基于翻轉課堂模式的數(shù)學建模案例教學實踐

摘? 要：在信息技術發(fā)展速度日益加快的同時，數(shù)學建模在應用數(shù)學領域中的重要性不斷凸顯。眾多學校為培養(yǎng)出更多高質量的人才都開設了數(shù)學建模課程，這對數(shù)學建模相關研究工作的開展極具意義。文章主要對數(shù)學建模課程的特征及研究現(xiàn)狀進行探討，并對翻轉課堂模式在數(shù)學建模中的應用可行性及原則進行闡述，在此基礎上探討翻轉課程模式下的數(shù)學建模案例教學的出路和方向，以期為數(shù)學建模教學的發(fā)展起到有效借鑒，使學生可更好地利用數(shù)學知識來解決實際面臨的問題，進而使高校培養(yǎng)出更多高質量的人才。

關鍵詞：翻轉課堂;數(shù)學建模;教學實踐

中圖分類號：G642? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2022）11-0075-04

步入新時代后，數(shù)學建模在數(shù)學教學中的重要性愈發(fā)凸顯，成為極佳的解決現(xiàn)實問題的工具。對數(shù)學教育來說，如何提升數(shù)學建模案例教育成效，是非常關鍵的課題內容，但從目前的數(shù)學建模教學來看，還存在學生知識結構不完善、能力參差不齊、學時有限等問題，若是繼續(xù)沿用傳統(tǒng)教學手段，勢必無法解決這些問題，自然也難以培養(yǎng)出高質量的人才[1]。所以，科學應用翻轉課堂等新型教學手段，可使存在的問題得到有效解決，數(shù)學教師應對此有正確認知，積極將新的技術手段引入課堂中。

一、數(shù)學建模課程的特征及研究現(xiàn)狀

（一）數(shù)學建模課程的特征

數(shù)學建模課程已是公認的能促進學生綜合素養(yǎng)提升、強化創(chuàng)新能力與實踐能力，可用于解決現(xiàn)實問題的重要工具[2]。近年來，數(shù)模競賽的推廣力度不斷加大，促使社會對數(shù)學建模課程的重視度持續(xù)提升。數(shù)學建模具備很強的實用性，但教師對該課程的理解存在差異，所以教學理念與手段也具有極大差異。在以往的教學中，教師基本上都是在課堂中講述數(shù)學建模的理論、常用模型、典型案例。但是，數(shù)學建模課程面對的學生專業(yè)多樣，這些學生有著不同的基礎，高校若是都采用相同的教學模式，要想培養(yǎng)出專業(yè)的數(shù)學建模人才就顯得尤為困難，對學生綜合能力的提升也會造成阻礙。與此同時，以往的教學模式也無法將學生的主動性充分發(fā)揮出來，教師為課堂的主體，參與教學活動的學生僅是個別人員，無法實現(xiàn)大眾化，學生的參與積極性不高，自學能力也難以得到提升。此外，傳統(tǒng)的考核方式也缺乏科學性，往往是將學生劃分成多個組別，由各小組分別完成一份數(shù)模論文，對于論文中每位學生的貢獻度，教師難以判斷，所以對學生的成績也難以公平衡量。由此可見，數(shù)學建模課程的改革勢在必行。

（二）數(shù)學建模課程的研究現(xiàn)狀

隨著教改工作的日益深入，諸多研究者都愈發(fā)關注數(shù)學建模教育，并針對數(shù)學建模教學質量如何提升的問題開展了一系列研究。學者歐劍探討了數(shù)學建模的開放式教學，提出應當全面開放相關教學內容、方式、競賽方式等。學者李啟建認為必須注重數(shù)學建模教師的培養(yǎng)，組建優(yōu)秀的教師隊伍，為教學效果的提升奠定扎實基礎。此外，還有很多學者認為應注重實際案例的應用，在數(shù)學建模課程中，通過案例的制作與分析，使學生懂得如何有效應用數(shù)學知識、掌握好應用方法。此種案例式教改已取得極為不錯的效果，極大提升了學生的學習積極性，使學生在學習過程中的思維更為活躍，想象能力也有所強化。在網(wǎng)絡技術日益更新、網(wǎng)絡資源不斷豐富的大背景下，學生的學習方式愈發(fā)靈活，如何引入新的教學手段、選取科學有效的案例，已成為教師需要重點考慮的問題[3]。

