理解、轉(zhuǎn)化、建構(gòu)

來曉春

【摘? ?要】數(shù)學(xué)語言是由數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語和經(jīng)過改造的自然語言組成的科學(xué)語言。“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，所以數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)應(yīng)該是所有數(shù)學(xué)教育者的關(guān)注點。在教學(xué)中，教師可以借助情境設(shè)置、體驗經(jīng)歷、模型建構(gòu)等策略，幫助學(xué)生理解、轉(zhuǎn)化、建構(gòu)數(shù)學(xué)語言。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)語言;核心素養(yǎng);發(fā)展

數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)教學(xué)、研究應(yīng)用有著緊密的關(guān)系。數(shù)學(xué)是人們與世界進行溝通的主要橋梁之一，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言對于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)有著重要價值。數(shù)學(xué)語言可以通過符號、圖形、文字等表現(xiàn)形式將復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)內(nèi)涵、運算過程等表達出來，不同形式的數(shù)學(xué)語言具有不同的優(yōu)勢。

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體。數(shù)學(xué)抽象需要通過數(shù)學(xué)語言表現(xiàn)出來，各種數(shù)量關(guān)系也需要通過數(shù)學(xué)語言表達出來。在問題的思考、解決過程中，首先需要借助數(shù)學(xué)語言來反映各種數(shù)學(xué)原理和意義，然后建立解決問題的模型。在數(shù)學(xué)語言初步發(fā)展的小學(xué)階段，有必要圍繞教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言素養(yǎng)進行探索。

一、設(shè)置情境，促進數(shù)學(xué)語言理解

學(xué)生在正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之前，很難用簡潔、標準的語言去表達生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)關(guān)系。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)初始，教師要創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生現(xiàn)實生活的情境，或用數(shù)形結(jié)合的方式幫助學(xué)生慢慢學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)表達方式，掌握數(shù)學(xué)表達工具，逐步提升數(shù)學(xué)語言的表達能力。

（一）創(chuàng)設(shè)生活情境，感知數(shù)學(xué)語言

初入學(xué)校學(xué)習(xí)的小學(xué)生在很多方面并不是一張白紙，他們在生活中已積累一定的表達經(jīng)驗，也能用自己的生活語言表達各種現(xiàn)象和關(guān)系。因此在教學(xué)中，可以設(shè)置貼近學(xué)生生活的情境，喚起學(xué)生的經(jīng)驗，使學(xué)生在生活語言的表達中，感悟意思相同但形式不同的數(shù)學(xué)語言，在不知不覺中接納新語言。

【案例1】人教版教材一年級上冊“解決問題”

教師出示教材第97頁例5圖片，并提問：請同學(xué)們仔細觀察，你們找到了哪些信息？

生：男生有9人，女生有6人。

生：前排有7人，后排有8人。

生：要求計算一共有多少小朋友在表演。

師：根據(jù)你們的發(fā)現(xiàn)，能列算式解決這個問題嗎？

生：9+6=15（人）。

生：7+8=15（人）。

師：你們能不能用畫圖的方式來解釋自己的計算方法？

（學(xué)生操作）

教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察情境，口頭表達圖片的內(nèi)容，然后用9+6和7+8介紹問題解決的兩種思路，用算式解釋他們觀察和思考的角度。之后，教師又通過追問“能不能用畫圖的方式來解釋自己的計算方法”，引導(dǎo)學(xué)生進行多樣的表達。學(xué)生有的用人形圖，有的用三角形、圓形、正方形替代小朋友……在這個過程中，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既可以根據(jù)具體的情境列出算式，即抽象出計算方法，也可以根據(jù)抽象的算式用圖形表達算式的意義，還可以借助圖形進一步表達“拆小數(shù)、補大數(shù)”等湊整計算思路。學(xué)生不僅學(xué)會用規(guī)范的語言文字表達算式的意思，也學(xué)會用圖形、符號表達自己的理解，這為學(xué)生數(shù)學(xué)語言的提升奠定了堅實的基礎(chǔ)。

（二）數(shù)形結(jié)合，理解數(shù)學(xué)語言

我們通常所說的數(shù)形結(jié)合，其實就是讓學(xué)生借助圖形和符號這兩種不同的數(shù)學(xué)語言進一步理解概念或者規(guī)律。常見的辦法是用學(xué)生比較熟悉的物體和圖形，幫助他們逐步理解一些抽象的數(shù)和關(guān)系，或者把抽象的數(shù)和關(guān)系用圖形表示出來，讓學(xué)生在數(shù)和形之間建立有效聯(lián)系，理解多樣的數(shù)學(xué)語言表達方式。

【案例2】人教版教材二年級上冊“乘法的初步認識”

