從兩道難題看高等方法到初等方法

四川省瀘縣二中 (646100) 陳贛青

用通性通法求函數(shù)的最值或證明不等式，往往是好想而不好做，而帶等號(hào)的不等式取等求函數(shù)的最值或證明不等式，雖然好做，但因很強(qiáng)的技巧而不好想.盡管不好想，但還是因其解法精彩絕妙而受到推崇，本文通過兩例說明.

分析：令t=(a+1)(ab+1)，則問題是求二元函數(shù)t=(a+1)(ab+1)(a+b=1,a,b≥0)的值域(最值)，由條件a,b≥0，且消一元(如消b)就是求一元函數(shù)t=(a+1)[a(1-a)+1]=-a3+2a+1(0≤a≤1)的值域(最值)，由于這函數(shù)是關(guān)于a的三次方程，不能從中解出a，所以，只能初、高等函數(shù)性質(zhì)方法求值域，尤以高等方法(導(dǎo)數(shù)與極限)優(yōu)越.

在解法1，解法2誘導(dǎo)下，就比較容易找出三維均值不等式法和二維均值不等式放縮法，即下面的解法3，解法4.

在沒有解法1，解法2的誘導(dǎo)下，可待定系數(shù)法獲得解法4，即下面的解法5.

不等式取等號(hào)，可想出技巧解法，即下面解法1，解法2，解法3.

總之，用初等方法不容易解決函數(shù)的最值時(shí)，用導(dǎo)數(shù)不但是很自然的通法，而且有時(shí)還可尋到初等方法.