”應用不力，致使“一致性”缺失

教學是“教師引起、維持或促進學生學習的所有行為”[3]。這些“所有行為”都是為了達成預定的教學目標，實現學生多維的發展。而目標是否達成需要教學評價來檢驗，因此，教學過程需要關注目標、教學、評價之間的一致性。教學時，教學目標要關聯教學內容本質，要關注學生數學學科素養的發展;學習（評價）任務的設計要指向教學目標，要著眼于學生的“最近發展區”，要有適度的挑戰性，利于調動學生的學習積極性、主動性、參與性;教學評價要融入教學過程，要基于學生的學習證據，利于檢驗教學目標的達成度。

三、“序進教學”的意義

（一）“序進教學”遵從兒童立場，構筑具有適切性的數學教學

“教育應站在兒童的立場上?！盵4]無論是皮亞杰的“認知發展階段”理論、維果茨基的“最近發展區”理論，還是范希爾的“幾何思維水平”理論，都表明了兒童學習數學是循序漸進的。“序進教學”主張“探索學生的認知規律”，即遵從兒童立場，從兒童視角出發。首先是找準學生學習的現實起點，分析學生的現實起點與教材的邏輯起點之間的匹配程度，從而明了學生現在“在哪兒”。其次，基于對教學知識內容的解讀，對學生的認知難點、認知沖突點，對教材內容的序與學生認知的序的一致性進行分析，呈現與學生認知結構相對應的知識結構，便于學生主動而有效地建構新知，從而構筑適合學生經歷知識“再發現”的數學課堂。

（二）“序進教學”融通各教學要素，構筑具有一致性的數學教學

“教、學、評一致性”是檢驗教學是否有效的重要指標?！靶蜻M教學”主張教學目標、知識內容、認知規律、教學過程是數學教學的關鍵要素，教學目標指向的是“為什么教”，知識內容指向的是“教什么”，認知規律指向的是“怎么學”，教學過程指向的是“怎么教”。這四個要素并不是孤立存在的，而是相輔相成的。基于知識內容和學生認知制定出的教學目標才具有合理性和適切性，當教學目標、知識結構、學生認知保持一致時，才能設計出適合學生學習的教學過程?！靶蜻M教學”通過深入分析這些要素的內在邏輯與層次，從“教、學、評”一致性的視角進行內容整合、結構優化，保證教學組織的連貫性，促進教學的有效性。

（三）“序進教學”促進教學相長，構筑具有發展性的數學教學

常規的教學研究，普遍只對教材內容及教學過程做點狀研究，而缺少各要素的整合研究?！靶蜻M教學”指向教學目標、教材內容、學生認知、教學過程等諸多教學要素的“序”的整體性研究，使教師形成結構化的研究視角、系統化的思維方式，確立了教學的目標意識，提升了教師解讀教材的能力，強化了對學生認知的研究，優化了教學過程的組織，必然能提高課堂教學的效率，促進學生的發展。正如馬立平在《小學數學的掌握和教學》一書中指出的，對數學基礎知識有深刻理解的教師，總是傾向于在數學概念和方法間建立聯系，從單獨的知識點的簡單、淺表的聯系，到不同運算和子領域的復雜、潛在的聯系。在這種聯系的過程中，學生學到的是整體的知識[5]。

四、“序進教學”的實施路徑

（一）立序：依據兒童的數學學習

“立序”是對教學目標、教材內容、學生認知的序列化研究。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把“了解”“理解”“掌握”“運用”作為一類描述結果目標的行為動詞?！傲私狻笔侵父鶕ο蟮奶卣鳎瑥木唧w情境中辨認或者舉例說明對象，但“了解”不等于“理解”?！袄斫狻敝赶蛑R本質，是學生探索事實意義的結果?！罢莆铡焙汀斑\用”須以理解為基礎，反過來，“掌握”和“運用”又能促進學生對數學知識本質的理解?！傲私狻薄袄斫狻薄罢莆铡薄斑\用”指向教學目標的四個維度。因此，一節課的教學目標的制定首先是一個目標分類的過程。教師應明確教學內容哪些指向“了解”、哪些指向“理解”、哪里指向“掌握”或者“運用”，再根據學習目標對教材內容進行必要的加工、改造。如蘇教版小學數學二年級上冊“認識厘米”一課，從數學知識的維度看，“厘米”屬于一個數學概念;從學生的認知過程看，認識厘米的目標指向是“理解”。因此，教學目標要圍繞“學習需要的產生、正確理解1厘米的長度概念、學會度量的方法”設定。

