基于深度學習優(yōu)化概念教學

【摘 要】 針對高中數(shù)學概念的抽象性，教師通過深度教學，促使學生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，牢固掌握概念，靈活運用概念，指引學生從“淺層學習”走向“深度學習”.以滬教版新教材“事件的獨立性”為例，闡述基于深度學習如何優(yōu)化數(shù)學概念教學.

【關(guān)鍵詞】 深度學習;概念教學;事件的獨立性

1 深度學習對高中數(shù)學概念教學的意義

數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反應形式，是數(shù)學知識的“細胞”.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出：通過高中數(shù)學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）;提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1].章建躍指出：數(shù)學教學的本質(zhì)是概念教學，讓學生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習慣;加強概念的聯(lián)系性，使學生學會從概念的聯(lián)系中尋找解題方法[2]. 因此概念教學是學生落實“四基”，提高“四能”的基礎(chǔ)，是提升數(shù)學思想、發(fā)展數(shù)學思維、落實核心素養(yǎng)的基石.

“深度學習”是指“學習者能動地參與教學的總稱”，即通過學習者能動地學習，培育囊括了認知性、倫理性、社會性能力，以及教養(yǎng)、知識、體驗在內(nèi)的通用能力[3].針對高中大部分數(shù)學概念的抽象性，教師通過深度教學，促使學生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，牢固掌握概念，靈活運用概念，進而學生的學習從“淺層學習”走向“深度學習”.通過教師深度教學，學生深度參與課堂活動，使學生將既有知識與經(jīng)驗鏈接起來.關(guān)注邏輯與推理，發(fā)展批判性思維，變被動學習為主動學習，促進核心素養(yǎng)的落實.

基于高中數(shù)學概念的抽象性，教師需要深度研究課標、教材與學情，創(chuàng)設(shè)合適的情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握概念的本質(zhì).以下是筆者整理的概念教學設(shè)計的一般流程圖（見圖1），可以為一線教師的實踐探索提供有價值的、可參考借鑒的范式.

2 借助情景教學促進數(shù)學概念的深度學習

在理論的指導下，結(jié)合教學實踐，以滬教版新教材中“事件的獨立性”為例，闡述如何借助情景優(yōu)化概念教學，促進深度學習.2.1 教材及學情分析

本節(jié)課是滬教版新教材必修三“概率初步”中“隨機事件的獨立性”的第二課時，主要內(nèi)容是事件的獨立性.本章是概率的初步，借助實際情景，讓學生深刻理解如何用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的語言表達世界、用數(shù)學的思維思考世界.本節(jié)課在學生掌握了隨機現(xiàn)象與樣本空間、古典概率、頻率與概率的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷用集合語言表示事件的過程，進一步研究事件的獨立性，將直覺與理論緊密結(jié)合，逐步理解概率的思想，重視對概率空間的認識，重視數(shù)學模型的建立.依據(jù)學生的認知特點，遵循從具體到抽象、從特殊到一般的認知規(guī)律，借助古典概型定義下的概率，得到相互獨立的兩個事件的概率與交事件概率間的關(guān)系，并為后面條件概率和二項分布的學習奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課的授課對象是高二美術(shù)班學生，他們大部分學習積極努力、態(tài)度端正、想象力豐富，但是數(shù)學基礎(chǔ)比較薄弱，思維方式較固定，對概率的學習有畏懼感，這些都可能對本節(jié)課的教學產(chǎn)生影響. 2.2 教學目標

（1）理解事件獨立的定義，并能運用兩個事件相互獨立的充要條件判斷兩個事件是否獨立;

（2）掌握隨機事件獨立的性質(zhì)，會利用事件的獨立性解決較復雜的概率問題，感受事件的獨立性在實際生活中的應用;

（3）通過本節(jié)課的學習，滲透分類思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想，培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納的能力，提升分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng).2.3 教學過程2.3.1 情景建模 復習舊知問題1 拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，用A，B分別表示事件“甲正面朝上”與“乙正面朝上”，試判斷：1.事件A與B獨立嗎？2.試求甲乙都是正面朝上的概率.

師：我準備了兩枚硬幣，現(xiàn)在請同學甲、乙分別拋擲這兩枚硬幣，感受事件A與B獨立嗎？

生1：通過兩位同學的演示，可直觀感知事件A與B獨立.

生2：從概率的角度來看，通過兩個事件獨立的定義去判斷，若P（A∩B）=P（A）P（B），則事件A與B相互獨立.P（A）=12，P（B）=12，而P（A∩B）=14，所以事件A與B相互獨立.師：大家能否回憶一下我們上節(jié)課所學的獨立隨機事件的定義？

生3：兩個事件A與B相互獨立是指它們同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生概率的乘積，即P（A∩B）=P（A）P（B）.