二、翻轉課堂模式在數(shù)學建模案例教學中的應用可行性及原則

（一）應用的可行性

其一，由培養(yǎng)目標入手分析，翻轉課堂有利于培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng)。數(shù)學建模和其他理工科專業(yè)課有一定的差別，并非以累積數(shù)學知識為主要目標，關鍵是要培養(yǎng)學生的自學、探究、實踐能力，促進學生能夠借助數(shù)學知識更好地解決現(xiàn)實中遇到的問題。翻轉課堂不再是以教師為課堂主體，而是強調讓學生進行自主探究，教師在課堂當中扮演多重角色，師生地位上的轉化，使得學生各方面能力的培養(yǎng)獲得更大的提升空間。

其二，由教學內容入手分析，翻轉課堂對開放式教學來說極具作用。數(shù)學建模的諸多模型都有多個求解思路，可以選擇多種數(shù)學方法，且題目答案也不是固定的。參與數(shù)學建模學習與競賽的學生，基本都來自多個專業(yè)，學生的能力、知識結構都具有一定差異。老舊的模式無法顧及學生間的差異性，極易使學生最終的學習效果有很大差異。翻轉課堂的模式旨在讓學生進行自主學習，結合自身的知識結構與能力水平，選擇適宜的方式來建構數(shù)學模型。

其三，由教育與競賽形式入手分析，翻轉課堂和數(shù)學建模教育非常契合。翻轉課堂經(jīng)常采取的學習形式為小組協(xié)作，教師結合學生特征對學生進行合理分組，小組成員協(xié)作完成目標。數(shù)學建模作業(yè)往往也是以小組形式完成，每一個成員都有對應的工作，大家通過相互配合來完成目標，競賽也是小組協(xié)作形式，因而和翻轉課堂的形式幾乎是相同的[4]。

其四，由考評方式入手分析，翻轉課堂的教學模式和教學評價相適應。以往的考試基本都是筆試，這和數(shù)學建模想要達到的考核效果是存在差異的，因為數(shù)學建模涉及較多的內容，題目相對較難，要憑借個人能力在幾個小時內完成考試內容有較大難度。在人才培養(yǎng)上，數(shù)學建模更強調建模、編程、自學、團隊協(xié)作等能力的培養(yǎng)，在翻轉課堂中這些能力都能夠進行有效考核，只要對考核環(huán)節(jié)進行科學設置，就可達到良好的考核成效。

（二）需遵循的原則

微課制作時，教師必須明晰課程開展的目的以及具體的分類。數(shù)學建模包含眾多步驟，任何一個環(huán)節(jié)都非常重要，僅依靠短短10分鐘微課將全部環(huán)節(jié)盡數(shù)體現(xiàn)有較大難度。教師應明確該節(jié)課具體以哪個建模環(huán)節(jié)為主，不可想著面面俱到，要凸顯重心。在數(shù)學建模案例教學中，翻轉課堂模式的應用應具體遵循以下原則：

其一，教師應結合數(shù)學建模完整流程，對學習任務單進行科學設計。翻轉課堂模式中，設計學習任務單是結合教學目標進行學習路線、任務的設計，其有利于引導學生確定學習內容與方法，進而達到更好的學習效果。具體教學中，教學應結合數(shù)學建模流程來設計任務單，對教學內容進行科學劃分。例如學前任務單，可以納入問題背景、軟件用法等內容;課堂任務單中，可納入模型建立基本步驟等內容;課后任務單中，可納入模型改進、評價等內容。68177E82-F437-4F90-B56D-0C8C8DB7BFE9

其二，教師在進行翻轉課堂教學設計時，應將學生建模、創(chuàng)新、軟件應用等能力的培養(yǎng)納入其中。數(shù)學建模具有開放性，可培養(yǎng)學生的多方面能力，和其他數(shù)學課程存在差異，若是在微課制作、設計學習任務單等環(huán)節(jié)，注重學生多方面能力培養(yǎng)和考核，那翻轉課堂的效用就無法最大限度地發(fā)揮出來。特別是在評價學生的學習效果時，教師不僅要考慮論文完成的整體狀況，也應強調在分工合作過程中小組成員間的水平差異;對于任務完成過程中學生暴露的不足，應有針對性地進行后續(xù)課程內容的設計。

三、翻轉課堂下的數(shù)學建模案例教學的模式探討

在計算機技術日益發(fā)展的同時，網(wǎng)絡中的教學資源也愈發(fā)豐富，為翻轉課堂的開展提供了有力保障[5]。翻轉課堂模式旨在培養(yǎng)學生的自主學習能力，與數(shù)學建模課程的特點相符，將其引入數(shù)學建模課程中是具有可行性的。基于翻轉課堂，教師可將數(shù)學建模的教學步驟劃分成課前自學、課中探討、課后提升等環(huán)節(jié)。課前自主學習，是學生通過學習平臺自主學習理論知識，了解模型建構基礎內容;課中探討和應用，主要是學生分組進行案例探討，共同建模，教師對學生進行適當指導;課后提升，主要是在網(wǎng)絡平臺中，教師為學生提供答疑解惑服務，和學生交流增進感情，具體步驟如下：

