“華龍”的啟示和對數學教改的思考

蘭瑩瑩

摘? 要：華羅庚先生注重因材施教，倡導在高校數學教學中采用“一條龍”教學法。文章首先回顧華羅庚先生教學的時代背景，然后介紹他“深入淺出、引導思考”和“生書熟講、熟書生溫”的授課方式，以及所著《高等數學引論》中“重要概念、重要定理預設伏筆”“內容闡釋由淺入深、由具體到抽象” 的寫作方式所體現的教學基本特色。在肯定華羅庚先生教學思想的基礎上，文章分析了當前高校數學教學的基本情況，旨在分享信息技術與教育教學深度融合背景下人才培養與數學教學改革的思考和體會。

關鍵詞：華羅庚;教學法;教學改革;人才培養

中圖分類號：G640? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2022）08-0121-04

一、“華龍”出現的時代背景

中華人民共和國成立后，國家大力加強高等教育，并于1952年進行了大規模院系調整，也是一次教育改革。院系調整后，招生規模逐年擴大，新建了一批院校，如復旦大學、吉林大學、北京航空航天學院等。此后，中國科學院計劃發揮自身優勢，創辦一所培養前沿、新興、交叉學科人才的“大學”，把教育和科研緊密結合起來。1958年6月，郭沫若先生擔任中國科學院的院長，組織召開了該“大學”的第一次籌備委員會會議，在這個會議上正式確定校名為“中國科學技術大學”，由郭沫若先生擔任籌備委員會的主任，竺可楨先生、嚴濟慈先生、錢學森先生等科學家、教育家擔任籌備委員會的委員。會上還對新成立的中國科學技術大學的建校方案和1958年第一屆學生的招生簡章進行了審議并最終確定，決定開設包括應用數學系和計算機技術系在內的12個系。同年7月，學校籌備委員會組織召開了第一次系主任工作會議，任命數學研究所所長華羅庚先生為應用數學和計算技術系主任，并決定成立數學、物理、化學和政治四個工作小組，其中數學工作組由華羅庚擔任組長。同年9月，中國科學技術大學正式成立，按照“全院辦校，所系結合”的辦校方針，中國科學院的眾多科學家到中國科學技術大學進行授課，并開展合作研究，將最新的科技成果和前沿研究課題教授給學生，承擔起如教學大綱的制定、授課講義的編寫等工作。這一創新舉措，改變了當時高等教育教學和科研分割的狀況[1]。

建校初期至“文革”前的中國科學技術大學數學系教師中，最突出的就是華羅庚先生、關肇直先生和吳文俊先生，他們的教學自成體系、各具特色。他們輪流給學生講授基礎課，如58、61、64級是“華龍”，59、62、65級是“關龍”，60、63級是“吳龍”。“三龍”的學術觀點和授課風格各不相同，提倡學術自由，數學分析、高等代數、解析幾何等數學基礎課程沒有設置嚴格的分界線，華羅庚先生、關肇直先生和吳文俊先生根據自己對數學的理解來講解相關內容，后來分別被稱為“華龍”“關龍”和“吳龍”[2]，直到現在亦被關注且傳為佳話。

二、“華龍”教學的基本特色

華羅庚先生數學教學的成效、影響和示范作用是顯著的、被普遍認可的。華羅庚先生教學的基本觀點是“因材施教”。不同層次的學生應選擇差異化的教學內容，如當前許多高校教學中所提倡的“分層次教學”;培養目標不同的學生應該提出不同的教學要求，如培養數學研究型人員注重理論的深入理解和融會貫通，培養應用型人員注重知識在具體案例中的應用;教學過程當中還應根據學生的實際情況采用不同的教學方法，如課堂講授、開設討論班、專題講座等[3]。“華龍”強調不同學科間的內在關聯，將數學各門基礎課統成一門課進行教學，這種做法被大家稱為“一條龍”教學法。華羅庚先生認為，將高等學校數學課程分成分析、代數、幾何等分科進行授課是相對機械地將數學給割裂開了。