布魯納認為，知識是由概念、命題、基本原理及其彼此之間的相互聯系組成的。這就是知識結構，促使認知發展的學習應該以“學科知識結構”為主要任務，以幫助學生在知識的整體與局部、本質與現象的聯系之中掌握知識[6]。這就需要教師解讀教材內容的序列，包括同一知識點在各學段的編排特點和相應的“課標”要求，明確這一知識在整個單元體系中的地位、作用和價值，以及知識本身產生、生長、形成的過程。如“認識厘米”是度量單位的教學的“種子課”，教材編排的序列是“度量單位的產生的需要及統一度量單位的必要性，建立度量單位的正確的直觀表象，會用度量的個數來表示度量的結果”。這與面積單位、體積單位等其他度量單位的教材編排序列是相似的。

學生學習數學，要理解概念，掌握規則，運用規則，進行記憶、分析、綜合、比較、推理、抽象等有目的數學活動。這些數學學習的外顯行為主要依賴于學生的感性經驗、已有知識、認知結構等內隱因素。教師要基于知識內容對學生的認知特點進行分析，思考學生對此內容有無相關的生活經驗、已有了怎樣的知識儲備、認知困難在哪里、教材的內容結構與學生的認知結構是否匹配等。如“認識厘米”一課，學生在先前的學習中已經學習過“比長短”，對長短的概念有了初步的認識。在實際的生活中，學生對測量和測量工具有一些感性的認識，這些都是學生學習厘米的認知基礎，但對于厘米這一長度單位的認識是不完整、不系統的。理解“為什么要認識厘米”“如何建立1厘米的長度概念”“用厘米作為單位測量的本質是什么”，不僅是學生掌握度量單位的認知過程，而且對應了教材的編排序列。

基于以上分析，“認識厘米”一課的教學序列主要有以下四個：創設情境，引發學生產生運用度量單位的需要;用不同的工具測量同一物體的長度，引發統一單位的需要;通過數學活動充分建構1厘米的正確表象;在具體的測量過程中發現“度量的個數表示度量的結果”。

（二）變序：順應兒童的數學學習

“變序”是讓知識內容的學習更適合學生認知的序列。

數學教材是按一定的邏輯結構編排的，具有較強的系統性、抽象性、封閉性，教材的單元或者課時進度對應了教材編排的邏輯起點。邏輯起點基本是以固定的方式存在的，而現實起點則因學生個體經歷、經驗、已有知識等方面的差異而各不相同。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式教學和因材施教。當教材的邏輯起點與學生的現實起點不一致時，需要教師“變序”。教師可以通過“前測”了解學生的現實起點，并以此確定教學的起點。如教師通過蘇教版小學數學五年級上冊“小數的意義和讀寫方法”一課的“學情前測”發現，全班45個學生，只有2個學生對小數的讀寫有誤，但從訪談中發現，絕大部分學生并不理解小數的意義。因此，教師教學時要提高學生的學習起點，把更多的時間和精力放在小數的產生過程和意義理解上。

教學不是師生單向輸出和輸入的過程。怎樣教學才能維持和促進學生主動學習？這需要教師提供序列化的材料和組織循序漸進的教學過程。數學教材內容本身是按一定邏輯結構編排的，是靜態呈現的客觀事實。但教材的固有邏輯不一定對應學生的認知結構，教學內容也不一定能夠成為學生直接的學習對象。這時，需要教師對教學內容進行變序。如蘇教版小學數學四年級下冊“加法交換律和結合律”一課，教材安排了兩個例題，例1是加法交換律，例2是加法結合律，這樣的編排體現了數學知識的邏輯性。但從學生的學習需要看，在研究完加法交換律之后，學生會想：在其他的運算中也有交換律嗎？從學生的學習過程看，學生主要是通過列舉大量實例，用不完全歸納法探索加法交換律，從而發現“任意兩個數相加，交換它們的位置，和不變”。用同樣的方法去研究減法、乘法、除法中是否也有交換律更具遷移性，一是同樣探究兩個數之間的關系，二是都需要用不完全歸納法。由此可見，將加法交換律與乘法結合律作為同一課的編排更符合學生認知的序列。