教師出示教材第48頁例2圖片，并提問：同學(xué)們，請觀察圖上的信息，你想到用哪些方法來解決這個問題？

生：我想到用乘法，可以用3×5來計算。

生：我想到用加法，可以用5+5+5來計算。

生：我也想到用乘法，不過我用5×3來計算。

師：這些不同的方法之間有沒有相同的地方？

生：都是求3個5的和是多少。

師（小結(jié)）：是的。雖然算式不同，但它們背后的道理都是一樣的。（借助課件再次回顧算理）

教師出示算式6×4并提問：你能用畫圖來表示這個算式的意思嗎？

（學(xué)生畫圖，之后交流展示）

在學(xué)生能夠借助圖形理解算式的意義并能用算式來表示后，教師進行逆向設(shè)計，出示6×4，請學(xué)生用畫圖來表示。學(xué)生用畫圖表示算式意義的過程就是再一次豐富對乘法意義理解的過程。在這樣的過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)語言更加熟悉，對數(shù)學(xué)語言表達的工具更加了解。這一過程就是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”的過程。

二、借助體驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化

對于不同數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化，教師要給學(xué)生提供充足的時間去經(jīng)歷和體驗，以積累運用不同語言表達同一事物或者同一意義的經(jīng)驗。教師可以通過設(shè)計有趣的活動，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，促使學(xué)生用不同的方式表達理解，在活動中積累、感悟數(shù)學(xué)語言，并在不同的數(shù)學(xué)語言之間主動求聯(lián)。

（一）任務(wù)驅(qū)動，表達數(shù)學(xué)語言

任務(wù)驅(qū)動最主要的特征就是為學(xué)生提供體驗實踐和感悟問題的情境，教師通過設(shè)置合理的任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生學(xué)習(xí)。學(xué)生往往會主動調(diào)用自身知識存儲來解決問題，并用精準的語言進行表達。這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)語言所追求的理想狀態(tài)。

【案例3】人教版教材五年級上冊“平面圖形面積復(fù)習(xí)”

教師出示圖1，請學(xué)生計算這些圖形的面積。學(xué)生快速口答后，教師追問：你們怎么能算得這么快？

我們通常提倡在復(fù)習(xí)課始，以具體的、有思考性的任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生進入學(xué)習(xí)狀態(tài)，這節(jié)課也不例外。以幾次簡單的圖形面積計算迅速喚醒學(xué)生的原有知識儲備，讓學(xué)生在反饋計算結(jié)果的過程中表達長方形、平行四邊形、三角形和梯形的計算方法，為學(xué)生數(shù)學(xué)語言的發(fā)展提供機會。學(xué)生有的用語言文字表達，有的用符號公式表達，將文字語言和符號語言建立起對應(yīng)關(guān)系。任務(wù)驅(qū)動，不僅可以在不知不覺中喚起學(xué)生對知識的回顧，還可以讓學(xué)生主動用不同語言對應(yīng)同一知識。

（二）合作討論，轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言

在日常教學(xué)中，學(xué)生或根據(jù)要求使用某種數(shù)學(xué)語言進行表達，或根據(jù)自己的喜好進行表達，但要切實提升學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力，還需要教師在教學(xué)中多安排有任務(wù)的合作討論，以此促進學(xué)生樹立數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化的意識。如在異質(zhì)的小組合作學(xué)習(xí)中，面對同一問題，組內(nèi)常常會出現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)語言表達方式。學(xué)生在相對放松的探討環(huán)境中，對不同的數(shù)學(xué)語言表達自主地進行分析思考，自覺地進行不同語言之間的求聯(lián)比較。

【案例4】人教版教材四年級上冊“尋找寶藏實踐活動”

“尋找寶藏實踐活動”共分三個環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：在教師的引導(dǎo)下，用已經(jīng)學(xué)過的方位知識在教室里“尋寶”。第二環(huán)節(jié)：采用小組合作探究的形式，在會場內(nèi)“尋寶”。第三環(huán)節(jié)：同樣采用小組合作探究的形式，到校園里“尋寶”。以下內(nèi)容選自該課的第二環(huán)節(jié)。

教師在大屏幕上出示提示內(nèi)容（如圖2），并提出活動要求：請你根據(jù)錦囊中提供的線索尋找寶物。學(xué)生先在小組內(nèi)討論交流“尋寶”的方法，然后兩人一組到會場中“尋找寶物”，最后教師請學(xué)生分別在組內(nèi)及班內(nèi)介紹自己的尋寶過程。

學(xué)生根據(jù)方位提示，首先需要共同商討寶物可能會在哪里，并利用文字語言進行轉(zhuǎn)換、推理與判斷。接著需要去指定地點尋找寶物，把圖表文字轉(zhuǎn)化成真實的尋寶過程。最后需要運用方位語言對尋寶過程進行介紹。這個活動讓學(xué)生不斷在文字語言、方位語言、生活語言之間進行自主轉(zhuǎn)換，在空間觀念發(fā)展的同時，提高了數(shù)學(xué)語言表達能力。

