財經類院校本科生“運籌學”課程教學研究

[摘 要] 運籌學是財經類院校本科生的一門必修課。這篇文章基于“運籌學”課程教學的特點，探討了“運籌學”課程教學中存在的問題，并針對這些問題提出了改善“運籌學”課程教學的基本思想，包括弱化數學的推導與演算;案例與實例更接地氣;線上線下相結合;研究與教學相結合等，以及改善“運籌學”課程教學的一些具體措施，包括講授之前引導學生先行思考、鼓勵學生學習后進行自我總結、鼓勵學生把相關知識點和生活聯系起來、確保學生真正理解重要概念、設計一些有趣的或者有挑戰性的題目、常見軟件工具的使用融入課堂等。

[關鍵詞] 運籌學;財經類院校;教學改革

[基金項目] 2018年度國家自然科學基金面上項目“數據驅動下基于消費者退貨行為的零售商退貨策略研究”（71971047）

[作者簡介] 李婷婷（1987—），女，山東濰坊人，理學博士，東北財經大學管理科學與工程學院副教授，主要從事管理科學與工程的教學與研究。

[中圖分類號] G642.0 ? [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）14-0157-04 [收稿日期] 2022-01-13

運籌學是20世紀30年代初發展起來的一門新興學科，其主要目的是為管理人員在決策時提供科學依據，是實現有效管理、正確決策和現代化管理的重要方法之一[1]。運籌學早期的應用主要在軍事領域。隨著科學技術和生產的發展，運籌學被廣泛應用到各個領域，在國民經濟中發揮著越來越重要的作用。運籌學的典型應用場景包括城市規劃與布局、人力資源規劃與調度、市場營銷組合規劃、投資組合管理、設備維修更新和可靠性、供應鏈管理、服務系統規劃與管理、風險管理等[2]。

在上述運籌學應用場景中，不同的管理問題對應的模型存在較大的差異，但是從數學的角度講，不同場景的模型之間可能存在一些共性的形式。例如，某些確定環境下的生產計劃模型和投資組合模型本質上都屬于線性規劃問題，多周期的庫存模型和設備更新模型都屬于動態規劃問題，它們可以采用相同的方法進行求解。按照模型的共性表現形式和共性優化方法進行劃分，就形成了運籌學的各個內容模塊，包括規劃論、圖論與網絡、排隊論、對策論以及決策論等[1]。

由于運籌學在經濟管理等諸多領域的廣泛應用，“運籌學”已經成為各個高校的經濟與管理專業的本科生的必修課。我校也開設了“運籌學”課程，它是本科生的專業基礎課且對數學基礎的要求較高，很多學生學習時都感覺難度比較大，因此有必要對“運籌學”課程的教學進行深入的探討。

一、“運籌學”課程的特點

1.系統的整體觀念。運籌學是為管理決策提供服務的，優化的是決策者所關心的問題。通常情況下，決策者追求的是整個系統的優化，而不是某個子系統的優化。運籌學研究不是對各自系統的決策行為孤立評價，而是把有關子系統相互關聯的決策綜合起來考慮，從系統整體利益出發，尋求一個優化協調的方案[2]。

2.多學科融合。在運用運籌學解決實際問題時，首先需要對問題進行定義，然后收集相關數據，對數據進行統計分析，選擇合適的方法進行建模，設計有效的算法進行求解，最后需要對解的有效性進行檢驗。因此，運籌學是一門多學科融合的學科。

3.定量模型的應用。運籌學研究往往采用對問題進行建模求解的方法進行分析。因此，學習運籌學的關鍵是建立合適的數學模型，選擇合適的方法進行理論求解或者設計合適的算法進行數值求解。

4.注重實際應用。運籌學是為解決現實生活中的具體問題而產生并發展起來的一門學科。它能為人們解決實際問題提供方法與思路，應用性極強。現實生活中很多問題的原型都是以運籌學模型為基礎的，可以用運籌學的思想去解決。而且，運籌學的應用范圍也很廣，涉及軍事、工業、管理等領域，這些領域中的問題都可以采用運籌學的方法去解決。

