落實“五育并舉” 注重理性思維 突出綜合素養(yǎng)

摘要：研究分析2022年高考數(shù)學全國乙卷的整體特點，呈現(xiàn)部分典型試題評析，結(jié)合教學實踐給出“研讀課程標準與教材，落實‘四基‘四能”“深化模型理解，提高運算能力”“堅持全面育人，落實提質(zhì)減負”“提高試題質(zhì)量，實現(xiàn)教—學—考一致性”等思考與建議.

關鍵詞：全國乙卷;高考數(shù)學;五育并舉;理性思維;綜合素養(yǎng)

2022年高考，全國乙卷被河南、安徽、江西、山西、陜西、吉林、黑龍江、寧夏、甘肅、青海、新疆、內(nèi)蒙古等省區(qū)采用，是今年高考使用范圍最為廣泛的一份試卷.考試后部分學生反映“老師講的（內(nèi)容）試卷沒考，試卷考的（內(nèi)容）老師沒講”，試卷總體難度較大，學生無法適應;部分教師反饋復習備考做了大量的無用功，不知道以后如何教.以上省區(qū)中的多數(shù)2023年高考仍將采用老高考模式（由于使用了新教材，考試內(nèi)容會作適當?shù)恼{(diào)整，如刪除選考題等）.筆者以2022年高考數(shù)學全國乙卷（以下簡稱全國乙卷）為例，窺探高考命題趨勢，為師生的教與學提供參考.

1 整體特點

2022年全國乙卷的使用省區(qū)與2021年相同，地域較廣，考慮到學生水平的差異，試卷穩(wěn)中求變，變中求新，即總體結(jié)構(gòu)不變，局部稍作調(diào)整[1].

1.1 文理同題數(shù)量增多，為文理合卷吹響號角

為保持文科試卷的難度平穩(wěn)，增強理科試卷的區(qū)分功能，同時為文理合卷做足鋪墊，2022年全國乙卷文理科相同試題的比例提高了，只是在文理科試卷中題序位置可能有所不同.文理同題（括號前為理科試題題號，括號內(nèi)為文科試題題號，下同）有第5（6），6（7），7（9），8（10），9（12），13（14），14（15），19（19），20（21），22（22），23（23）題等.局部相同的試題有理科第17題第1問與文科第17題第2問，理科第18題第1問與文科第18題第1問.姊妹題有第1（1），2（2），3（3），12（16），21（20）題等.它們考查的知識點相近，形式略有不同，解題思路方法相同，難度略有差異.

1.2 解法多樣，甄別學生思維的層次性

基礎題理科有第1，2，3，4，5，6，13，14，17，18題等，文科有第1，2，3，4，5，6，7，13，14，15，17，18題等，均考查學生的基礎知識.這些試題起點低、入口寬，思維能力決定著解題的效率.如理科第4題解法1可通過特殊數(shù)列{an}（如an=1）排除選項;解法2以選項為標準，對各個選項中兩項進行差異分析;解法3從{bn}的結(jié)構(gòu)出發(fā)，探究{bn}的基本性質(zhì)：b2k-1>b2k，b2k-1>b2k+1，b2k

1.3 注重理性思維，強調(diào)解題規(guī)范

學習即生活，我們要在學習中提升思維能力，養(yǎng)成良好的生活習慣.如，第9（12）題如何實現(xiàn)四棱錐體積最大？可先保持頂點O到底面ABCD的距離h不變，需要四邊形ABCD的面積最大，只有當四邊形ABCD為正方形時才能滿足，此時才能構(gòu)建四棱錐O-ABCD的體積關于某自變量的函數(shù)，而自變量是選ABCD的邊長a還是四棱錐的高h？后續(xù)求最值的繁簡程度不同.又如第17題理科第1問（文科第2問）的背景是正弦的平方差公式

sin（α+β）sin（α-β）=sin2α-sin2β，但二級結(jié)論不宜直接用于解答題的解答或證明，而應對其先行證明或直接用正弦定理和余弦定理規(guī)范解答.

