PBL教學模式在數學概念教學中的應用

摘 要：隨著基礎教育改革的逐步深入，有關PBL教學模式的研究逐漸增多。數學概念具有抽象、概括的特點，很多學生在初步學習數學概念時常感到困難，甚至出現抵觸情緒。PBL教學模式從生活情境入手，用問題引導學生親歷數學概念的形成過程，促進學生樂于學習、學會學習。文章以“任意角”的教學設計為例，探討了PBL教學模式在數學概念教學中的應用。

關鍵詞：PBL教學模式;數學概念;教學設計

作者簡介：陳家瑞（1985—），女，南寧師范大學。

錢妍如（1999—），女，南寧師范大學。

韋 宏（1968—），男，南寧師范大學。

郭 倩（1999—），女，南寧師范大學。

一、問題提出

PBL教學模式是一種以問題為基礎的教學模式，堅持以學生為主體，以問題為中心。PBL教學模式的主要特點有：創設真實生活情境、設計問題驅動、注重合作學習。PBL教學模式依托真實的生活情境，其主要教學設計為問題串，主要學習方式是小組合作[1];其強調將探究問題的主導權交給學生，培養學生的問題解決能力和創新能力。數學教學總是與提出問題和解決問題緊密聯系。《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出，應注重發展學生發現、提出問題與分析、解決問題的能力[2]。PBL教學模式通過生活中的數學問題引發學生思考，利用問題串引導學生自主探究，培養學生的問題解決能力，與課程標準對高中數學教學提出的要求相契合。

抽象概括性是數學概念的一個顯著特點。部分教師喜歡把數學概念灌輸給學生，再通過一定的作業實現教學目標。這種教學模式難以發揮學生的主動性，不符合當代以學生發展為本、落實“立德樹人”根本任務的理念與要求。PBL教學模式從真實生活情境入手，以問題串為主線，重在以問題引發思考、由問題引領思考[3]。PBL教學模式通過引導學生主動參與到概念的生成過程中，體驗分析問題、探究問題、解決問題的過程，讓學生感受數學學科的理性精神。由此可見，應用PBL教學模式于數學概念教學大有裨益。三角函數是最典型的周期函數，任意角是學生學習三角函數的起始點和知識基礎。本文選取了“任意角”教學設計作為案例，以此探討PBL教學模式的應用。

二、教學分析

（一）教材分析

“任意角”是人教A版高中數學必修四第一章第一節的內容。這一章節的主線內容是三角函數，而任意角是學習三角函數知識的基礎，也是描述函數周期性的重要工具。任意角知識起著承上啟下的作用，為學生往后學習角的和差倍分、解析幾何等知識點打下基礎。

（二）學情分析

學生在初中已學過有關角的基本知識，掌握了一些基本的集合語言，同時對動態角、數系的擴充和函數有一定的理解。絕大部分高中生的邏輯思維已初步形成，他們能夠運用邏輯推理、歸納演繹的數學方法分析角的旋轉量和旋轉方向問題，且能概括一些簡單概念。但是，不少高中生的思維仍然缺乏嚴謹性，他們在動態分析問題這一方面還不夠成熟，難以直接理解周期性變化、旋轉量、旋轉方向的區分等知識點的本質。

（三）教學目標

1.經歷任意角概念的生成過程，認識學習任意角的重要性與必要性。

2.結合生活情境，歸納、總結并理解任意角的概念，認識任意角在周期模型中的重要性。

3.理解象限角的概念，能說出特定角所屬的象限，并能在直角坐標系中正確表示任意角;掌握用集合表示終邊相同的角的方法。

4.感受任意角概念的生成過程，體會數學抽象、數形結合、特殊到一般等數學思想方法在數學學習中的應用。

（四）教學重點

任意角概念的推廣及表示。

（五）教學難點

任意角概念的形成與建構;終邊相同角的集合表示方法。

三、教學過程

（一）引入新課

問題1：同學們還記得對0°到360°角的定義嗎？

問題2：觀察老師手中的時鐘，思考以下三個問題。

（1）若老師的時鐘慢了10分鐘，怎樣旋轉分針才能使其回到正確時間？

（2）若老師的時鐘快了10分鐘，怎樣旋轉分針才能使其回到正確時間？

（3）若老師的時鐘快了65分鐘，怎樣旋轉分針才能使其回到正確時間？

問題3：生活中還有許多關于角的實例，那存在角度大于360°的角嗎？試著說一說。

師生活動：先提問關于角的定義，讓學生回顧舊知并搶答。緊接著教師拿出準備好的時鐘，拋出三個基于時鐘提出的現實生活問題，引導學生探討問題答案，并選取學生作答，輔以鐘表進行演示。最后，讓學生列舉生活中超過360°的角的例子，以此引入新課。

