錯(cuò)出來(lái)的精彩

親愛的讀者朋友，請(qǐng)看一道去年某小學(xué)畢業(yè)測(cè)試卷的“壓軸題”（如圖1）。建議您閱讀全文前，先用幾分鐘時(shí)間“下水”試一試。

您的答案是多少？是不是4284元？

今年總復(fù)習(xí)時(shí)，我讓學(xué)生練習(xí)這道題，班級(jí)正確率高達(dá)90%，挺令人滿意的結(jié)果。但班內(nèi)公認(rèn)的“數(shù)學(xué)大咖”王睿沒得分，原本“正確”的解答被他劃去了，讓人頗為意外和不解。憑他的實(shí)力，不應(yīng)該有困難的。因此，評(píng)講這道題時(shí)，我特意讓他來(lái)說(shuō)說(shuō)想法。

王睿站起來(lái)就說(shuō)：“這是一道錯(cuò)題，根本沒法做?！?/p>

“錯(cuò)題？”我和其他學(xué)生都有點(diǎn)懵。

他舉起他的答卷指給我看。我這才注意到，他的答卷上其實(shí)保留了一個(gè)示意圖（如圖2）。見我還是沒明白，他一邊指著弧線的拼接處，一邊自信地說(shuō)：“這兒的‘彎度變了，這四塊陰影拼出來(lái)的根本就不是一個(gè)圓！”他這么一說(shuō)，我終于明白了示意圖的意思，心想：“完了完了，攤上事了！”

臺(tái)下的學(xué)生依然一頭霧水。

王睿更來(lái)勁了，沒等我發(fā)話，就直接踏上講臺(tái)，連講帶寫地開始了他的陳述：“你們的做法是不是把四塊陰影往中間一擠、一拼，然后求出這個(gè)半徑為3米的圓的周長(zhǎng)，再加上8條3米的半徑，就以為求出了陰影的周長(zhǎng)？”

“是??！”多數(shù)人都是這么想的，也有少數(shù)學(xué)生說(shuō)是先算出一個(gè)90°扇形的周長(zhǎng)，再乘4，求出陰影部分的總周長(zhǎng)，進(jìn)而求出需要的錢數(shù)。

“你們的方法，都犯了一個(gè)同樣的錯(cuò)誤，那就是四塊陰影往中間一壓，得到的并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓，而是一個(gè)不方不圓的圖形?！蓖躅？粗蠹也唤獾难凵瘢杆儆猛队罢故玖怂氖疽鈭D。接著，拿筆在兩段弧線的拼接處反復(fù)勾畫，強(qiáng)調(diào)那兒的“曲度”發(fā)生了改變。

教室里一片安靜。

但真正緊張的還是我——我選了一道“錯(cuò)題”讓學(xué)生做！去年那么多學(xué)生做了這道題，那么多老師講評(píng)了這道題！怎么收?qǐng)觯?/p>

是表?yè)P(yáng)王?！罢鎱柡Α保€是說(shuō)“錯(cuò)題就不管了”？是努力摳摳字眼維護(hù)命題老師和我的權(quán)威，還是把題改得嚴(yán)謹(jǐn)一些再做一次？

好像都不合適。

平時(shí)工作中，這樣的“差錯(cuò)”并不少見，比如看錯(cuò)、算錯(cuò)。每當(dāng)發(fā)生這種情況，往往是教師的一句“搞錯(cuò)了”后，學(xué)生就用大度的笑聲化解尷尬。但今天是我和命題老師都“想錯(cuò)”了，還能回避嗎？

華應(yīng)龍老師說(shuō)過：“人生自古誰(shuí)無(wú)錯(cuò)？錯(cuò)若化開，成長(zhǎng)自來(lái)。”我們應(yīng)主動(dòng)接納“差錯(cuò)”，并努力將這些“差錯(cuò)”轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)資源，進(jìn)而“化錯(cuò)養(yǎng)正”。

冷靜下來(lái)的我，決定試著請(qǐng)學(xué)生來(lái)“化”這個(gè)“錯(cuò)”。

“同學(xué)們，這真不是老師故意設(shè)置的陷阱！去年六年級(jí)的學(xué)生和老師，包括命題的老師都掉進(jìn)去了，說(shuō)明這道題值得我們好好討論。而且能發(fā)現(xiàn)它有問題，說(shuō)明你們很厲害啊！”我的坦誠(chéng)，獲得了學(xué)生的認(rèn)可。于是，我把話語(yǔ)權(quán)徹底交給了學(xué)生：“關(guān)于這道題，我們最應(yīng)討論哪些方面？”一番交流，大家認(rèn)為“老師為什么會(huì)出錯(cuò)？”和“遇上這樣的錯(cuò)題該怎么辦？”這兩個(gè)問題應(yīng)好好討論。雖然我心里沒底，還是點(diǎn)頭同意了。經(jīng)過幾分鐘的獨(dú)立思考和組內(nèi)交流，開始了全班分享。