二、“運籌學”教學中存在的問題

1.過于重視理論教學。運籌學是一門理論性較強的應用學科，它既需要重視理論教學又需要重視實踐教學。然而，在實際的教學過程中，很多教師過于重視理論的教學，對實踐教學的重視程度不夠，讓學生感覺運籌學是一門數學課。一方面，這提高了學生學習運籌學的難度，增加了學生對于運籌學的畏懼情緒。另一方面，學生往往為了學習而學習，不知道學了運籌學有什么用處，降低了學生學習的積極性。

2.缺乏足夠的案例支撐。在案例的選擇過程中需要考慮到案例的趣味性、貼近現實生活的程度、學生參與案例的程度、與知識點的結合程度等。現在的運籌學教材大多是十幾年前編寫的，書中的案例較為陳舊，與現在的生活貼近程度不高，無法激發學生的學習興趣。因此，需要教師自己思考并尋找合適的教學案例。

3.考核形式單一。目前的考核形式僅限于筆試的形式，考核形式比較單一。可以增加課程論文和上機編程的形式。采用課程論文的形式可以考查學生解決實際問題的能力。采用上機編程的形式可以考核學生的編程能力。

4.教師與學生之間缺乏互動。傳統的運籌學課程以教師為中心，所有的教授過程全部圍繞老師展開，基本采用的都是“老師講+學生聽”的模式。教師應注意自身的引導作用，適時將學生帶入本節課所講解內容的問題情境，與學生多多探討運籌學問題的解決方法，并且提出問題與學生共同討論，讓學生成為課堂的主體，教師發揮輔助作用。

三、完善“運籌學”課程教學的基本思想

1.弱化數學的推導與演算。在運籌學的教學過程中，可以弱化數學的推導和演算，只講授必要的數學推導和證明，非必要的部分可以選擇只給學生介紹思路。例如，在線性規劃的單純形法的講解過程中，可以不講解向量方程的方法，只介紹系數矩陣的方法。在動態規劃的講解過程中，最優性定理的證明過程可以不講解。通過弱化數學的推導與演算，可以削弱學生們把運籌學當作一門數學課的印象。在學習的過程中，先入為主的畏難情緒會少很多。

2.案例與實例更接地氣，拉近與學生的距離，實現“共鳴”。現在的運籌學教材中的案例大多較為陳舊，與學生的日常生活不夠貼近。這就需要老師自己思考和設計與日常生活比較貼近的案例[3]。老師可以選擇自己在研究中遇到的問題作為案例，也可以鼓勵學生進行案例設計，這不僅可以激發學生的學習興趣，也可以鍛煉學生對生活的觀察能力、表達能力以及數學建模能力。此外，還可以鼓勵學生關注每年的大學生數學建模競賽的題目，讓學生意識到運籌學的廣泛應用。

3.線上線下相結合，進行互動式教學。相比于線下課堂，學生在線上課程平臺討論區的發言交互更加活躍[4]。因此，老師可以利用線上線下相結合的方式進行教學，將課程作業、課后閱讀材料等放到線上課程平臺，鼓勵學生在線上平臺進行討論和提問。這樣，老師可以及時了解學生學習中遇到的難點。此外，教師也可以在線上推薦一些運籌學的精品課程，以供學生參考，擴展學生的知識面。未在課上講授的知識點可以讓學生通過網絡課程進行學習，教師也可在線上課程平臺布置習題，學生自學之后需完成，以提高課堂效率，另一方面，學生也能夠在課下鞏固課上所學到的知識。

4.研究與教學相結合，激發學生的研究興趣。在教學中可以激發學生的研究興趣，吸引有科研興趣的學生繼續深造。在動態規劃部分關于機器負荷分配問題的講解中，書中介紹了給定數值情況下、線性函數形式下以及凸函數形式下的結果。這是一個很好地將教學與研究相結合的例子。可以一步一步引導學生進行思考，讓學生對科研過程有一個初步的了解。此外，老師還可以把自己研究的問題介紹給學生，引導學生獨立思考。