（一）“深入淺出、引導思考”的講授法

國家重點高校肩負著為國家培養適應新時期戰略發展需求的尖端科技人才以及具有較高研究水平的科研人員的重要使命，所培養的學生不僅應掌握較全面的科學基礎知識，也應具有較好研究能力和創新性思維。華羅庚先生的“一條龍”教學法的特點就在于所教授的內容相對系統而全面，且能較好地發揮教師在教學中的導向性作用，保證學生的學習效果，適用于高等學校數學基礎課教學[4]。

華羅庚先生在教學中一貫提倡“深入淺出見功夫”，這要求教師具有較好的理論研究水平和實際授課能力。華羅庚先生知識廣博、思路清晰、語言文字能力較強，本科數學基礎課程教學中能夠做到更好地化繁為簡、深入淺出地講解。因此這種教學法對華羅庚先生而言是合適的，而對于一般教師來講則具有一定的挑戰和考驗。華羅庚先生倡導高等學校數學基礎課教學要重視對學生發現探索能力的培養和實踐能力的訓練，教學中應鼓勵學生多思考、多嘗試、多總結。

（二）“生書熟講、熟書生溫”的授課方式

華羅庚先生曾形象地描述道，“我也喜歡生書熟講、熟書生溫的教學方法。”“生書熟講”在教學過程中一般可以發揮兩方面的作用：一是使新的學習內容得以更好地被學生接受，更順暢地融入學生的理論知識體系;二是復習了原來已經教學過的內容。華羅庚先生在教學中一般先用較多的時間和精力幫助學生溫熟書，復習總結原來學習過的內容。“熟書生溫”可幫助學生掌握數學的基本思想和基本方法、訓練個人基本技能，以新思路、新視角溫習原來學習過的內容更有助于領會精髓、開闊思路。

正所謂溫故而知新，溫習學過的內容，可以發現有新的收獲，更加容易將原來學習過的內容融會貫通，教學中采用這樣的方式，不僅可以幫助學生溫習舊課，還有助于學生學懂弄通原來不理解的知識點，并在此基礎上提煉提升、擴展教學。“‘數’與‘形’的‘分’與‘合’，‘抽象’與‘具體’的‘分’與‘合’都是在不斷反復過程中逐步提高的”。生書熟講、熟書生溫，生與熟、新與舊，相輔想成、相互轉化。在數學基礎課教學中要充分發揮雙方的互補作用，提升學生的認識水平[4]。

三、基于華羅庚《高等數學引論》分析“華龍”的教學基本特點

《高等數學引論》是華羅庚先生在20世紀60年代編寫的教材，曾用于中國科學技術大學教學，2009年由王元院士修訂在高等教育出版社再版修訂。全書共包含四冊：第一冊、第二冊主要講授微積分的相關內容，并在第二冊最后介紹常微分方程組;第三冊主要講授復變函數的一般理論卻又不局限于此（相較于現在復變函數論主流教材，內容更廣更深，如介紹偏微分方程的求解問題、適合各種邊界條件的調和函數、Weierstrass的橢圓函數論、Jacobi的橢圓函數等）;第四冊主要講授代數矩陣論但內容也不限于此（如介紹常系數差分方程與常微分方程、體積等）。全書在內容設計上體現了華羅庚先生“數學是一門有緊密內在聯系的學問，應將大學數學基礎課放在一起來講”的教學思想（無論是哪個領域的內容，如有必要就盡可能放在一起進行講授），以及“要埋有伏筆” 和“生書熟講、熟書生溫”等教學技巧，同時還融入了數學理論在其他學科中的應用。

（一）重要概念、重要定理預設伏筆

閱讀華羅庚先生所著《高等數學引論》全四冊，可以發現書中對許多重要概念、重要定理和重要方法預設的伏筆。舉例來看，數學分析中著名的理論方法“迭代法”，在著作第一冊第一章的第13節就已經為后續內容先埋下了伏筆;學習高等數學知識一段時間以后才會講到的隱函數概念及相關理論，在著作第一冊第三章第3節就早早地提出，之后又在第一冊第六章、第二冊第十二章和第十三章更深入研究時出現，這樣的設計在同類教材中出現較早。

