概率教材比較與單元教學設計分析

江蘇省高郵中學 (225600) 黃桂君

1.初、高中“統計與概率”的銜接

初中“統計與概率”的主要內容有：收集、整理和描述數據，包括簡單抽樣、整理調查數據、繪制統計圖表等；處理數據，包括計算平均數、中位數、眾數、方差等；從數據中提取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發生的概率.

高中必修第二冊在初中學過“統計與概率”知識的基礎上進一步學習“概率與統計”.從初中到高中，是一個統計(樣本估計總體等)→概率(簡單隨機事件的概率)到高中必修第二冊再統計→概率，然后到選擇性必修第三冊又進一步概率(隨機變量)→統計(案例：獨立性檢驗和相關性檢驗)的遞進式學習過程.承擔的主要育人任務是培養學生分析隨機現象的能力，學習數據分析(數學學科6個核心素養之一)的方法.

2.普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)概率教學要求

主題四——概率與統計.總計建議20課時.

通過本單元的學習，可以幫助學生結合具體實例，理解樣本點ωi、有限樣本空間Ω、隨機事件A等，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現象的認識和理解.

內容包括：(1)隨機事件與概率

①結合具體實例(拋擲硬幣、骰子，摸球、撲克牌等)，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系(參見案例12).了解隨機事件的包含、并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算.

②結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.

③通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則.

④結合實例，會用頻率估計概率.

(2)隨機事件的獨立性

結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義.結合古典概型，利用獨立性計算概率.

3.蘇教版新舊教材的比較

必修3(模塊)：隨機現象、隨機事件的概率，古典概型、幾何概型(不要了)，互斥事件、對立事件.

最大的不同是：用集合語言來刻畫事件：首次引入樣本空間Ω，樣本點ωi(i=1,2,…,n).隨機事件A,B(Ω的子集)等，Ω為必然事件，?為不可能事件.這樣比過去側重于文字表述簡單、更科學、規范.為用數學語言描述隨機現象和隨機事件提供了工具.獨立事件提前了，直接通過集合間的關系，具體的實例，由P(AB)=P(A)P(B)，給出事件A與B相互獨立，而不再如選修2-3專題中那樣通過有難度的“條件概率”，過渡得出獨立事件.“條件概率與全概率公式”放在選擇性必修中了.這樣的安排(調整)更符合實情，因為有許多問題已不知不覺的運用了獨立性概率的運算公式(乘法).

4.新教材必修第二冊蘇教版與人教版的比較

大單元的設計安排：都安排了3節.就第1節內容(小單元設計)而言，感覺蘇教版內容“少”了點，人教版內容似乎又“多”了些.

蘇教版 第15章 概率

15.1 隨機事件與樣本空間

15.2 隨機事件的概率

15.3 互斥事件和獨立事件

有關概念：確定性現象，隨機現象(初中的，人教版沒有特別提).隨機試驗(簡稱試驗).

樣本點ω，樣本空間Ω.隨機事件A(簡稱事件)，基本事件(僅包含單一樣本點的事件，類似于單元素集合).顯然，Ω為必然事件，?為不可能事件.

指出：當一個試驗的結果是A的一個元素時，就稱事件A發生了.

例1——寫出樣本空間Ω及事件A所包含的樣本點.

例2——寫出兩個事件A,B所包含的樣本點，并用集合的語言分析兩者之間的關系(B?A)，引得事件A包含事件B(或事件B包含于事件A).

例3——寫出三個事件A,B,C所包含的樣本點，并用集合的語言分析三者之間的關系(C=A∪B)，引出事件A與B的并，也稱A與B的和，并記作C=A+B.

例4——同上，寫出三個事件A,B,C所包含的樣本點，并用集合的語言分析三者之間的關系(C=A∩B)，引出事件A與B的交，也稱A與B的積，并記作C=AB.

突出了數學語言的表示：自然文字語言，集合符號語言，文氏圖形語言及其相互轉化.

人教版 第十章 概率

10.1 隨機事件與概率

包括：10.1.1有限樣本空間與隨機事件.

10.1.2事件的關系和運算.

10.2 事件的相互獨立性

10.3 頻率與概率

有關概念：隨機試驗E.樣本點ω，樣本空間Ω，有限樣本空間.

例1——拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間.

例2——拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間.

例3——拋擲兩枚硬幣，觀察它落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.