四、完善運籌學教學的具體措施

針對上一節提出的完善運籌學教學的基本思想，本節提出一些具體的措施，主要有以下八個方面。

1.講授之前引導學生先行獨立思考。例如，在講解求解運輸規劃問題的表上作業法之前，先引導學生思考運輸問題的數學模型是否是線性規劃模型，是否可以用單純形法進行求解，運輸問題的數學模型有什么特點等;在講解動態規劃部分的最短路問題時，先問學生怎么樣選擇一條最短路，用枚舉法可以嗎，問題規模比較大的時候怎么做。通過先讓學生思考討論的方式，激發學生的學習興趣。學生先行思考過之后再學習，會有一種恍然大悟的感覺，學習的印象比較深刻，學習的效果會比較好。

2.鼓勵學生學習后進行自我總結。在教學的過程中，筆者曾經發現學生雖然掌握了單純形法的求解過程，但是當問學生單純形法的求解思路是什么時學生往往答不上來，這說明學生并沒有真正掌握這個方法。學生通過自我總結的方式往往能起到比較好的效果。以線性規劃為例，在教授單純形法之后可以向學生提出以下問題：單純形法的基本原理是什么？單純形法最重要的步驟是什么？單純形法換基迭代本質上在做什么運算？為什么要學習對偶理論？對偶單純形法和單純形法的本質區別是什么？什么叫影子價格？如何從影子價格的角度看待檢驗數？通過一連串的啟發問題，學生不僅能將一個一個的知識點學會，而且能夠將所學的知識融會貫通。

3.鼓勵學生將相關知識點和實際生活聯系起來。運籌學教學的最終目的就在于使得學生能夠運用運籌學解決實際生活中的問題[5]。例如，在講解決策樹和效用理論時，可以給學生舉一個購買手機“碎屏險”的例子。學生在做決策的時候需要考慮到自己的手機屏幕被摔碎的概率，摔碎之后的可能的損失，以及自己對于風險的態度。可以讓學生自己畫出自己的決策樹，并利用書上所講解的內容決定自己是否應該購買“碎屏險”。通過這個例子，學生既能學會決策樹和相關的效用理論，也能認識到運籌學確實能解決實際生活中的問題。同時，也可以鼓勵學生發掘現實生活中哪些問題還可以建模為類似的模型，培養學生發現問題與獨立思考的能力。將教學內容與實際生活結合起來，可以增加教學的趣味性，激發學生的學習興趣，使學習變得相對容易一些，真正做到寓樂于教、寓教于樂，學生們能夠快樂學習。

4.確保學生真正理解重要概念。很多時候學生對于概念的理解只是一知半解，將問題換一個場景之后學生就不懂了。例如，直接讓學生用對偶單純形法求解一個線性規劃問題，學生往往都會算。可是在線性規劃的靈敏度分析部分，當某個系數發生變化使得約束條件的右端向量是原問題的非可行解且檢驗數行對應對偶問題的可行解時，可以用對偶單純形法繼續進行求解。而很多學生這個時候卻不知道要使用對偶單純形法，這說明學生并沒有理解對偶單純形法的本質。

5.設計一些有趣的或者有挑戰性的題目。例如，可以設計中秋節月餅銷售的問題：臨近中秋節商家需要訂購月餅進行銷售，月餅的需求量不確定，如何決策月餅的訂購量？再比如，核酸檢測試劑盒的數量問題：核酸檢測盒有限的情況下，如何用盡可能少的試劑盒完成社區的檢測？這些案例都與學生的日常生活非常貼近，可以很好地激發學生的學習興趣。這些案例也進一步證實了運籌學問題與我們的日常生活息息相關，讓學生們認識到學習運籌學課程的重要性。當然，也可以讓學生自己或分小組設計問題，并提出問題的解決方案。通過觀察日常生活，自己或小組共同提出問題并探討其背后蘊含的運籌學知識。小組合作的方式可以增強學生的團隊意識，從而營造良好的學習氛圍[6]。而學生自身設計問題可以提高學生學以致用的能力，并且培養學生的發散思維。