1.4 落實五育并舉，加強數(shù)學運算

高考的核心功能是立德樹人、服務選才、引導教學，構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是新時代教育和高考的重要任務[2].全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛(wèi)星成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星為背景，有利于激發(fā)學生的愛國熱情，強化德育教育;又如第13（14）題為社區(qū)服務問題，考查學生對基本知識的掌握程度及運用所學知識解決問題的能力，試題的情境具有時代性，體現(xiàn)志愿精神，具有積極的教育意義.每個試題均體現(xiàn)理性思維，考查學生的智育.理科第10題以棋類比賽為背景，可以激發(fā)學生參加體育運動的興趣.理科第4，9，23題滲透著結(jié)構(gòu)形式的對稱美.第19（19）題以社會關注的環(huán)境治理為背景，依托“綠水青山就是金山銀山”的理念，將社會生產(chǎn)勞動實踐情境與數(shù)學基本概念有機結(jié)合，發(fā)揮高考在培養(yǎng)勞動觀念中的引導作用.近年來，學生的運算能力一直有下降的趨勢.“得運算者得高考”，全國乙卷2022年比2021年運算量大、綜合性強，如文理科的第20，21題等.

2 試題分析

2.1 強化題意理解，遵循命題意圖

解（證）題就是信息輸入—處理—輸出的過程，即通過審題攝入有效信息，然后對信息進行加工處理，最后將結(jié)果規(guī)范地表達出來.因此，準確理解題意是正確解題的前提.審題時要通讀全題，然后對關鍵信息進行精讀，弄清問題的結(jié)構(gòu)與邏輯.

例1（理科第16題）已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f（x）=2ax-ex2（a>0且a≠1）的極小值點和極大值點.若x1

分析：“x=x1和x=x2分別是函數(shù)f（x）的極小值點和極大值點.”與“函數(shù)f（x）的極小值點和極大值點分別為x=x1和x=x2”一般意義不同，前者極小（大）值點未必唯一，而后者極小（大）值點一定唯一.問題等價于f′（x1）=f′（x2）=0，且f′（x）在x=x1處“左負右正”，在x=x2處“左正右負”.解法1，先求y=

ln a＼5ax與函數(shù)y=ex相切的臨界值，再結(jié)合y=ln a＼5ax的圖象與a的關系求解;解法2，先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再確定函數(shù)f（x）的極值點，邏輯推理更嚴謹.

2.2 嘗試一題多解，倡導優(yōu)解妙法

對于相同數(shù)學對象，由于解題者的學習經(jīng)驗積累不同，因此審題時切入點不同，選擇的方法也不盡相同.我們要揭示出問題的本質(zhì)，然后對各種方法進行綜合衡量，選擇出優(yōu)解妙法.

例2（理科第11題）雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點，且cos∠F1NF2=35，則C的離心率為（? ）.

A.52

B.32

C.132

D.172

分析：本題直線MN可能與雙曲線的一支或兩支相交，解題的關鍵是如何使用cos∠F1NF2=35.解法1從幾何角度出發(fā)，過點O，F(xiàn)2分別作直線MN的垂線，垂足分別為A，B，根據(jù)相似三角形搭建橋梁，構(gòu)造直角三角形利用雙曲線的定義“算兩次”;解法2，在△F1NF2中利用正弦定理，運用“合分比定理”和雙曲線的定義構(gòu)建方程，需要用到兩角和的正弦公式;解法3為坐標法，直接求出點N的坐標，結(jié)合圖形利用兩角差的正切公式，兩種情況下點N的坐標不變使解題過程得到簡化.一般來說，幾何法要確保圖形的真實性（存在性與代表性），代數(shù)法利用整體可能會出現(xiàn)研究對象不存在的情況，無論哪種方法都要驗證結(jié)果的存在性.解析幾何是幾何的一門分支，歸根到底仍然是幾何，解題時要盡可能挖掘其幾何性質(zhì)，規(guī)避繁瑣的運算.

2.3 挖掘?qū)ο筇卣鳎魑忸}方向

解題時要對研究對象的特征與性質(zhì)進行深入挖掘，進而確定解題方向.在解題過程中可能會出現(xiàn)思路受阻的情況，這時要具體問題具體分析，結(jié)合實際情況進行調(diào)整或優(yōu)化.

例3（理科第12題）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7.若y=g（x）的圖象關于直線x=2對稱，g（2）=4，則∑22k=1f（k）=（? ）.