（三）進序：服從兒童的數學學習

“進序”指向的是教學過程的合理組織。

對一個完整的教學過程來說，“序”與“進”是互相聯系、互相制約、互相促進、協調發展的統一體。“序”是制約“進”的前提條件，背離了客觀存在的“序”，就談不上有效的“進”?！斑M”是在符合“序”的要求的基礎上實現的，越是合理的“序”，就越能保證學習質量，節約學習時間，加快學習速度，提高學習效率。從數學教材的特點看，絕大多數的教材內容不僅體現了數學知識本身的邏輯性，還指明了學生認知的規律。如“問題解決策略”是蘇教版小學數學的特色內容，有關解決問題的策略的教學，教材的編排結構體現了以下四個序列：“弄清題意（已知條件和未知條件）—擬定計劃（怎么想，準備用什么方法解決）—實施計劃（列式解答）—回顧反思（總結提煉，方法結構化）”，這也是學生解決問題的基本程序，教學過程的組織也應按此序列逐層進階。因此，“教師要把教材提供的邏輯順序轉變為數學活動順序，并結合學生的數學思維活動進程，安排恰當的數學課堂教學情境，以使課堂教學活動適合學生的認識發生規律”[7]。

“序”包含著學習內容的邏輯順序、學習者智能發展的順序，以及學習者的認識順序?！靶颉睕Q定了教學的步驟、學生學習的程序。“進”是指教學的進度與節奏，而教學進度與節奏的快慢取決于學生的學習速度和掌握程度，這就需要教師“以學定教”。例如教學蘇教版小學數學六年級上冊“百分數的認識”時，教師主要預設了四個教學序列。序列一是“解決如何比較三位選手的投籃成績（需要）”，序列二是“歸納得出百分數的意義（理解）”，序列三是“說一說生活中的百分數（應用）”，序列四是“百分數與分數的比較（聯系）”。但實際教學中發現，學生經歷了“序列一”的過程之后，并不能順利地歸納出百分數的意義，導致教師直接給出結論的情況比較多。究其原因是學生只經歷了“如何比較三位選手的投籃成績”學習過程，對百分數的意義感受還不深刻?？梢酝ㄟ^增加生活實例進行分析，加強學生的過程體驗，當學生充分感知后，概念的得出自然也水到渠成，而不是急于“進序”。

（四）優序：提升兒童的數學學習

“優序”是指在實踐、反思的基礎上改進教學序列，優化教學過程。

“立序”“變序”指向教學設計，“進序”指向教學實施。教學沒有最好，只有更好，教學實踐既是對教學預設的檢驗，又是教師研究與反思的最好載體。教師可以通過自我觀察，或者借助教研團隊進行課堂觀察，對教學目標、教材內容、學生學習過程、教學組織的序列進行診斷、分析與評價;通過思考怎樣的知識序列更符合學生的認知、學生的認識難點在哪里、如何組織教學序列更有效等，改進教學設計，優化教學序列，促進學生的數學學習。例如蘇教版小學數學四年級下冊“解決問題的策略（畫圖）”一課，教師按“弄清題意—擬定計劃—實施計劃—回顧反思”四個序列組織教學。首先教師出示例題“小春和小寧共有72枚郵票，小春比小寧多12枚郵票，兩人各有郵票多少枚？”在引導學生弄清題意后，教師要求學生把題中的條件和問題用畫圖的方式表示出來，結果全班只有個別學生能夠較完整地畫出線段圖。盡管學生在之前的學習過程中已經對線段圖等畫圖的策略有過接觸，但沒有獨立完整地畫過線段圖，教師提出的要求超過了學生的最近發展區，學生無法“跳一跳，摘到桃”。教師反思后進行了“優序”，在學生分析題意后，先出示一條線段，提問學生：“這一線段表示的是小寧的郵票，你能把題目中的條件和問題用線段圖表示出來嗎？”有了“腳手架”，絕大多數學生能夠獨立完成了。

“立序”“變序”“進序”“優序”是循序漸進的具體落實，是推進教學由低到高、由易到難、由淺入深的循序發展過程，是促進學生有效地掌握系統知識、發展數學學科素養的過程。

當然，從數學學習的發展過程看，數學學習是將生活常識經過提煉和組織，凝聚成一定的法則。這些法則在高一層次里又成為常識，經過再一次提煉、組織，凝聚成新的法則，如此循環上升。這實質上也是一個“序進”的過程，同樣需要教師遵循“序進”的原則，促進學生更好地實現數學發展。

參考文獻：

[1]鄒珊剛，黃麟雛.系統科學[M].上海：上海人民出版社，1987：102.

[2]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：115.

[3]崔允漷.有效教學[M].上海：華東師范大學出版社，2009：20.

[4]成尚榮.兒童立場：教育從這兒出發[J].人民教育，2007（23）：6.

[5]鄭毓信.小學數學教育的理論與實踐[M].上海：華東師范大學出版社，2017：25-26.

[6]高文，徐斌艷.建構主義教育研究[M].北京：教育科學出版社，2008：12.

[7]章建躍.數學教育隨想錄（上卷）[M].杭州：浙江教育出版社， 2019：187.

責任編輯：丁偉紅