兩道中考題的變式與推廣

鄭緒妹 肖婧鈺 王家正

[摘 ?要] 2017年和2020年的安徽省中考數學壓軸題都是與三角形、矩形有關的幾何問題，蘊含著重要的數學思想方法，且這兩道題有著內在的聯系. 文章通過變式、推廣、合并，探討某些邊與角之間的關系，從而揭示試題的本質特征，得到更具深刻性的幾何問題，以此培養學生思維的深度和廣度，并在幫助學生認清題目本質的同時，培養他們的邏輯思維能力.

[關鍵詞] 變式;推廣;試題

原題呈現

原題1 （2020年安徽省中考數學第23題）如圖1所示，四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE=AD，EC與BD交于點G，與AD交于點F，AF=AB.

（1）求證：BD⊥EC;

（2）若AB=1，求AE的長.

解答 （1）因為四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，所以∠EAF=∠DAB=90°. 又AE=AD，AF=AB，所以△AEF≌△ADB. 所以∠E=∠ADB. 又∠ADB+∠ABD=90°，所以∠E+∠ABD=90°. 所以∠EGB=90°. 所以BD⊥EC.

（2）因為四邊形ABCD是矩形，所以AE∥CD. 所以∠AEF=∠DCF，∠EAF=∠CDF. 所以△AEF∽△DCF. 所以=，即AE·DF=AF·DC. 設AE=AD=a（a>0），則有a（a-1）=1，化簡后得a2-a-1=0，解得a=或a=（舍去）. 所以AE的長為.

【此時點F為AD的黃金分割點，因為==.】

原題2 （2017年安徽省中考數學第23題）在正方形ABCD中，M為AB邊的中點.

（1）如圖2所示，G為線段CM上一點，且∠AGB=90°，延長AG，BG分別與邊BC，CD交于點E和點F.

①求證：BE=CF;

②求證：BE2=BC·CE.

（2）如圖3所示，在邊BC上取一點E，滿足BE2=BC·CE，連接AE交CM于點G，連接BG并延長，交CD于點F，求tan∠CBF的值.

解答 （1）①因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°. 所以∠ABG+∠CBF=90°. 因為∠AGB=90°，所以∠ABG+∠BAG=90°. 所以∠BAG=∠CBF. 又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，所以△ABE≌△BCF. 所以BE=CF.

②因為∠AGB=90°，M為AB邊的中點，所以MG=MA=MB. 所以∠GAM=∠AGM. 又因為∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，所以∠CGE=∠CBG. 又∠ECG=∠GCB，所以△CGE∽△CBG. 所以=，即CG2=BC·CE. 由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF，得CF=CG. 又由①知BE=CF，所以BE=CG. 所以BE2=BC·CE.

（2）延長AE交DC的延長線于點N，如圖4所示. 因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD. 所以∠N=∠EAB. 又∠CEN=∠BEA，所以△CEN∽△BEA. 所以=，即BE·CN=AB·CE. 因為AB=BC，BE2=BC·CE，所以CN=BE. 因為AB∥DN，所以==. 因為AM=MB，所以CF=CN=BE. 不妨設正方形ABCD的邊長為1，BE=x，由BE 2=BC·CE，可得x2=1·（1-x），解得x=或x=（舍去）. 所以=，即tan∠CBF===.

上述兩道題從幾何圖形的性質和判定入手，均以矩形為背景來研究幾何圖形的位置關系、數量關系，考查學生數學核心素養中的邏輯推理能力、抽象思維能力等. 為了更深入地研究這兩道題，更好地訓練學生的思維，培養學生思維的深度和廣度，幫助學生進一步認識試題的本質[1]，下面對這兩道題進行變式與推廣.

變式與推廣

將原題1中的已知條件“AF=AB”和結論“BD⊥EC”互換，可以得到下面的變式1.

變式1 如圖5所示，四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE=AD，EC與BD交于點G，與AD交于點F，且BD⊥EC. 求證：AF=AB.

證明 因為四邊形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠EAF=90°. 因為BD⊥EC，所以∠DGF=90°. 所以∠ADB+∠DFG=90°. 因為∠E+∠AFE=90°，∠DFG=∠AFE，所以∠ADB=∠E. 又因為AD=AE，∠BAD=∠EAF=90°，所以△ABD≌△AFE. 所以AF=AB.

將原題1中的已知條件“AF=AB”刪除，將已知條件“四邊形ABCD是矩形”換成“四邊形ABCD是正方形”，并改變結論，可以得到下面的變式2.

變式2 如圖6所示，四邊形ABCD是正方形，點E在BA的延長線上，AE=AD，EC與BD交于點G，與AD交于點F，求∠EGB的值.

解答 假設正方形ABCD的邊長為a. 容易證得△CDF≌△EAF（AAS），所以DF=AF=AD=. 所以tan∠E===. 所以∠E=arctan. 因為四邊形ABCD是正方形，所以∠GBE=. 在△EGB中，∠EGB=π-∠E-∠GBE=π--arctan=-arctan.

將原題1的條件弱化，不限制“AF=AB”，并假設AD的長為1，其他條件不變，探究∠EGB、線段AF與線段AB長度之間的關系，從而將原題1進行推廣[2]，得到下面的推廣1.