A.-21

B.-22

C.-23

D.-24

分析：本題依托f（x）與g（x）的關系和g（x）的部分性質(zhì)隱性給出函數(shù)f（x）的性質(zhì).解法1研究函數(shù)f（x）的對稱性（f（x）關于x=0與點（-1，-1）對稱）和周期性（T=4），化整為零，聚零為整，并項求和

∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+5

∑4k=1f（k）;

解法2利用關系式f（x）+f（x-2）=-2局部分組與并項求和

∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+[f（3）+f（5）+……+f（21）]+[f（4）+f（6）+……+f（22）]，也可研究函數(shù)g（x）的性質(zhì)并求f（1），f（2）的值.兩種解法本質(zhì)相同，只是表達的形式不同.

2.4 模型引領方向，注重理性精神

模型是通過主觀意識借助實體或者虛擬表現(xiàn)，構(gòu)成客觀闡述形態(tài)結(jié)構(gòu)的一種表達目的的物件[2]. 只有深入理解數(shù)學模型，解題時才不致于張冠李戴.

例4（理科第18題）如圖

1，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，

∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.

（1）證明：平面BED⊥平面ACD;

（2）設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

分析：第（2）問由“△AFC的面積最小”確定點F的位置，由勾股定理逆定理得BE⊥DE.如何求直線與平面所成的角？解法1為坐標法，如以E為原點，以EA，EB，ED所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系E-xyz.解法2為等體積法，先求CF=72，再由

VC-ABD=VD-ABC

得點C到平面ABD的距離為h=

2217.解法3為定義法，要弄清點C在平面ABD的投影的位置.先證平面ABD⊥平面ACF，過點C作CG⊥AF，垂足為G，則CG⊥平面ABD，則CF與平面ABD所成的角為∠CFG，即∠CFA或其補角.事實上，∠CFA是鈍角，即CF與平面ABD所成的角為∠CFA的補角.

2.5 突出問題邏輯 重視恒等變形

推理是數(shù)學的“命根子”，運算是數(shù)學的“童子功”.要想解決問題必須抓住問題的結(jié)構(gòu)與邏輯.學生若對問題的結(jié)構(gòu)特征熟視無睹，則難以找到解題的思路;學生若不明晰問題的邏輯，必將導致漏洞百出.解題離不開恒等變形，某一步變形若不恒等，一般要對其查缺補漏.

例5（理科第21題）已知函數(shù)fx

=

ln1+x+axe-x.

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）若f（x）在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

分析：要否定命題只需舉一個反例，而肯定一個命題必須證明.對于第（2）問，解法1為函數(shù)最值法，抓住f0=0，確定參數(shù)a的分類討論標準（不唯一）是關鍵.當a≥0時，可通過在區(qū)間（-1，0）上f（x）<0來排除;當

-1≤a<0時，可通過在區(qū)間（0，+∞）上fx>0來排除;當a<-1時，研究函數(shù)f（x）在（-1，0），（0，+∞）上的單調(diào)性，用零點定理判斷根的存在性更有說服力，但需要確定區(qū)間的端點，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高.學生往往用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度進行比較：當x→-1時，f（x）→-∞，當x→+∞時，f（x）→+∞.解法2為分離參數(shù)法，當x≠0時，由fx=0，得

-a=exln（1+x）x

，轉(zhuǎn)化為函數(shù)px=exln1+xx的單調(diào)性與值域問題;解法3為圖象法，轉(zhuǎn)化為直線

y=ax與函數(shù)m（x）=-exln（x+1）

的圖象在區(qū)間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個公共點，需要探尋m（x）的單調(diào)性、值域與凹凸性.

2.6 強化數(shù)學運算，重視數(shù)據(jù)分析

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析是針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng)[3].因此，運算方向的準確性與方法的合理性至關重要.

例6（理科第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且經(jīng)過A（0，-2），B32，-1兩點.

（1）求E的方程;

（2）設過點P（1，-2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點.

