數(shù)形結(jié)合巧解二次函數(shù)的問題

摘" 要：數(shù)與形密切聯(lián)系，相輔相成，它們相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，融為一體。直觀圖像讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化。有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”，體現(xiàn)的就是數(shù)形結(jié)合的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù);初中數(shù)學(xué)

數(shù)與形是初中數(shù)學(xué)永恒的話題，二次函數(shù)學(xué)習(xí)最常用的方法。數(shù)與形結(jié)合可以簡化解題思路，簡化解題步驟與過程。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。培養(yǎng)放開思路，培養(yǎng)“敢于畫圖，善于用圖”。二次函數(shù)問題借助圖像把復(fù)雜、抽象的問題變得直觀明了?，F(xiàn)從“由數(shù)畫形，以數(shù)助形”“由形思數(shù)，以形助數(shù)”兩方面談?wù)勼w會。

一、以數(shù)助形——挖掘圖形中的數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)法解決圖形問題

（一）方程不等式思想助拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題

二次函數(shù)圖像的開口方向大小、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等都與其系數(shù)a、b、c及函數(shù)值緊密相連。拋物線在坐標(biāo)系中具體位置取決于a、b、c，開口方向需對a進(jìn)行分類討論，對稱軸位置對a、b討論，函數(shù)圖像解答比較麻煩。如果將函數(shù)問題代數(shù)化，看成方程不等式的問題，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，就省去對a、b分類討論的麻煩。

例1" （1）拋物線y=2x2+2（k-1）x-k（k為常數(shù)）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個數(shù)是__________。

【答案】" 3個

【思路點(diǎn)撥】" 交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化解方程。令y=0，得出關(guān)于x的一元二次方程，由△gt;0得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，且與y軸有一個交點(diǎn)。

（2）已知關(guān)x的二次函數(shù)y=x2-ax+a-1的圖像與坐標(biāo)軸有且只有2個公共點(diǎn)，則a=__________。

【答案】" 1或2

【思路點(diǎn)撥】" 二次函數(shù)圖像，開口向上，二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)，分情況進(jìn)行討論，①頂點(diǎn)在x軸上時，與x軸有一個交點(diǎn)，與y軸有一個交點(diǎn);②拋物線過原點(diǎn)時，分情況計(jì)算即可。

【詳解】" 分類討論

情況1：當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時，Δ=a2-4（a-1）=0解得a=2;

情況2：當(dāng)拋物線過原點(diǎn)時，則a-1=0，a=1，

綜上所述a=1或2，

故答案為：1或2。

【點(diǎn)睛】" 考查拋物線與x、y軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答，借助一元二次方程根的情況解答。

（二）對稱軸的距離大小助求點(diǎn)的位置

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像具有對稱性，對稱軸一般是y軸或平行y軸，函數(shù)值相等時自變量和的一半是對稱軸。對稱軸x=b/2a-，當(dāng)agt;0，函數(shù)值越大圖像上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大。當(dāng)alt;0，圖像上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小。a≠0時，函數(shù)值相等則點(diǎn)離對稱軸距離相等。反之，由離函數(shù)值大小知點(diǎn)離對稱軸遠(yuǎn)近。

例2（2021年莆田質(zhì)檢）" 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為a-b+c且M（-4，c），N（-3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）中只有兩個點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖像上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說法正確的是（" " ）

A. 這兩點(diǎn)一定是M和N

B. 這兩點(diǎn)一定是Q和R

C. 這兩點(diǎn)可能是M與Q

D. 這兩點(diǎn)可能是P和Q

【答案】" C

【思路點(diǎn)撥】" 由最大值可推知拋物線開口向下，對稱軸x=-1。函數(shù)值越小，圖像上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)。n+1gt;n判斷R比Q離對稱軸近，實(shí)際2≤3，R比Q離對稱軸遠(yuǎn)。由此有Q和R至少有一個的點(diǎn)不在圖像上。N、P的縱坐標(biāo)相同，由代數(shù)運(yùn)算=-1從而可知N、P關(guān)于對稱軸對稱。結(jié)合選項(xiàng)推得M、Q可能不在圖像上，答案C。