三、依托建構(gòu)，增強數(shù)學(xué)語言應(yīng)用

（一）模型建構(gòu)，抽象數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。教師要善于設(shè)置生活場景，引導(dǎo)學(xué)生在生活場景中觀察、思考、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，用不同的數(shù)學(xué)語言表達問題解決過程中的思維，并通過不斷抽象，用簡潔的數(shù)學(xué)語言建構(gòu)解決問題的模型。

【案例5】人教版教材四年級下冊“解決兩積之和問題”

教師出示問題，學(xué)生獨立解決后，教師在屏幕上呈現(xiàn)問題解決的過程、結(jié)果以及每一道題目中的數(shù)量關(guān)系（如圖3）。

師：剛才解決了這些問題，誰能說說你是怎么思考的？

生：買蘋果的錢+買梨的錢就是一共的價錢。

生：師傅加工的零件+徒弟加工的零件就是一共的零件。

生：小明行的路程+小紅行的路程就是兩家相距的路程。

生：紅長方形的面積+黃長方形的面積就是總面積。

師：這些方法之間有沒有什么相同的地方？同桌可以交流一下。

生：它們都是先算乘法，再算加法。

生：它們都是把兩部分加起來。

生：它們都是先算出兩個數(shù)的積，再算兩個數(shù)的和。

生：這幾道題都可以寫成a×b+c×d=n的形式。

……

師：像這樣先算兩個數(shù)的積，再求和的問題，我們稱之為兩積之和問題。

在上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了兩次模型建構(gòu)的過程。首先是針對四道不同類型的問題，學(xué)生用算式將自己的思維過程表達出來。其次是當四類問題的結(jié)構(gòu)都分別提煉表達之后，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找它們之間的共性，鼓勵學(xué)生繼續(xù)建構(gòu)“兩積之和”模型。建模的過程本身就是逐步抽象的過程，當學(xué)生能夠用a×b+c×d=n這樣的數(shù)學(xué)語言建立問題的模型結(jié)構(gòu)時，其對兩積之和問題本質(zhì)的理解以及數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用水平都已經(jīng)達到一個新的高度。

（二）模型應(yīng)用，互譯數(shù)學(xué)語言

美國數(shù)學(xué)家Sylvester曾說過，“數(shù)學(xué)就像音樂一樣，要想彈奏出完美的樂曲需要運用不同的音樂符號，而數(shù)學(xué)思維就是運用數(shù)學(xué)符號組成的數(shù)學(xué)語言，這些數(shù)學(xué)符號可以是流傳至今的，也可以是后人重新定義的”。因此，教師不僅要在模型建構(gòu)過程中讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化關(guān)系，也可以在模型應(yīng)用的過程中讓學(xué)生感悟由不同數(shù)學(xué)符號組成的數(shù)學(xué)語言所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維之美。

【案例6】人教版教材三年級上冊“用乘除法解決問題”

教師出示圖4，并提問：請同學(xué)們觀察一下，這兩種方法有什么相同或不同的地方？

生：一個用乘法，一個用除法。

生：一個用一格大小乘幾格求總數(shù)，另一個用總數(shù)除以一格大小求格數(shù)。

……

（課件移動，把正方形圖落下來變成線段圖，如圖5）

師：請你們想一想，這里的一格還可以表示什么？

生：一支鋼筆的價格。

生：一包牛奶的價格。

……

師：你們能根據(jù)這兩幅圖來編寫兩道題目嗎？

（學(xué)生編題）

教師首先讓學(xué)生根據(jù)圖4的要求對圖形進行說理、推理，逐漸抽象出“先求一格大小，再求幾格大小”的模型，通過遷移學(xué)習(xí)再得到“先求一格大小，再求有幾格”的模型。接著引導(dǎo)學(xué)生想象，每一格可以表示怎樣的每份數(shù)，不斷豐富每份數(shù)的表征，直至將圖形表達的關(guān)系抽象成圖5中的文字表述，并嘗試讓學(xué)生進行編題，從而有效遷移應(yīng)用模型。通過這樣的拓展練習(xí)，學(xué)生找到了圖式模型背后的數(shù)量關(guān)系，并用不同情境的語言表述這類問題，從而真正掌握了這類問題的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)語言不僅是認識世界、表達對世界理解的重要工具，更是課堂中師生對話溝通的載體。當學(xué)生能用數(shù)學(xué)語言來表達自己思維、理解不同數(shù)學(xué)語言之間妙處的時候，思維的碰撞就如同完美樂曲的彈奏。當然，這樣的期盼有待于我們在日常課堂中研究落實。

（浙江省杭州市高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)濱江教育研究院 310053）