通過對華羅庚先生所著《高等數學引論》（全四冊）中重要概念、重要理論和重要方法提前埋下伏筆案例的簡單分析，能夠發現高等數學教學過程中提前滲透一點后面教學中的重要內容，有利于降低后續教學的難度，有助于學生更好地理解和掌握相關內容，有助于學生更熟練地將這些理論和方法應用于實踐。這種教學方法的難點和關鍵點在于重要概念、重要理論和重要方法的區分判斷，內容相對容易或重要性相對不高的可以不必早伏筆、早提出。預設的伏筆與正式講授需要設計得有一定教學時間間隔，且要從教學內容設計全局出發，前后內容呼應得協調自然。

（二）由淺入深，由具體到抽象的講解方式

華羅庚先生學術造詣較高，擅長用簡單的數學工具解決或詮釋較深、較難的數學問題，喜歡從具體實例入手推演得出一般性的結論，如眾所周知的“優選法”。在《高等數學引論》一書中都貫穿了這個風格，這對讀者來說是易于接受的。例如在第二冊第十五章重積分的“補充”中，作者講述了求面積、求容積、求表面積的一些實用方法。作者將這些方法用柱面坐標來表述并得到一些理論分析結果，只用了十幾頁的篇幅。又如，第二冊第二十章常微分方程組，作者介紹了人造衛星的軌道方程、軌道討論——第一、二宇宙速度、第三宇宙速度、質點組——多體問題，這些材料來源于第一顆地球人造衛星發射之后，華羅庚先生所做的一個有趣的練習[5]。

四、對數學教學改革的認識和體會

高等學校教學內容、教學模式和教學方法不可能固定不變，總會與時俱進，努力適應時代的進步，適應經濟、科技和社會發展的實際需要。教學改革是一個持續發展的過程，也是一個永恒的話題，對其評價要有一個周期性的過程。數學教學改革歷史悠久，新中國成立以來一直在進行教學改革，縱觀整個過程，改革的規模較大，時間跨度也較長，其間不乏大大小小的反復，無論怎樣，都是歷史留給人們的寶貴財富，是深入進行數學教學改革的歷史積淀和重要借鑒。總結豐富的歷史經驗并認真分析梳理，以此為鑒發現規律，取長補短，才能更好地面對未來[6]。

20世紀90年代，在改革開放政策的推動下，歷經艱難曲折發展道路的我國高等教育，在經過一段時間調整恢復之后開始了以“面向現代化、面向世界、面向未來”為指導思想的教育改革，但仍然存在著教學內容相對陳舊、知識體系不能適應時代應用、思想方法體現不足等諸多問題。數學各方向往往都是獨立設置課程，缺乏華羅庚先生“一條龍”式教學法應有的相互聯系、相互滲透;教學思想上往往更注重知識傳授，過多地追求運算技巧，缺乏華羅庚先生“引導思考”的講授方式，對素質和能力培養的關注明顯不夠。這些都是數學教學改革中應著力解決的問題[7]。

進入21世紀，黨中央提出要創建學習型、創新型社會，高等教育開始由“精英教育”向“大眾化教育”轉變，培養高素質的創新型人才成為熱點話題。以往的灌輸式教學方法不僅不能啟迪思維，且容易使學生養成依賴心理、懶于思考，影響倡導的創新型人才培養，亟須開展教學改革。無論是課堂教學模式還是新時期教材內容及形式設計，有必要向著凝練思想、揭示內涵、引導思考的方向改變，探索以教師為主導、學生為主體的研究式、翻轉式、討論式等教學方法。在這個過程當中，出現了一大批教學實踐理論和經驗成果，涌現出一大批優秀的青年教師投身實踐，探索教學方法和教學模式創新。大學數學課程教學基本要求、數學專業教學質量國家標準等指導性意見被廣泛關注和遵循。高校數學的教學改革和教材建設進入到一個新時期。