【舉一反三】" 已知函y=ax2+bx+c數(shù)y=ax2+bx+2的圖像與x軸交于A（3-m，0）和B（m+1，0）， 點(diǎn) A在點(diǎn)B的左側(cè)，（m），給出下列四個點(diǎn)的坐標(biāo)P（-1，m2-2），Q（3，m- 1），M（4，m2+1），N（2，-4a+2）其中一定不在該二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)是（" " ）。

A. 點(diǎn)P和點(diǎn)N

B. 點(diǎn)Q與點(diǎn)N

C. 點(diǎn)P與點(diǎn)M

D. 點(diǎn)Q和點(diǎn)M

【答案】" C

【點(diǎn)睛】" 借助函數(shù)的最值、對稱軸、開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識判斷點(diǎn)是否在圖像上。把函數(shù)的點(diǎn)問題，借助的數(shù)計(jì)算，以數(shù)助形判斷出點(diǎn)的位置。

二、以形助數(shù)——通過圖形，使數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化

心中有圖，處處有路。多數(shù)優(yōu)生對解壓軸題的障礙之一：心中無圖，望“圖”生畏，看不到“圖”的本質(zhì)，畫不出或不敢畫符合條件的圖。解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖像直觀形象地得出結(jié)論，避免了煩瑣復(fù)雜的計(jì)算，常常產(chǎn)生出奇制勝的效果。

（一）拋物線上點(diǎn)與對稱軸距離比較數(shù)的大小

數(shù)的大小借助二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的離對稱軸的遠(yuǎn)近 。二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），對稱軸x=-，圖像上兩點(diǎn)坐標(biāo)A（x1，y1）B（x2，y2）且x1lt;x2，比較與-大小，當(dāng)agt;0時，時，得y2gt;y1;時，得y2lt;y1。當(dāng)alt;0時，同理可推。

例3" 已知點(diǎn)A（x1，y1）B（x2，y2）在二次函數(shù)y=-（x-m）2-m+1（m為常數(shù)）的圖像上，x1lt;x2，x1+x2gt;2m，且則下列判斷正確的是（" " ）。

A. y1gt;y2

B. y1=y2

C. y1lt;y2

D. y1≤y2

【思路點(diǎn)撥】" 由x1+x2gt;2m得，由題可知對稱軸x=m，由a=-1lt;0，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，則得y1gt;y2。

【點(diǎn)睛】" 由圖像的點(diǎn)找出數(shù)的大小，由數(shù)得出解。圖像上任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和的一半數(shù)與對稱軸數(shù)比較，在圖像上直觀反映在對稱軸的左右兩邊的點(diǎn)離對稱軸遠(yuǎn)近，由點(diǎn)的位置直觀得出y1、y2的大小。

（二）二次函數(shù)圖像特殊點(diǎn)與坐標(biāo)軸關(guān)系解數(shù)問題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖像上的特殊點(diǎn)與坐標(biāo)軸關(guān)系可得出由數(shù)a的大小，進(jìn)而得出圖像開口，畫出對稱軸，借助圖像由二次函數(shù)的性質(zhì)得出解。解題過程中，由“數(shù)”得出“形”，借助圖像得出二次函數(shù)有關(guān)的解問題。

例4（2021年洛江區(qū)質(zhì)檢）" 若二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖像過點(diǎn)A（0，-1），B（-2，y1），C（3，y2），D（，y3）且與x軸沒有交點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系（" " ）。

A. y3gt;y2gt;y1

B. y1gt;y2gt;y3

C. y1gt;y2gt;y3

D. y2gt;y1gt;y3

【思路點(diǎn)撥】" 拋物線過A點(diǎn)且與x軸沒有交點(diǎn)，結(jié)合圖像可判斷alt;0，再求出拋物線的對稱軸直線x=1，接著比較B，C，D三點(diǎn)到直線x=1的距離大小，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷y1，y2，y3的大小。

【解析】" ∵ 拋物線過A（0，-1）而拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，

∴ 拋物線開口向下，即alt;0。

∵ 拋物線的對稱軸為直線x=-=1，

而B點(diǎn)到直線x=1的距離最大，

D點(diǎn)到直線x=1距離最小。

∴ y1lt;y2lt;y3

【點(diǎn)睛】" 借助坐標(biāo)及圖像將函數(shù)賦予幾何意義，依靠幾何圖形直觀解決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運(yùn)算。