師：判斷兩個事件獨立的充要條件是什么？

生4：事件A與B（相互）獨立P（A∩B）=P（A）P（B）.

師：回憶如果事件A與B獨立，則事件與B什么關(guān)系？事件A與呢？事件與呢？

生5：如果事件A與B相互獨立，則事件與B相互獨立;同理可知事件A與相互獨立，事件與相互也獨立.

問題2 如果A，B是獨立事件，，分別是A，B的對立事件，那么以下等式不一定成立的是（? ）.

A.P（A∩B）=P（A）P（B）B.P（∩B）=P（）P（B）

C.P（A∪B）=P（A）+P（B）D.P（∩）=[1-P（A）][1-P（B）]

生6：如果事件A與B獨立，則事件與B獨立;事件A與獨立，事件與也獨立，利用兩個事件獨立的充要條件即可判斷選項A，B，D正確，而選項C是兩個事件互斥的性質(zhì).設(shè)計意圖 通過熟悉的獨立隨機事件，直觀感知事件A與B是獨立的，而需要嚴謹?shù)呐袛啵仨毻ㄟ^事件獨立的定義，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.教師引導，學生復習回憶上節(jié)課所學的知識，并通過問題1、2讓學生加深理解兩個事件獨立的充要條件、對立事件的性質(zhì)、互斥事件的性質(zhì)、事件獨立性的性質(zhì).滲透類比思想，提升邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng).2.3.2 概念辨析 深度研究

例1 判斷下列事件A與B是否相互獨立？

（1）從一副去掉大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張牌，用A，B分別表示事件“取得的牌面數(shù)是10”與“取得的牌的花色是紅桃”;

生7：該題無法直觀感知兩個事件是否相互獨立，只能嚴格依據(jù)事件獨立性的充要條件去判斷.P（A）=452=113，P（B）=1352=14，而P（A∩B）=152，所以A，B相互獨立.

（2）擲一顆骰子，用A，B分別表示事件“結(jié)果是偶數(shù)”“結(jié)果是奇數(shù)”;

生8：事件A與B不可能同時發(fā)生，P（A∩B）=0，而P（A）=12，P（B）=12，因此P（A∩B）≠P（A）P（B），所以A與B不獨立.

問題3 P（A∩B）=0，事件A與B是什么關(guān)系？互斥事件與對立事件一樣嗎？互斥事件與獨立事件一樣嗎？

生9：P（A∩B）=0，所以事件A與B是互斥的.該問題中的事件A與B不僅是互斥事件還是對立事件.互斥事件與對立事件、互斥事件與獨立事件是完全不同的概念.

問題4 互斥事件與獨立事件在哪些方面不同？

生10：從定義來看：互斥事件是兩個不可能同時發(fā)生的事件，而獨立事件是指事件A是否發(fā)生不受事件B的影響;從性質(zhì)來看：事件A與B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），事件A與B相互獨立，則P（A∩B）=P（A）P（B）.

（3）擲一顆骰子，事件A表示“結(jié)果是2”，事件B表示“結(jié)果是有理數(shù)”;

生11：P（A）=16，P（B）=1，P（A∩B）=16，則P（A∩B）=P（A）P（B），所以A，B相互獨立.問題5 P（B）=1，事件B是什么事件？

眾生：事件B為必然事件.

（4）擲一顆骰子，事件A表示“結(jié)果是奇數(shù)”，事件B表示“結(jié)果是虛數(shù)”.

生12：P（A）=12，P（B）=0，P（A∩B）=0，則P（A∩B）=P（A）P（B），所以A，B相互獨立.

問題6 P（B）=0，事件B是什么事件？

眾生：事件B為不可能事件.

問題7 依據(jù)上面的兩題，能否猜想出必然事件和不可能事件與其他事件的關(guān)系？

生13：必然事件Ω和不可能事件與任何事件都是相互獨立的.設(shè)事件A為任意事件，因為Ω∩A=A，P（Ω）=1，所以P（Ω∩A）=P（A）=1·P（A）=P（Ω）P（A），即事件A與Ω獨立，同理可知不可能事件與任何事件也獨立.

問題8 你能舉出生活中有關(guān)事件相互獨立的例子嗎？

眾生討論，選代表回答.

代表1：學生甲與學生乙能否考上大學相互獨立;考生的英語成績與數(shù)學成績相互獨立;學生甲與乙是否遲到相互獨立等.設(shè)計意圖 借助生活中的例子，加強概率與實際生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價現(xiàn)實中的事件是否相互獨立，設(shè)計一連串層層遞進的問題，激發(fā)學生學習的興趣與參與度.問題8讓學生舉出生活中獨立性的例子，體會獨立性的意義，培養(yǎng)實事求是的科學態(tài)度，同時增加學生間的交流合作，感受團隊合作的重要性，讓學生真正參與到課堂中.2.3.3 概念深化類比推廣

問題9 甲、乙兩名同學同時做同一個實驗，甲成功的概率為0.8，乙成功的概率為0.9，甲和乙之間互不影響，求兩人都成功的概率.