設計意圖：旋轉角度大于360°的角突破了學生認識中角的范圍，說明他們關于角的認識需要拓展。教師先通過復習初中關于角的知識，提及學生熟悉的始邊和終邊，為角的概念的推廣做好鋪墊;再選取課本中的生活實際問題并加以延伸，使問題導向更明確，幫助學生直觀地理解順時針旋轉和逆時針旋轉均可以校準時間;最后從鐘表校準這一現實生活情境中提取出任意角的數學概念，提高學生學習新概念的積極性。

（二）探索新知

1.探索任意角的定義

問題1：

（1）在剛剛討論的鐘表問題中，指針可以用順時針旋轉和逆時針旋轉兩種旋轉方式進行校準，如何區分這兩種方向不同的角？

（2）如果指針不進行任何旋轉，形成的角是多少度？

追問：始邊和終邊重合的角就是零角嗎？

請同學們類比正負數的概念，思考什么是正角，什么是負角。

問題2：課堂開始時提到的校準時鐘的三種情況怎么用角來表示？

問題3：請動手畫出210°、-150°的角。

師生活動：先給出問題1，組織學生以小組為單位共同交流，探討問題答案，選取小組組長作答，再鼓勵學生互評。學生通過問題1認識三種角的概念后，教師幫助學生明確任意角的概念，隨后讓學生獨立思考再搶答問題2。最后，讓學生自行完成問題3，請學生代表上臺展示并說明自己的作圖思路。

設計意圖：利用問題串循序漸進地引導學生從實際問題過渡到本節課的核心概念，再通過問題來突出定義中需要注意的關鍵點，以及通過追問來辨析概念。提及學生熟悉的正負數，類比推出任意角中的正角和負角。探究問題答案時，注重組織學生合作交流、思考嘗試，充分發揮學生的主動性。借助問題2中環環相扣的問題啟發學生，引導學生用正角或負角來表示鐘表校準的角度。通過設計有引領性的問題，解析教學重點，并為之后學習終邊相等的角埋下伏筆。讓學生通過畫圖加深理解，感受數形結合思想在數學學習中的應用。

2.探索象限角的定義

問題1：直角坐標系是使數學知識形象化的有力工具。想一想，如何在直角坐標系中表示角？

練習1：請分別說出處于第一、二、三、四象限，且不是0°到360°的角。

問題2：畫出-32°、328°、-392°的角，說一說它們分別是第幾象限的角。

師生活動：提出問題1，引導學習小組思考、討論，再積極發言，自行對象限角概念進行總結;再適時提出學生易忽視的知識點，如角的頂點與原點需為同一點、角的始邊與Χ軸的非負半軸需重合、終邊在坐標軸上的角不屬于任何象限角等，完善學生的討論結果，明確象限角的定義。接著，展示練習1，讓學生自主舉例，鼓勵學生自評、互評，重點分析學生的典型答案或錯誤范例。最后，用問題2幫助學生進行思考探究，讓他們自行總結終邊相同的角的特點。

設計意圖：始終以問題為導向，讓學生在合作討論中理解用終邊區分象限角的原因。通過在練習中讓學生舉例，檢測并鞏固學生對象限角的理解，突出概念的本質屬性。讓學生自主探究，發現存在角的大小不同但終邊相同的角，由此引出進一步的探究。

3.探索終邊相同的角的表示方法

問題1：直角坐標系內，-32°、328°、-392°這三個角有哪些異同？

問題2：能否將所有與-32°角終邊相同的角用一個式子表示？為什么？

問題3：終邊相同的任意角α，如何用集合的形式表達出來？

師生活動：組織學生小組合作交流并發表意見。討論問題1，總結發現這三個角相差的角度是360°的整數倍。讓學生討論問題2，得出終邊相同的角可用式子“β=α+k×360°，k∈Z”來表示。再由問題3引導學生從特殊到一般歸納得出終邊相同角的一般表達。最后，針對本節課的難點進行小結，師生共同回顧知識生成過程。

