利用函數的對稱性解決一類數列問題

四川省南充高中順慶校區 (637002) 張小丹

∴f(a1)+f(a2)+…+f(a21)=21.

由引例1的分析過程，我們不難得到如下結論.

結論1 設函數f(x)的對稱中心是(a,b)，且f(a)=b(即對稱中心在函數圖像上)，數列{an}是等差數列，其中一項ak=a(對稱中心的橫坐標)，則以ak為中間項的數列a1,a2,…,ak,…,a2k-1的函數值之和f(a1)+f(a2)+…+f(a2k-1)=(2k-1)b(項數×對稱中心的縱坐標).

證明：∵函數f(x)的對稱中心是(a,b)，∴f(x)+f(2a-x)=2b.∵a1+a2k-1=a2+a2k-2=…=ak-1+ak+1=2ak=2a，∴f(a1)+f(a2k-1)=f(a2)+f(a2k-2)=…=f(ak-1)+f(ak+1)=2f(ak)=2b.

∴f(a1)+f(a2)+…+f(a2k-1)=(2k-1)b.

A.0 B.7 C.14 D.21

由引例2的分析，不難得到如下結論.

證明：不妨設f(x)在區間I上遞增.∵f(x)的對稱中心在f(x)上，∴f(x)+f(2a-x)=2b.假設a1+an≠2a，不妨設a1+an>2a，則a1>2a-an，∴f(a1)>f(2a-an)=2b-f(an)，∴f(a1)+f(an)>2b，同理f(a2)+f(an-1)>2b，…，于是f(a1)+f(a2)+…+f(an)>nb與已知不合.故必有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a.

分析：易知f(x)圖像的對稱中心是(0，2)且f(x)是增函數，∵sina1+a1+sina3+a3+sina5+a5+sina7+a7+sina9+a9=0，∴f(a1)+f(a3)+f(a5)+f(a7)+f(a9)=10，由結論2知中間項a5=0，∴a3=-π，∴f(a3)=f(-π)=2-π.

例3 (2021衡水中學測試)已知等差數列{an}的公差為2020，若函數f(x)=x-cosx，且f(a1)+f(a2)+…+f(a2020)=1010π，記Sn為{an}的前n項和，則S2020的值為( ).

鞏固練習：

A.S2016=-2016,a2013>a4B.S2016=2016,a2013>a4

C.S2016=-2016,a2013

A.4030 B.4028 C.2015 D.2014

答案提示：1.D;2.D;3.C