6.常見軟件工具的使用融入課堂。目前我校的運籌學教學偏重于理論講解，不注重軟件工具的使用。雖然我校也開設了一些優化軟件使用相關的課程，但是與運籌學的教學銜接地并不好。在運籌學的考核中，主要是用筆試的方式考察學生的計算能力。一方面，現在優化軟件的使用非常方便，學生對于煩瑣的手算較為抵觸。另一方面，現實生活中的問題規模往往非常大，手算能解決的問題規模比較小。學生學完運籌學的理論后無法解決實際的問題。因此，非常有必要將常用的軟件工具的使用融入課堂。在講解完理論之后讓學生使用現有算法或者自己編程進行求解，這會提高學生解決實際問題的能力。教師也可以在授課結束后安排學生進行上機實踐，這不僅可以進一步鞏固學生的理論知識，也可以提高學生的學習熱情[7]。例如，教師在講解完運輸問題之后，可以為學生提供一次上機機會。由學生自行設計問題或者教師布置題目，學生利用軟件求解此問題，之后教師可以展示優秀作業，大家一起學習交流。上機實踐不僅可以讓學生熟悉軟件的使用，提高自身的專業能力，也可以讓學生加深對本節知識點的理解，起到很好的教學效果。

7.把研究的問題融入課程。例如講解動態規劃部分時，可以講解收益管理中航空公司的機票定價問題，也可以講解供應鏈管理中的多期庫存管理問題。這樣既可以擴寬學生的視野，也能讓學生了解老師目前正在研究的問題。如果學生對于老師的研究問題感興趣，也可以讓本科生參與老師的課題。

8.互動式教學，增加課堂的趣味性。如果課程比較枯燥乏味，學生很容易分散注意力，導致后續的學習無法跟上。要想持續捕獲學生的注意力，老師需要把課程設計得輕松有趣。例如在講解博弈論中的重復博弈時，可以以紅黑博弈為例，將班級的同學分成兩組，兩組同學進行博弈。這可以激發學生的勝負欲，也會增強學生的參與感。

結語

隨著經濟社會的發展，運籌學被越來越多地應用到經濟管理等多個領域解決現實生活中的優化問題。隨著計算機技術的發展，運籌學發揮的作用越來越大。因此，學好運籌學對于培養學生的優化思維和解決實際問題的能力具有重要的作用。本文首先分析了運籌學課程的特點，然后指出了目前運籌學教學中存在的一些問題。針對這些問題，本文提出了改善“運籌學”課程教學的基本思想并給出了一些具有針對性和操作性的具體措施。本文將為財經類院校運籌學課程的教學提供有益的啟示。

參考文獻

[1]肖勇波.運籌學：原理、工具及應用[M].北京：機械工業出版社，2021：1-12.

[2]《運籌學》教材編寫組.運籌學[M].4版.北京：清華大學出版社，2013：3-10.

[3]蔡懿靜.“新商科”理念下工商管理專業運籌學教學改革的探析：以鄭州西亞斯學院為例[J].科技資訊，2020（15）：144.

[4]陳曦，于文華.基于趣味教學法的經管類專業運籌學教學改革研究[J].教育現代化，2020（42）：30-33.

[5]崔春生，曹艷麗，邱闖闖，等.由難變易的運籌學課程改革研究[J].信息系統工程，2021（10）：174-176.

[6]宋巧娜.合作學習在運籌學教學中的應用研究[J].中國儲運，2021（10）：127-128.

[7]劉滿鳳，徐野，溫倩.基于能力提升的運籌學課程教學模式與教學方法探討[J].大學教育，2021（11）：103-105.

Research on the Teaching of Undergraduate Course of Operations Research in Finance and Economics Colleges and Universities

LI Ting-ting

（School of Management Science and Engineering， Dongbei University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning 116025， China）

Abstract： Operations Research is a compulsory course for undergraduates in finance and economics colleges and universities. Basing on the characteristics of the course teaching， this paper discusses the problems existing in the current teaching， and aiming at these problems， puts forward the basic ideas of improving the teaching of this course， including weakening the deduction and calculation of mathematics， using more down-to-earth cases and examples， integrating online and offline teaching， combining research with teaching， etc， and proposes some concrete methods for improving the teaching of the course， including guiding students to think prior to teaching， encouraging students to summarize by themselves after class， encouraging students to connect the related knowledge with life， making sure that the students really understand the important concepts， designing some interesting or challenging topics， and integrating the application of common software tools into the classroom teaching， and so on.

Key words： Operations Research; finance and economics colleges and universities; teaching reform