設計意圖：緊扣PBL教學模式，設計三個緊密聯系且帶有導向性的問題，用緊湊的環節點燃學生的學習激情。其中，問題2和問題3引導學生體會從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法的應用，明白具體角的終邊是唯一的，但終邊相同的角有很多個。逐步推進，幫助學生理解直角坐標系中角的簡化以及角的“周而復始”的變化規律，借此突破教學難點。

（三）鞏固探究

練習1：找出大于180°，小于540°的角中與1200°終邊相同的角，并說出它屬于第幾象限。

練習2：（1）用集合表示終邊在y軸非負半軸上的角。

（2）用集合表示終邊在y軸非正半軸上的角。

（3）用集合表示終邊在y軸上的角。

練習3：集合A表示終邊在直線y=x上的角，請寫出集合A，并表示出集合中適合不等式-360°≤β≤360°的元素β。

師生活動：給出三道練習題，讓學生獨立完成，再請學生代表上臺展示，讓其他學生對代表給出的答案進行點評、糾錯，并適時總結，加深學生對概念內涵的理解。

設計意圖：因為數學教材中例1的計算相對復雜，所以教師此處可以先給學生一個“墊腳石”，即練習1;再用練習2檢測學生的知識掌握情況，并引導其進一步對任意角概念進行抽象概括;在給出前面兩題的基礎上，練習3不再設置小問，而是讓學生綜合分析與獨立思考，掌握用集合表示終邊相同角和對其進行并集運算的方法。這三道難度不斷加深的習題與本節課三個重點知識一一對應，層層推進，分化難點，體現了“特殊到一般再到特殊”的數學思想。這一環節的反饋教學，能讓學生掌握基本方法，更好地理解并集運算，增強學生學習數學的信心。

（四）歸納小結，布置作業

問題1：（1）本節課都學習了哪些新知識？

（2）你是怎樣獲得這些新知識的？

（3）你通過這節課學到了哪些數學思想方法？

課后作業：（1）必做題：課本第5頁第3、4、5題。

（2）選做題：課本第10頁第2、3題。

（課本為人教A版高中數學必修四）

師生互動：給出問題1，引導學生自行歸納本節課學習的知識，鼓勵學生踴躍發言、自評互評，適時對學生提出的內容進行點評并總結。最后，給出必做題和選做題兩個層次的習題，讓學生課后獨立完成。

設計意圖：引導學生自主總結本節課學習的內容，自評互評、取長補短，對本課教學內容進行鞏固和梳理，在調動學生思維活躍性的同時，加深學生對新學概念知識的記憶與理解。其次，布置兩個層次的課后作業，滿足不同水平學生的練習需求，低水平學生不會因為習題難度過高而喪失學習興趣，高水平學生也不會因為習題難度過低而無法有效發展能力，從而讓每個學生都能得到最適合自己的發展。

結語

PBL教學模式注重開闊學生的數學視野，發展學生在實際生活中發現數學問題、在數學視角下解決問題的能力。在數學教學中，將PBL教學模式應用于概念教學，結合生活情境創設數學問題，在教學過程中以問題為導向組織學生合作探究，讓學生積極參與數學學習，經歷數學概念的形成過程，這一教學模式符合學生的情感需求和認知發展規律[4]。本文以“任意角”的教學設計為例，展現PBL教學模式對數學教學的優化，將傳統的由教師單方面教授知識的教學過程轉變為用問題引導學生自主探究新知的過程，激發學生對數學概念的學習興趣。同時，PBL教學模式設置有引領性的數學問題，可以幫助學生明確學習過程中的探究方向，有目的地進行探究，避免部分學生因為數學概念的抽象概括性失去對新知的探索欲望，使學生主動參與課堂教學活動，深入理解數學概念的內涵。

[參考文獻]

戴夢瑋，吳曉紅.PBL教學模式的運用在高中數學教學中的困境與突破：以《任意角的三角函數》為例[J].數學學習與研究，2020（28）：151-152，155.

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

袁曉琴.PBL教學模式在高中數學課堂運用的現狀調查與實踐[D].重慶：西南大學，2020.

沈菊梅.PBL教學法在初中數學教學中的應用探究[J].數理化解題研究，2019（20）：3-4.