分析：求定點、定值問題常見的方法有兩種.①從特殊情況入手求出定值，再證明這個值與變量無關;②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.第（2）問為圓錐曲線的非對稱問題，可通過兩種特殊情況下的直線MN（如直線MN的斜率不存在與直線MN過橢圓E的上頂點）確定直線HN過定點（0，-2）.背景為射影幾何中的“極點與極線”，即點P（1，-2）對應的極線為直線AB，則AP，AB，AM，AN為調(diào)和線束.過點M作MH∥AP交AB，AN于點T，H，由調(diào)和性質(zhì)可知T為MH的中點. 極點極線是圓錐曲線的一個基本特征，自然成為命題者命題的背景知識和方向.若學生掌握了極點極線的相關知識，就可以從“高觀點”看待高中圓錐曲線的相關內(nèi)容，更容易抓住問題的本質(zhì).

3 幾點思考

3.1 研讀課程標準與教材，落實“四基”“四能”

高考考什么？怎么考？老高考考試內(nèi)容以《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》為標準，以《中國高考評價體系》為導向，以所學教材為載體，只有堅定目標才能做到精準定位.如第6（7）題考查程序框圖，文科第5題考查線性規(guī)劃.又如第19（19）題第（2）問，學生不能將r=

∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2∑ni=1yi-y2變形為r=

∑ni=1xiyi-nx y∑ni=1x2i

-nx2∑ni=1y2i-ny2的形式，無法直接使用試題所提供的參考數(shù)據(jù)，只能將表格中的原始數(shù)據(jù)代入原型公式，導致不必要的運算.高考前“這屆學生是第一屆全程疫情的考生”“2022年是全國落實‘雙減的第一年”“老教材的最后一次高考”等因素導致今年高考難度降低的預言被現(xiàn)實擊得粉碎.唯有踏踏實實復習備考才有好的出路.

3.2 深化模型理解，提高運算能力

理科第21題第2問是關于含參數(shù)等式恰成立問題，常用解法有函數(shù)最值法、分離參數(shù)法、圖象法、必要性條件法等.解法1對參數(shù)a進行分類與整合，利用零點定理求解，與解法2、解法3本質(zhì)相同均為數(shù)形結(jié)合思想方法的運用.如何提高運算能力，需要學生平時多積累必要的知識和解題經(jīng)驗，更重要的是切實經(jīng)歷數(shù)學運算的完整過程.

3.3 堅持全面育人，落實提質(zhì)減負

2020年10月，中共中央、國務院印發(fā)的《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，構(gòu)建引導學生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象.高考試題在命制時充分考慮到學生能力的個體差異，絕大多數(shù)試題的解題方法、方式不是唯一的，而是多種多樣.基礎好、能力強的考生可以通過深入的思考找到簡捷的途徑，快速解決問題，而基礎一般、能力中等的考生運用基本的方法也能解決問題，只是作答比較繁瑣、用時較多[4].減輕中小學生不合理的學業(yè)負擔，長期以來備受學校、家長和社會關注.教育要遵循教育規(guī)律，科學提升精準教學的效率，讓學生更好地發(fā)展.

