用作圖法巧解動態平衡問題

祁宜純(靜寧縣界石鋪中學 甘肅 平涼 743421)

動態平衡是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢的變化，但變化過程中的每一個狀態均可視為平衡狀態.解決動態平衡問題常用的方法有解析法和作圖法，解析法一般適用于物體受3個或3個以上力的作用而平衡的問題，作圖法適用于物體受3個力作用而平衡的問題，其原理是當物體受3個力作用而處于平衡狀態時，其合力為零，3個力首尾相連可構成閉合的矢量三角形，通過分析矢量三角形，各力的大小及方向一目了然.本文結合例題，對用作圖法解決動態平衡問題的方法進行梳理.

1 矢量三角形法則

題型特點：

(1)物體受3個力的作用而處于平衡狀態.

(2)3個力中有一力的大小、方向均不變(通常為重力，也可以是其他力)，另一個力的方向不變，第3個力的大小、方向均發生變化.

解題思路：

(1)明確研究對象.

(2)分析物體所受的力并根據共點力的平衡條件作出矢量三角形.

(3)在矢量三角形中找到變化的角，畫出變化后的三角形.

(4)根據有向線段的長度變化判斷各個力的變化情況.

【例1】如圖1所示，一小球放置在木板與豎直墻面之間.設墻面對球的壓力大小為FN1，球對木板的壓力大小為FN2.以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉到水平位置.不計摩擦，在此過程中( )

圖1 例1題圖

A．FN1始終減小，FN2始終增大

B．FN1始終減小，FN2始終減小

C．FN1先增大后減小，FN2始終減小

D．FN1先增大后減小，FN2先減小后增大

解析:對小球受力分析如圖2所示，由平衡條件可知，3個力可構成閉合的矢量三角形，其中重力mg大小、方向均不變，FN1的方向始終不變，FN2與重力的夾角逐漸變小，通過作圖可以看出，在此過程中FN1和FN2一直在減小，則選項B正確.

圖2 小球受力分析

素養拓展1：水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動摩擦因數為μ(0<μ<1).現對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運動.設F的方向與水平地面的夾角為θ，如圖3所示，在θ從零逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則( )

圖3 木箱受力方向分析

A．F先減小后增大 B．F一直增大

C．F一直減小 D．F先增大后減小

解析：對木箱受力分析如圖4所示，木箱受4個力：重力、支持力、滑動摩擦力和拉力F，將支持力FN和滑動摩擦力Ff合成為一個力F合.其中重力mg大小、分向均不變，F合的方向保持不變，變化的力是F，作出矢量三角形，由圖4可知，當θ從零逐漸增大到90°的過程中，F先減小后增大，選項A正確.

圖4 木箱受力構成的矢量三角形

2 等腰三角形法則

題型特點：

(1)物體受3個力的作用而處于平衡狀態.

(2)3個力中有一個力的大小、方向均不變，另兩個力方向改變但大小始終相等.

解題思路：

(1)明確研究對象.

(2)分析物體所受的力并根據共點力的平衡條件作出等腰三角形.

(3)判斷等腰三角形中頂角的變化情況，并畫出變化后的三角形.

(4)根據有向線段的長度變化判斷各個力的變化情況.

【例2】如圖5所示．用鋼筋彎成的支架，水平虛線MN的上端是半圓形，MN的下端筆直豎立．一不可伸長的輕繩通過動滑輪懸掛一重物G．現將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從C點處沿支架緩慢地向最高點B靠近(C點與A點等高)，則繩中拉力( )

圖5 例2題圖

A．先變大后不變 B．先不變后變大

C．先不變后變小 D．保持不變

解析：滑輪受力如圖6所示，將3個力首尾相接構成等腰三角形.由實際過程可知，等腰三角形的頂角先保持不變，然后減小，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小，則選項C正確.

(a) (b)

素養拓展2：目前，我市每個社區均已配備了公共體育健身器材．如圖7所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點．由于長期使用，導致兩根支架向內發生了稍小傾斜，如圖中虛線所示，但兩懸掛點仍等高．座椅靜止時用F表示所受合力的大小，F1表示單根輕繩對座椅拉力的大小，與傾斜前相比( )

A．F不變，F1變小 B．F不變，F1變大

C.F變小，F1變小 D．F變大，F1變大

(a) (b)

解析：座椅受力如圖8所示，將3個力首尾相接構成等腰三角形.兩根支架向內發生了稍小傾斜，則等腰三角形的頂角變小，繩中張力F1變小，由于座椅仍靜止則所受合力F始終為零，選項A正確.