推廣1 如圖7所示，四邊形ABCD是矩形，點E在BA的延長線上，AE=AD，EC與BD交于點G，與AD交于點F. 已知AD=1，假設AB=x，求∠EGB、AF的長與x之間的關系.

解答 容易知道tan∠GBE=，tan∠E=. 在△EGB中，∠EGB=π-∠E-∠GBE，所以tan∠EGB=tan（π-∠E-∠GBE）=-tan（∠E+∠GBE）=

-. 代入化簡后得tan∠EGB=-，所以∠EGB=arctan

-. 由題意可知△EFA∽△ECB，所以=，即=. 所以AF=.

由推廣1可得到以下關系：

①∠EGB與x的關系：∠EGB=arctan

-.

②AF與x之間的關系：AF=tan∠E=.

③當∠EGB=90°時，x=，AF=，F是AD的黃金分割點，=.

在原題2中，弱化對∠AGB的限制. 設G是CM上任意一點，假設正方形ABCD的邊長為1，探討∠AGB、FC與邊BE之間的關系，從而將原題2進行推廣.

推廣2 如圖8所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，M為AB邊的中點，G為線段CM上任意一點，延長AG，BG分別與邊BC，CD交于點E和點F，探討∠AGB、FC與BE之間的關系.

解答 如圖9所示，假設BE=x，FC=y（0<x<1）. 過點F作AB的垂線交AB于點Q，過點G作AB，BC的垂線，垂足分別為N，P. 因為GP∥MB，所以△CGP∽△CMB. 所以=. 因為M為AB的中點，四邊形ABCD為正方形，所以MB=CB. 所以GP=CP①. 因為GP∥FC，所以△BPG∽△BCF. 所以=. 所以GP==y·BP②. 因為GN∥EB，所以△AGN∽△AEB. 所以=. 所以GN==x·AN③. 因為GN=BP，AN+GP=1，又聯立②③后可解得GP=. 由②可得BP==. 由①可得CP=2GP=. 由BP+CP=1，得+=1，整理后可得y=-1. 在△AGB中，tan∠GAB==x，tan∠GBA====.

所以tan∠AGB=tan（π-∠GAB-∠GBA）= -tan（∠GAB+∠GBA）=

-. 代入整理后可得tan∠AGB=.

對于原題2（1），因為∠AGB=90°，所以有x2+x-1=0，解得x=或x=（舍去），即E為BC的黃金分割點.

兩道原題合并

從兩道原題可以看出，2020年題中（圖1）的F與2017年題中（圖2）的E都是黃金分割點，兩題之間有著內在的聯系，現在將兩題的圖合并，探討其中的內在聯系.

推廣3 如圖10所示，四邊形ADIE是邊長為1的正方形，四邊形ABCD是矩形，M為AE的中點，連接EC交AD于點F，交DM于點H，交BD于點G，連接AH并延長交IC于點N，探究∠BGE、AF、DN、∠AHE與線段AB的長有怎樣的關系.

解答 設AB=x，因為AF∥BC，所以△EFA∽△ECB. 所以=. 所以AF=. 由推廣2可知DN=-1=x. 在四邊形ABDN中，因為AB∥DN，AB=DN，所以四邊形ABDN是平行四邊形. 所以AN∥BD. 所以∠AHE=∠BGE. 由推廣1可知tan∠BGE=-，所以tan∠AHE=tan∠BGE=-. 當AB=時，AF=AB=，即F是AD的黃金分割點，此時∠BGE=90°，∠AHE=90°，DN=AB=. 若∠AHE=∠BGE=90°，當且僅當AB=，即F，N分別為AD，DI的黃金分割點.

結束語

近年來，安徽中考數學試卷最后一題大多以三角形或四邊形為背景，考查圖形的全等或相似等知識，尤其注重對數學思想方法和核心素養的考查. 很多數學題，尤其是中考題、高考題，凝結了無數出題者的智慧結晶，值得我們深入研究. 如果就題論題，就失去了培養學生思維能力的機會[3]. 通過文章的探討，筆者得到以下兩點啟示：

（1）對學生來說，幾何圖形的學習是一個難點，題目稍加改變就會出現解題困難. 針對這種情況，在平常的教學中，教師要融會貫通，要對題目進行深度挖掘，要把變式思想潛移默化地傳授給學生，引導學生積極思考、探索，以此培養學生思維的深度與廣度，從而幫助學生進一步認識試題及其解法的本質，達到會做一題，會做一類的效果.

（2）上述對兩道中考題的探究、變式與推廣的思考，對很多數學問題的研究來說有一定的借鑒意義. 教師在解決某道數學問題時，還需要培養尋找和解決與之相關的其他數學問題的意識和能力，這是提升教師研究能力的有效途徑之一.

參考文獻：

[1]蔡天平. 利用變式培養數學思維能力[J]. 中學課程輔導（教師通訊），2021（02）：71-72.

[2]宋磊. 倡導通性通法破真題 ?挖掘題源背景提素養——2020年高考山東卷壓軸題的解法探究、變式推廣與背景挖掘[J]. 理科考試研究，2020，27（23）：6-9.

[3]陳超，王家正. 一道競賽題的變式與推廣[J]. 中學數學教學，2019（03）：33-35.