愛因斯坦曾在《培養(yǎng)獨立思考的教育》一文中表達過：“負擔過重，必導致膚淺.”一方面試題越來越靈活，另一方面教學要求增質(zhì)減負.如何解決這看似不可調(diào)和的矛盾？這就需要教師把準方向，在“理解數(shù)學、理解學生、理解教學、理解技術”基礎上進行精準教學. 學之道在于悟，教之道在于度.造成現(xiàn)在學生負擔較重的一個重要原因是課堂上的二級結(jié)論過多.何為二級結(jié)論？筆者認為二級結(jié)論是針對考試而衍生的名詞，其相對于一級結(jié)論而言，不同知識儲備的人對二級結(jié)論的認定也不相同.我們常常把教材中的公理、定義、定理、基本公式作為一級結(jié)論，而二級結(jié)論就是由這些一級結(jié)論得到的結(jié)論，它們一般是有利于考試的一些經(jīng)驗性結(jié)論.二級結(jié)論好比是建在兩座高山山腰之間的棧道，從一座山峰到另一座山的高峰，無需先到山腳下再進行攀登，而是從山腰的這個棧道快捷地到達，它是“智者”經(jīng)常涉足的一條省時省力的捷徑.隨著學科的發(fā)展和人們認知水平的普遍提高，以前的二級結(jié)論可能會升級為一級結(jié)論，又挖掘出更新的二級結(jié)論（三級結(jié)論、四級結(jié)論……，由于級別區(qū)分的界限模糊，可將其統(tǒng)稱為二級結(jié)論），導致二級結(jié)論數(shù)目眾多，適用范圍越來越窄（對某些條件更具針對性），技巧性越來越強.學生掌握二級結(jié)論的好處是：直接運用于客觀題，明確解答題的結(jié)論與方向然后再進行規(guī)范的表達.教師講授二級結(jié)論的反饋：（1）學生對教材的理解與使用不到位，不同于教材的結(jié)論往往更能引發(fā)學生的興趣，補充二級結(jié)論的教師往往能獲得多數(shù)學生的認同、依賴甚至崇拜;（2）能夠掌握二級結(jié)論的學生解題效率更高;（3）對資優(yōu)生錦上添花，使他們視野更開闊，理解得以深化，認知水平得以提高，興趣得以提升;（4）囿于教師水平和教學時間，只有結(jié)果而無過程的結(jié)論加大學生知識識記的容量，但沒有真正理解只會讓學生的數(shù)學學習雪上加霜.事實上，學生死記硬背的結(jié)論在考試中也難以將其應用，只要掌握好一級結(jié)論并總結(jié)積累數(shù)學活動經(jīng)驗，就會自然而然地發(fā)現(xiàn)并理解常用的二級結(jié)論.近年來，高考客觀題使用二級結(jié)論的試題逐漸減少，解答題的解題方向也更明晰，能夠直接套用二級的試題越來越少.高考表面在反套路與反押題，實質(zhì)是淘汰那些淺嘗輒止只想走捷徑的學生.理科第20題的背景是否需要在課堂上講授？筆者認為完全沒有必要，即使教師講了，學生也未必能聽得懂、分得清、用得上，只會讓絕大多數(shù)學生具有挫敗感.為了避免學生“吃不飽”，可對具有強烈數(shù)學興趣的學生給予個別指導.讓不同的學生學習不同的數(shù)學，讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.

3.4 提高試題質(zhì)量 實現(xiàn)教—學—考一致性

客觀題能考查學生視角的獨特性與思維的靈活性，但也存在少數(shù)學生“碰巧”的可能，無法體現(xiàn)學生的思維過程.如部分學生解答第9（12）時出現(xiàn)了“不妨設四棱錐的底面是正方形”，用特殊代替一般，認知理解錯誤但答案正確.試卷容量較大，學生臨場去想，沒有足夠的時間與精力去做更多可能會做的題，學生更期待在平時將題型練熟.因此，筆者建議試卷可以參考新高考試卷減少單選題、增加多選題（多選題比單選題難度增大，對學生知識精度的要求更高，更能客觀地反映學生的真實水平），減少試題數(shù)量（或者增加數(shù)學考試時間）.

高考是教與學的風向標與指揮棒.實現(xiàn)教—學—考的一致性是我們要努力的方向與目標.當前師生更多聚焦解題的性價比，教與學中對學生長遠發(fā)展的關注度遠遠低于高考可能取得的分數(shù).如，部分師生放棄通過努力就能夠解決的問題，轉(zhuǎn)而對常規(guī)問題進行專項強化等.因此，筆者建議命題可加大開放度，評卷賦分（在一定規(guī)則指導下）增加靈活度，實現(xiàn)客觀性與主觀性的統(tǒng)一，讓學生優(yōu)秀的想法或解法在分數(shù)上有所體現(xiàn).如理科第18題第（2）問解法1與解法2對點C在平面ABD上的投影“設而不求”，思維含量不高，而解法3需要確定點C在平面ABD上的投影的位置，對學生的思維和推理能力要求較高，出錯的可能性更大，理應獲得更多的收益.

參考文獻：

[1]鄭良.聚焦核心素養(yǎng) 凸顯數(shù)學本質(zhì)——2021年高考數(shù)學全國乙卷試題評析與教學啟示[J].中小學課堂教學研究，2021（9）：54-59.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系 [M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]中國人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[4]晨旭.突出邏輯推理 加強應用能力考查——2014年全國高考數(shù)學試題評析[J].中國考試，2014（10）：14-17.