問題10 甲、乙、丙三名同學同時做同一個實驗，甲成功的概率為0.8，乙成功的概率為0.9，丙成功的概率為0.7，甲、乙、丙之間互不影響. 請嘗試猜想三人都成功的概率.

生14：猜想甲、乙、丙三人都成功的概率是0.504.

探究1：兩個事件A與B相互獨立，則P（A∩B）=P（A）P（B）;如果三個事件A，B，C相互獨立，P（A），P（B），P（C）與P（A∩B∩C）是否有關(guān)系？如果三個事件A，B，C兩兩獨立，P（A），P（B），P（C）與P（A∩B∩C）是否有關(guān)系？

生15：類比事件A與B相互獨立P（A∩B）=P（A）P（B），可知如果三個事件A，B，C相互獨立，P（A∩B）=P（A）P（B），P（A∩C）=P（A）P（C），P（B∩C）=P（B）P（C），P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）.

生16：三個事件兩兩獨立，不一定有P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）.

師：兩位同學回答的非常棒，設(shè)樣本空間Ω={1，2，3，4}含有等可能的樣本點，A={1，2}，B={1，3}，C={1，4}，我們?nèi)菀椎玫絇（A∩B）=P（A）P（B），P（A∩C）=P（A）P（C），P（B∩C）=P（B）P（C），但P（A∩B∩C）≠P（A）P（B）P（C）.

探究2：如果n個事件A1，A2…An相互獨立，P（A1），P（A2）…P（An）與P（A1∩A2…∩An）是否有關(guān)系？

生17：類比推廣，如果n個事件A1，A2，…，An（n≥3）相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的乘積，即P（A1∩A2…∩An）=P（A1）P（A2）…P（An），且上式中任何一個或幾個事件Ai換成其對立事件Ai后等式仍然成立.

設(shè)計意圖 借助熟悉的學習生活中的問題，讓學生更加直觀感知獨立性在現(xiàn)實中的應用.由兩個事件的獨立性，大膽猜想三個事件相互獨立，會有怎樣的結(jié)論，更進一步猜想，如果n個事件相互獨立，會有怎樣的結(jié)論.通過具體的例子讓學生感知三個事件兩兩獨立與三個事件相互獨立是完全不同的，鼓勵學生大膽想象，積極主動發(fā)言，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力、語言表達能力，發(fā)展學生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維，同時滲透類比、特殊到一般的思想，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).2.3.4 概念應用明確外延

例2 甲、乙兩人的罰球投中率分別是p與q，兩人各投籃一次，求：

（1）都投中的概率;（2）都沒投中的概率;（3）至少一人投中的概率;（4）至多一人投中的概率.

師：設(shè)事件A為甲命中，事件B為乙命中，事件C為都命中，事件D為都沒命中，事件E為至少一人命中，事件F為至多一人命中，則

生18：P（C）=P（A）P（B）=pq，P（D）=P（）P（）=（1-p）（1-q）;

問題11 事件E包括哪些樣本點？事件F包括哪些樣本點？

生19：事件E=（∩B）∪（A∩）∪（A∩B），事件F=（∩B）∪

（A∩）∪（∩），而且這些事件互斥，所以滿足概率的加法公式.

生20：P（E）=P（∩B）+P（A∩）+P（A∩B）=（1-p）q+p（1-q）+pq.

P（F）=P（∩B）+P（A∩）+P（∩）=（1-p）q+p（1-q）+（1-p）（1-q）.

師：還有其他的解法嗎？大家有不同的做法可以通過投影展示出來.

生21（展示）：正難則反，所以可以用事件E，F(xiàn)的對立事件去求解，

=∩，=A∩B.

P（E）=1-P（∩）=1-P（）P（）=1-（1-P）（1-q）;

P（F）=1-P（A∩B）=1-P（A）P（B）=1-pq.

生22（展示）：老師，我還有一種解法，因為“至少一人投中”，所以E=A∪B，“A，B兩個事件至少有一個發(fā)生”的否定是“A與B都沒發(fā)生”，即A∪B=∩.

P（E）=P（A∪B）=1-P（A∪B）=1-P（A∩B）=1-（1-P）（1-q）.