（三）二次函數(shù)圖像助方程解問題

例5" 若a、b（alt;b）是關(guān)于x的一元二次方程（x-a）（x-b）=0的兩個根，m、n（mlt;n）是關(guān)于x的方程1-（x-a）（x -b）=0的兩根，則a、b、m、n的大小關(guān)系是（" " ）。

A. mlt;alt;blt;n

B. alt;mlt;nlt;b

C. alt;mlt;blt;n

D. mlt;alt;nlt;b

【答案】" A

【分析】" 依題意畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）圖像草圖，由圖像直接得出a、b、m、n的大小。

【解析】" 依題意，畫出函數(shù)y=（x-a）（x-b）的圖像，如圖所示。

函數(shù)圖像與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b（alt;b），a、b是關(guān)于x的一元二次方程（x-a）（x-b）=0的兩個根，方程1-（x-a）（x-b）=0轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=1，方程的兩根是拋物線y=（x-a）（x-b）與直線y=1的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)m、n（mlt;n），畫出y=1圖像，由圖可知mlt;alt;blt;n，故選A。

【點(diǎn)睛】" 解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖像直觀形象地得出結(jié)論，避免了煩瑣復(fù)雜的計(jì)算，常常產(chǎn)生出奇制勝的效果。

在日常有意識培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，形成數(shù)形統(tǒng)一意識，提高解題能力，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)中有圖，圖中有數(shù)，心中有數(shù)形”。圖往往是解決難題的重中之重，準(zhǔn)確畫出符合條件的圖，問題往往就能輕松破解，尤其要體會“數(shù)”與“形”在函數(shù)中各自的優(yōu)勢與局限性，相互補(bǔ)充。

總之，二次函數(shù)的問題，要認(rèn)真審題，分析、挖掘題目的隱含條件;要善于將復(fù)雜問題分解為基本問題;要善于聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得出的結(jié)論。在“畫出符合條件的圖”的過程中，本身就蘊(yùn)含著對大量的知識內(nèi)容和解題思路方法的回憶，對解題會產(chǎn)生無限的聯(lián)想，尤其是重要基本圖形的一些重要結(jié)論會不斷浮現(xiàn)，對減輕問題的難度有著至關(guān)重要的作用，可以說能真正地“畫圖”就離問題解決不遠(yuǎn)了。

（責(zé)任編輯：汪旦旦）

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉雪清. 數(shù)學(xué)解題思想方法淺談[J]. 現(xiàn)代教育，2014（09）：84.

[2] 索朗卓嘎. 淺談對數(shù)學(xué)解題思想方法的認(rèn)識[J]. 傳奇·傳記文學(xué)選刊（教學(xué)研究），2013（05）：57.

[3] 張程燕. 數(shù)形結(jié)合巧運(yùn)用，零點(diǎn)分布妙化解——淺談對二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題解題教學(xué)的研究[J]. 數(shù)學(xué)之友，2021（01）：62-65.

[4] 黃加陽. 數(shù)形結(jié)合思想在解二次函數(shù)問題中的應(yīng)用[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（11）：45-47.

[5] 謝蓓蓓. “數(shù)形結(jié)合”巧解二次函數(shù)問題[J]. 初中生世界，2018（47）：42-45.

[6] 孫德萍. “數(shù)形結(jié)合”巧定二次函數(shù)表達(dá)式[J]. 初中生世界，2019（47）：50-52.

[7] 姜天柱. “數(shù)形結(jié)合”巧求二次函數(shù)在特殊自變量范圍內(nèi)的最值問題[J]. 新課程導(dǎo)學(xué)，2017（35）：54.

[8] 馬曉銘. 數(shù)形結(jié)合解二次函數(shù)的圖像信息題[J]. 初中生世界，2017（43）：36-37.

[9] 高雅潔. 淺談應(yīng)用二次函數(shù)的思路巧解數(shù)學(xué)不等式[J]. 高考（綜合版），2013（06）：99.

[10] 唐渭明. 探析“數(shù)形結(jié)合”，妙解二次函數(shù)、方程、不等式問題[J]. 數(shù)理化解題研究（初中版），2013（03）：13-14.

[11] 徐生根. 利用數(shù)形結(jié)合 巧解二次函數(shù)問題[J]. 數(shù)學(xué)大世界（初中版），2011（10）：27-28.