(a) (b)

3 相似三角形法則

題型特點：

(1)物體受3個力的作用而處于平衡狀態.

(2)3個力中有一個力的大小、方向均不變，另兩個力方向都在改變.

解題思路：

(1)明確研究對象.

(2)分析物體所受的力并根據共點力的平衡條件作出矢量三角形.

(3)在圖中找到與矢量三角形相似的幾何三角形，根據相似三角形的性質，建立比例關系，進行討論.

【例3】半徑為R的光滑球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面B的距離為h，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖9所示，現緩慢地拉繩，在使小球由A到B的過程中，半球對小球的支持力FN和繩對小球的拉力FT的大小變化的情況是( )

圖9 例3題圖

A.變大，變小 B.變小，變大

C.變小，先變小后變大 D.不變，變小

(a) (b)

素養拓展3：如圖11所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質量不計的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點，另一端B懸掛一重為G的重物，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A，用力F拉繩，開始時∠BCA>90°，現使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC.此過程中，桿BC所受的力N和拉力F的變化情況是( )

圖11 拓展用圖

A.大小不變 B.逐漸增大

C.逐漸減小 D.先增大后減小

解析：以B點為研究對象，受力分析并作出矢量三角形，可以看出矢量三角形與幾何三角形ABC相似，則有

又T=G，使∠BCA緩慢變小時，邊AC和BC保持不變，AB變小，則力N保持不變，F變小．

4 圓周圖解法則

題型特點：

(1)物體受3個力的作用而處于平衡狀態.

(2)其中一個力的大小、方向均不變，另一個力的大小不變、方向改變，第3個力的大小、方向都改變.

解題思路：

(1)明確研究對象.

(2)分析物體的受力并作矢量三角形.

(3)以已知恒力的始端為圓心，以已知大小的變力為半徑作圓，根據變化過程作出不同狀態下力的矢量圖，再根據有向線段的長度判斷各個力的變化情況.

【例4】如圖12所示，在做“驗證力的平行四邊形定則”的實驗時，用M和N兩個測力計通過細線拉橡皮條的端點，使其到達O點，此時α+β=90°，然后保持M的示數不變，而使α角減小，為保持端點位置不變，可采用的辦法是( )

圖12 例4題圖

A．減小N的示數同時減小β角

B．減小N的示數同時增大β角

C．增大N的示數同時增大β角

D．增大N的示數同時減小β角

解析：以結點O為研究對象，受到3個拉力，如圖13所示分別為FM，FN，F合，將3個力構成矢量三角形(如圖所示的實線三角形)，以O為圓心，FM為半徑作圓，需滿足力F合大小、方向不變，角α減小，則動態矢量三角形如圖中畫出的一系列虛線表示的三角形.由此可知FN的示數減小同時β角減小，選項A正確.

圖13 結點受力分析

5 巧用圓周角法則

題型特點：

(1)物體受3個力的作用而處于平衡狀態.

(2)其中一個力的大小、方向均不變，另兩個力之間的夾角保持不變.

解題思路：

(1)明確研究對象.

(2)分析物體的受力并作矢量三角形.

(3)作該矢量三角形的外接圓，根據變化過程作出不同狀態下的力的矢量圖，根據有向線段的長度判斷各個力的變化情況.

【例5】如圖14所示，物體G用兩根繩子懸掛，開始時繩OA水平，現將兩繩同時沿順時針方向轉過90°，且保持兩繩之間的夾角α不變(α>90°)，物體保持靜止狀態.在旋轉過程中，設繩OA的拉力為T1，繩OB的拉力為T2，則( )

圖14 例5題圖

A.T1先減小后增大 B.T1先增大后減小

C.T2逐漸減小 D.T2最終變為零

解析：如圖15所示，以繩子結點O為研究對象，受到3根繩子的拉力，分別為T1，T2，T3，3個力構成矢量三角形CDE，作該矢量三角形CDE的外接圓，其中T1矢量箭頭將始終落在圓周上.初始時刻，T2恰好為其外接圓的直徑，當繩轉過90°時，T2=0，故T2逐漸減小，T1先增大后減小.

(a) (b)

總之，巧解動態平衡問題的方法，就是將共點力的平衡條件、矢量運算法則以及數學中的幾何圖形知識相結合，使求解過程簡潔明快、形象直觀的方法，這種方法體現了應用數學知識處理物理問題的能力.