現階段，新工科、新醫科、新農科、新文科持續建設背景下，高校人才培養的創新意識和創新能力被提出了更高的要求，高等學校的教學改革不斷深入，教學指導思想從注重知識傳授、學習前人知識的模式逐步向實現知識傳授、能力培養及素質提高相結合的模式轉變。高校教學不僅需要鞏固并繼續深化發展已有的教學改革成果，有必要持續打造一批線上、線下、線上線下相結合的精品課程，出版一批紙質內容與數字資源一體化設計、有機融合的高質量新形態教材（目前高校數學教材的一般做法是以紙質內容為核心，融入重難點精講視頻、典型題目講解視頻、概念解析、釋疑解難、應用案例、在線自測題目及拓展閱讀材料等。也有一些個性化的特色資源，如思政元素、模擬試驗、中學內容補充等。教材內容更加豐富，適應新時期高校教學的實際需要，但如何處理好紙質內容與數字資源的設計，需要根據實際情況認真研究，不能一概而論）。在信息技術與教學教學深度融合背景下，建設一批數字化、網絡化、智能化的教學資源也成為熱點，當前主要體現在出版在線試題庫、在線測評及組卷系統、數字課程、數字教材以及專項輔導課程等電子或網絡出版物。特別是“數字教材”備受關注并得到重視，也有過不少探索和嘗試，觀點和建設模式不一。

數字教材不是傳統教材的電子化，應根據學科特點進行設計。大學數學數字教材可考慮以在線自測為切入點，根據自測情況分析診斷，有針對性地推送學習內容（包括相關知識點，需要加強訓練的同類型題目），作為課堂教學的有益補充。數學具有抽象性、邏輯推理嚴密等特點，教學中應該根據所授課程內容特點和實際教學環境，采用合適的教學形式，無論是傳統板書式教學，或是“板書+多媒體”式教學，抑或者線上教學，都應根據實際情況、發揮優勢，設身處地站在學生的角度考慮如何組織教學才能實現最優的教學效果，并以此為目標。教學改革應遵循和重視教育發展的規律，遵循和重視學生的認識規律，在傳授數學知識和方法的同時，幫助學生更多地領悟到數學的精神實質和思想內涵，感受到數學的魅力，最好能做到融會貫通，并在此基礎上應用于數據科學、人工智能和數字經濟等前沿領域，契合國家新時期的戰略需求。

五、結語

華羅庚先生的教學特色主要是因材施教。他的教學思想和教學方法，源于切身經歷和體會，歷經長期教學實踐的不斷探索、總結和完善，體現了數學教學的基本特點和特色。他的數學教育理論傳承了我國長期以來高等教育的優良傳統，也吸收了現代高等教育教學理論的精髓，值得學習和研究。

為了適應現階段人才培養的需要，保障學生能根據自身情況、學習興趣和未來志向發揮其所長，為個性化發展提供可能，高校數學課程的教學內容和改革方向，是值得研究的核心問題之一。與國家的教學要求相比，美國教材相對偏淺，俄羅斯教材相對偏深，但都培養了許多尖端科技杰出人才。華羅庚先生“一條龍”式教學法培養了許多杰出人才，現階段分科講授式的教學法也培養了許多適應國家需求的杰出人才。我們應該結合實際情況正確認識這種差異。數學基礎理論課程教學不僅應該“重基礎、厚基礎”，也應該為學生提供相對寬松的學習環境，應允許并鼓勵學生根據自身情況、個人興趣和自身優勢來發展和成長。

參考文獻：

[1] 中國科學技術大學[EB/OL]. https：//baike.baidu.com/item/.

[2] 李忠. 歷史的回顧：我國數學分析課內容體系的變遷——在第三屆大學數學課程論壇上的報告[J]. 數學通報，2008（02）：1-5+10.

[3] 高月春. 華羅庚教育思想初探[J]. 當代教育論壇，2007（12）：36-38.

[4] 饒鑫光，孟道驥. 略論華羅庚的高等數學教學方法與講解技能[J]. 數學教育學報，2001，10（04）：29-33.

[5] 華羅庚. 高等數學引論[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

[6] 李大潛. 關于高校數學教學改革的一些宏觀思考[J]. 中國大學教學，2010（01）：7-9+6.

[7] 馬知恩. 工科高等數學課程教學改革五十年[J]. 中國大學教學，2008（01）：11-16.

（責任編輯：汪旦旦）