首先，交流問題“老師為什么會(huì)出錯(cuò)”。同為“數(shù)學(xué)大咖”的李思遠(yuǎn)邊畫示意圖（如圖3）邊說(shuō)：“老師，我知道命題老師為什么會(huì)出這樣的錯(cuò)了，他應(yīng)該是受了這道題的影響。”

李思遠(yuǎn)一手指著他畫的示意圖，一手舉起試卷，接著說(shuō)道：“命題老師應(yīng)該是覺得這道題中的圓也可以像長(zhǎng)方形一樣，往中間一壓就會(huì)組成一個(gè)新的圓。但環(huán)島是一個(gè)圓，鋪了兩條小路后，圓周就只剩下4條曲線了。曲線的彎曲度并不會(huì)因?yàn)殇伮范淖?，?duì)應(yīng)的半徑還是原來(lái)的4米，而不是現(xiàn)在看到的3米，也就是說(shuō)，以圖中的直角頂點(diǎn)為圓心，以3米為半徑畫出的弧線不是這樣的。因此，這四塊陰影是拼不成一個(gè)圓的，我們也不能用3米為半徑來(lái)計(jì)算曲線的長(zhǎng)?！?/p>

李思遠(yuǎn)的思路很清晰，但多數(shù)學(xué)生還是迷茫地看著他。

發(fā)現(xiàn)臺(tái)下的學(xué)生還是不明白，他在黑板上又畫了一個(gè)示意圖（如圖4），邊指邊說(shuō)：“這段曲線對(duì)應(yīng)的半徑是虛線標(biāo)出的這兩段，而不是實(shí)線表示的這兩段，而這樣的四段曲線拼出來(lái)的，就是王睿剛才畫的那個(gè)有點(diǎn)畸形的圓?！?img src="https://cimg.fx361.com/images/2024/07/14/qkimages27062706202208270620220808-4-l.jpg"/>

教室里響起了掌聲，看來(lái)，大部分學(xué)生明白了“拼不成”的原因。

我及時(shí)小結(jié)：“看來(lái)，經(jīng)驗(yàn)是我們解決新問題的好幫手，但有時(shí)候也會(huì)幫倒忙。對(duì)待新問題，我們需要思考得更細(xì)一些。如果時(shí)間充足的話，也可以動(dòng)手驗(yàn)證驗(yàn)證，動(dòng)手又動(dòng)腦，才能有創(chuàng)造！”學(xué)生紛紛點(diǎn)頭。看來(lái)，大家都體會(huì)到了“錯(cuò)題”的價(jià)值。

“老師，我突然覺得這道題不一定錯(cuò)了呢！”王睿語(yǔ)出驚人，“拼接后肯定不能當(dāng)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓來(lái)算，但我們可以不拼啊。我們可以先算出半徑是4米的圓的周長(zhǎng)，再減去4段“路口”小曲線的長(zhǎng)。每段小曲線的長(zhǎng)度不好算，但與路寬2米的差距也就一點(diǎn)點(diǎn)，我們可以當(dāng)作2米，題目中問的是‘至少要多少錢，至少就可以是近似數(shù)吧。”

教室里瞬間就炸鍋了，“就是，近似！”“只要差得不多就行了！”“這不算是錯(cuò)題！”

這其實(shí)也是我意識(shí)到這道題有問題時(shí)，想到的應(yīng)對(duì)辦法之一，現(xiàn)在由學(xué)生自己提出來(lái)，真好。我做出為難的樣子問道：“那這道題究竟是不是錯(cuò)的？”

“我覺得這道題沒錯(cuò)，但不是近不近似的原因。”一直沒發(fā)言的沈思竹說(shuō)道，“大家現(xiàn)在都理解為是在半徑為4米的圓形環(huán)島中鋪了兩條路，所以剩下的部分拼不成一個(gè)圓。但也可能本身就是一個(gè)半徑為3米的圓形綠地，先分成四個(gè)扇形，然后再用這四個(gè)扇形鋪成的這個(gè)環(huán)島，所以，這道題沒錯(cuò)啊。”

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，再次認(rèn)為這道題沒錯(cuò)。

這個(gè)答案也完全在我預(yù)料中。我微笑著說(shuō)：“解鈴還須系鈴人，正解得問出題人。究竟是什么意思，還是問問出題老師吧？”