接著通過體育彩票搖號試驗給出隨機事件A(簡稱事件)，基本事件(僅包含單一樣本點的事件，類似于單元素集合)，事件A發生(同樣指出：在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時).稱Ω為必然事件，?為不可能事件.

例4——電路圖，用集合表示事件.

例5、例6——寫出樣本空間、事件，以及各事件之間的關系.

同樣突出了數學文字語言，集合符號語言，文氏圖形語言的表示和轉化.

5.概率第一課時教學參考建議

教學設計的目的：理解樣本點、樣本量、有限樣本空間的概念，以及有限樣本空間中隨機事件的相關運算，理解隨機事件的表達，體會隨機思想.這個是必須的.也可以到此為止(如蘇教版).如果覺得內容少、學生表現也較好，則可以在討論例4后請學生思考(類比，有集合知識的基礎難度不大)：畫出文氏圖，其中A∩B=?，試問事件A與B有什么關系？給出概念(互斥事件(或互不相容事件))，或不給出概念下次再學習.同樣，畫出文氏圖，其中A∪B=Ω，且A∩B=?，試問事件A與B有什么關系？給出概念(互為對立事件)，或留給學生思考.

(1)要重視——用集合語言來刻畫事件(描述有關概念)：樣本空間Ω(主要是有限樣本空間，類似于全集)，樣本點ωi(i=1,2,…,n)(樣本空間Ω集合中的元素).隨機事件A,B(Ω的子集)等，Ω(全集)為必然事件， ?(空集)為不可能事件.

“隨機事件”是核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個概率的學習.引入樣本點、有限樣本空間概念，再用樣本空間的子集表示隨機事件，這是“隨機現象數學化”的關鍵一步，教學中要給予重視.

幫助學生學會使用簡單的符號(字母、數字、有序數組等)表示試驗的樣本點、列舉樣本空間(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結果)，這既是重點也是難點.用簡單事件的運算表示復雜事件是又一個難點，采用不同數學語言的轉換，通過多種不同的方法，可以有效的突破這一難點.

兩個重要的案例：

①投擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況.(有學生往往認為有3種可能的結果)

引導學生學會書面表達：第1枚硬幣可能的基本結果用x表示，第2枚硬幣可能的基本結果用y表示，則樣本點可用(x,y)表示.于是試驗的樣本空間為Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}或Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.

②投擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果.

(2)要了解——為后面選擇性必修第三冊事件用隨機變量X表示后的概率分布做鋪墊，打牢基礎.

從必修課程關注隨機現象出現某一個結果(事件)的概率，到選擇性必修內容關注隨機現象整體分布，學生在認識上往往存在困難.我們注意到教材有意用“1”表示硬幣“正面朝上”，用“0”表示硬幣“反面朝上”等.將事件數字化，其做法是為后面選擇性必修第三冊事件用隨機變量X表示做鋪墊.

是先學習概率——將事件用隨機變量X(數)表示后，研究和討論離散型隨機變量X的概率分布列(類似數列——一列函數值)、分布表(兩點分布X～0-1(對立事件)、超幾何分布X～H(n,M,N)(互斥事件)、二項分布X～B(n,p)(獨立重復事件)).連續型隨機變量X的概率分布圖——正態分布N～(μ,σ2).

后學統計——統計案例：獨立性χ2檢驗，相關性r檢驗(主要是線性回歸分析).

類比運用函數的思想方法，將概率分布看成是函數的取值分布：f(x0)與P(X=x0)；y=f(x)與P(A).不過概率的研究對象要比函數的研究對象復雜得多.

(3)要轉變觀念——這一塊的教學內容及例題、練習題與函數、三角、數列等有很大不同，就是規定的定義、概念比較多，這些又不好讓學生探究.當然，也有可以讓學生思考的問題，如等可能的所有樣本點及其個數，用集合來理解事件之間的關系等.教學中要注意利用典型例子，針對隨機現象的特征、樣本點、樣本空間、隨機事件及其關系等提出問題，最好是讓學生自己提出問題.教師上課講的不要認為簡單問題繁瑣化，學生作業做的不要嫌不帶勁(我們知道過去學生求概率就寫一個式子或數字，不少老師和學生連“記……為事件A”等都懶得寫).尤其是認為寫出樣本空間Ω及其中的元素即樣本點ω、事件A及其中的樣本點，沒有什么意思.要拋棄這樣的想法，這樣的訓練是基礎性的，對于認識和理解隨機現象有重要意義，不能匆匆而過多.要多引導學生用適當的符號表示試驗所有的可能結果，重視學生數學語言表達的訓練.