師：這位同學的想法非常好，本章通過集合的觀點定義了隨機事件，將事件與集合相對應，借助已有的集合知識和語言，有利于同學們對概率的理解和掌握.在集合學習時，我們介紹過摩根定律，即A∪B=∩，A∩B=∪，這個定律同樣適用于概率論的學習.因為事件的關(guān)系就是樣本空間相應子集的關(guān)系，事件的運算就是相應子集的運算，兩者是相互對應的.

例3 A，B兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進行一場三局兩勝的比賽，最終勝者獲得100元獎金.第一局比賽A勝，后因為有其它要事而終止比賽.試問：怎么分100元獎金才公平？

師：大家討論一下如何分配獎金比較公平？歷史上許多的數(shù)學家都考慮過這個問題，比如費馬、帕斯卡等，并由此開啟了概率論的研究.

代表2：直觀感覺應該按四六分，因為感覺三七分不公平.

代表3：按最終獲勝的可能性大小比例分配.

師：我們從概率的角度研究怎么分獎金公平？看哪位代表回答的正確.

代表4：將每次比賽A獲勝記作事件A，B獲勝記作事件B，假設(shè)比賽可以繼續(xù)進行，該試驗的樣本空間通過枚舉法列出：Ω={AAA，AAB，ABA，ABB}，按照古典概型的概率計算公式可知，A最終獲勝的概率為34，B最終獲勝的概率為14，因此A，B兩人應該按3∶1來分.

代表5：在實際比賽中，如果A再贏一局，比賽結(jié)束.如果第二局A輸，再比第三局，這就不是古典概率模型，但由于比賽各局的勝負之間是獨立的，所以可以借助事件的獨立性解決.設(shè)A表示事件“A最終獲勝”，A1表示事件“接下去第一局A勝”;A2表示事件“接下去第二局A勝”，A=A1∪A1∩A2，所以P（A）=P（A1）+PA1∩A2=12+12×12=34.因此A，B兩人應該按3∶1來分.

設(shè)計意圖 通過綜合性題目，鞏固學生對事件獨立性概念的理解.例2中“至多至少問題”，需要學生有分類意識，同時讓學生深刻體會正難則反，利用對立事件的計算公式求解，為求解較復雜概率問題提供一個范例.例3解決本章第一節(jié)提出的兩位法國數(shù)學家對賭徒提出的分獎金問題的討論，是概率論的起源，滲透數(shù)學史的學習，學生通過自己的討論，總結(jié)不是古典概型問題如何借助事件的獨立性去解決.例題的學習滲透了分類的思想、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，提升學生邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng).

2.3.5 課堂練習檢測概念擲黑、白兩顆骰子.

（1）若用A，B分別表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”與“白色骰子的點數(shù)是1”，驗證A，B是獨立的;

（2）若用A，B分別表示事件“兩顆骰子的點數(shù)和為7”與“兩顆骰子中至少有一顆的點數(shù)是1”，驗證A，B不是獨立的.

設(shè)計意圖 考查在科學的情境下，學生能否正確判斷事件的獨立性，及時檢測數(shù)學概念的掌握情況，提升學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng).2.3.6 深度小結(jié)評價學習

本節(jié)課學到了哪些知識？用到了哪些數(shù)學思想？提升了哪些數(shù)學素養(yǎng)？

生23：知識：事件A與B相互獨立P（A∩B）=P（A）P（B）;如果事件A與B相互獨立，則事件與B相互獨立，事件A與相互獨立，事件與也相互獨立.

思想方法：特殊到一般的思想、分類思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想等.

核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等.

設(shè)計意圖 學生獨立總結(jié)有利于檢測是否掌握了本節(jié)的知識，是否理解本節(jié)課所用到的數(shù)學思想方法，有利于對本節(jié)知識的整體理解，提升學生歸納總結(jié)的能力，讓學生在做中學.

3 總結(jié)與反思

針對抽象的數(shù)學概念教學，教師設(shè)置基于學情和教材的問題串啟發(fā)學生獨立思考、合作學習并深入探究，讓學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，關(guān)注學生思維的發(fā)展過程.讓知識由靜態(tài)轉(zhuǎn)化成動態(tài)，由孤立轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)，激活學生對知識的深入理解和深度記憶，激發(fā)其深度學習的興趣，最終提升學生的學科核心素養(yǎng). 通過實踐與研究提煉出概念教學的范式（見圖2）.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 江錦志.深度學習視角下概念教學的問題設(shè)計研究[D].廈門：集美大學，2021.

[3] 佐藤學等.教育的再定義：教育變革展望叢書（第1卷）[M].東京：巖波書店，2016：216.

[4] 潘超.數(shù)學概念深度教學須“五理解”——以人教版“一次函數(shù)”為例[J].數(shù)學通報，2021，60（04）：2529.

作者簡介 徐利花（1986—），女，山西大同人，碩士研究生，中教一級;主要研究數(shù)學學科教學.