我的話音剛落，就有學(xué)生插嘴道：“不用問，就是錯(cuò)的！第一句話就說(shuō)了，這是一個(gè)‘圓形的環(huán)島?！?/p>

這下鐵證如山了，“圓中鋪路”，這果然是一道“錯(cuò)題”。

“其實(shí)，這樣的‘錯(cuò)題平時(shí)也不少啊。特別是那些判斷題，好多毛病哦！我覺得老師應(yīng)該給我們說(shuō)理由的機(jī)會(huì)。比如‘圓的半徑都一樣長(zhǎng)這道題，如果都不是同一個(gè)圓，還有比較的必要嗎？就像我問你‘正方形的四條邊一樣長(zhǎng)，算對(duì)還是錯(cuò)呢？要是我當(dāng)老師，一定不出這樣的題去為難學(xué)生，只要他真正明白道理就行了。”李思遠(yuǎn)思考得果然很遠(yuǎn)。

聽聽學(xué)生的“真心話”，做一個(gè)安靜的欣賞者，真好。

見時(shí)機(jī)已成熟，我問學(xué)生：“各位同學(xué)，我們花了這么多時(shí)間，討論這道‘錯(cuò)題，到底有沒有意義呢？”

“有意義，其實(shí)剛才沈思竹都已經(jīng)幫出題老師改掉了，就改成‘這是4個(gè)半徑為3米的90°扇形組成的環(huán)島就行了，改后的題還是很有挑戰(zhàn)性的?！睆堉敲骱芸隙ǖ卣f(shuō)。

“我也覺得很有意義。如果是在生活中解決真實(shí)問題，就算不改題，也是可以通過近似計(jì)算來(lái)處理的——先算出大圓的周長(zhǎng)，再減去4個(gè)缺口，每個(gè)缺口算作2米。但考試時(shí)、學(xué)習(xí)時(shí)可不行，數(shù)學(xué)必須嚴(yán)謹(jǐn)，當(dāng)成圓來(lái)算，是對(duì)題意的理解有誤?！鄙蛩贾窈?jiǎn)直就是我的代言人。

“那考試時(shí)遇到這樣的問題，我們究竟應(yīng)該怎么做呢？”我接過話題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“靈魂拷問”。

“當(dāng)然要做啊，萬(wàn)一是我們自己想偏了，豈不是白白丟分。只是，如果覺得題目有問題，我們可以在下面寫上我們的疑問，說(shuō)不準(zhǔn)老師還會(huì)給附加分呢！”張智明的回答獲得一片掌聲。我也適時(shí)補(bǔ)充道：“是的，出錯(cuò)題、做錯(cuò)題都不可怕，可怕的是輕易放棄，不去反思錯(cuò)因?！?/p>

后來(lái)的課堂，還談到了“按原題的表述有沒有辦法計(jì)算出準(zhǔn)確的結(jié)果？”“當(dāng)成圓來(lái)算與精確結(jié)果之間有多大的差距？”“圖中標(biāo)注大圓的直徑8米是不是規(guī)范？”“題目中的圖是不是誤導(dǎo)了我們？”等問題。

事情已過去快一個(gè)月了，一些細(xì)節(jié)已開始變得模糊。但每每回味，總會(huì)有新的體悟和想法，我對(duì)“化錯(cuò)”的感悟也愈加深刻。

平等的課堂最精彩。這是一堂充滿意外的課，卻無(wú)比精彩。究其原因，一定程度上緣于這道“錯(cuò)題”（實(shí)則是一道超出小學(xué)生知識(shí)范圍的題，利用勾股定理和三角函數(shù)可求解，學(xué)生最初的答案應(yīng)算作錯(cuò)解）。因?yàn)槭恰板e(cuò)題”，學(xué)生就有了敢于“冒犯”教師的勇氣；因?yàn)槭恰板e(cuò)題”，教師就少了“聽我講”的霸氣?！板e(cuò)題”，客觀上促成了課堂的平等。

講理的課堂最精彩。因?yàn)榻處煛爸v理”，學(xué)生才能充分地“講理”，最終，讓教師和學(xué)生看到課堂的精彩。

“化錯(cuò)”的課堂最精彩。我們不僅要鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地站起來(lái)、勇敢地說(shuō)出來(lái)，更應(yīng)多一些“化差錯(cuò)為資源”的大氣，自覺地“化錯(cuò)為正”，讓學(xué)生更多一份質(zhì)疑的勇氣。

不論誰(shuí)的“錯(cuò)”，皆可“化”出精彩。

（沈勇，特級(jí)教師，四川大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)小學(xué)，郵編：610047）