（一）構建數(shù)學建模教學平臺

計算機技術的發(fā)展速度越來越快，使得教學方法面臨更多的可能性。對于數(shù)學建模教學平臺的構建，教師應基于教學大綱，搜集網(wǎng)絡上優(yōu)秀的教學資源，進行資源整合，繼而建立可供師生交流、互動的平臺，為學生的學習提供便利。教學資料一般包括建模課件、自制教學視頻、教學安排、課后練習等，網(wǎng)絡中的教學包、微課視頻、慕課視頻等都有值得借鑒的優(yōu)秀資源。學生只要登錄平臺，就可自主學習平臺中的課件、視頻，也可進行課后練習，這些步驟都可在網(wǎng)絡上完成。通過教學平臺，師生之間能夠進行便捷互動，無須受到時空限制，只要有電腦、智能手機即可隨時交流，這種模式可使得教學效率大大提升。在平臺中也可進行多樣化的評價，不僅可由教師對學生的學習狀況進行評價，學生之間、學生自身也可進行評價。此外，在建立的平臺中，教師可結合數(shù)學建模課程的特性以及學生的實際情況，制定科學的教學規(guī)劃。

（二）課前學生自主學習

數(shù)學建模課程涉及概率統(tǒng)計、微分方程、模糊數(shù)學、回歸分析等諸多內容，這門課程的知識面極廣。所以，教師要在課堂中講授全部的知識點，必然會由于課時問題而影響課堂效率，翻轉課堂模式的應用，能促使這些問題得到更好的解決。教師在課前，會結合教學大綱來布置學習任務，而學生的任務主要是觀看教學平臺中的教學視頻、PPT等內容，接著通過練習題來對自學狀況進行檢驗，平臺也會將學生自學時存在的疑問以及容易出錯的題目記錄下來。與此同時，在學習平臺中，學生們也可交流互動。例如在數(shù)學規(guī)劃模型講解過程中，課前教師先讓學生從平臺中尋找相關資料，接著閱讀這些資料內容，了解數(shù)學規(guī)劃中各種決策變量存在的差別，自行思考如何結合實際問題羅列目標函數(shù)。而在進行自學時，學生可記錄遇到的難題，并發(fā)布到平臺和其他人員探討交流。

（三）課中學生將知識內化

在課前自主學習之后，學生已對教師即將教學的內容有相應的了解，但學生如何將所學的內容進行內化，才是教學中尤為關鍵的環(huán)節(jié)，也是教學實施能否成功的重要檢驗手段。教師在課堂教學中，應針對學生普遍存在的問題進行講解，對學生的課前學習進行回顧與整合，也可集中講解薄弱的知識點，使得教學更具針對性，大幅提升教學效率。教師可讓學生自行分組，每一組成員數(shù)量為三人最為適宜，接著再提出一個現(xiàn)實問題，讓學生結合所學知識，相互配合、共同解決問題。學生先梳理自身學習到的新知識，并簡單進行建模，接著對模型進行分析以及仿真測試，對模型的優(yōu)缺點進行明確，并有針對性地改進模型，使得所建的模型能夠更為精準地反映現(xiàn)實問題，進而確保求出的結果更加科學。對模型進行分析時，小組三名成員都應說出自己的詳細思路，將認為有建設性的思路記錄下來，以文字或數(shù)學符號的模式將這些思路體現(xiàn)出來。對于每一個小組提交的方案，教師可將其放在課堂中讓所有學生進行探討，指出方案的優(yōu)缺點，教師也可適當進行評價，幫助每組的方案變得更科學完善。需要注意的是，翻轉課堂注重的是師生與生生間的互動，不再是教師單一地灌輸知識，這種互動課堂中，教師扮演的角色是多重的，不再僅負責答疑解惑，也是組織者和引導者，需要設計好課堂的教學步驟與內容，還應對學生進行有效引導，給予學生更多自主學習的機會。在這種模式下，課堂整體的互動氛圍極佳，學生之間的想法可更好地碰撞和融合，進而形成強大的學習合力，學生也可獲得適合自己的知識與技能。數(shù)學建模除了要學習到數(shù)學知識，更為重要的是要做到學以致用，將這些知識在生活中進行靈活應用，只有學生意識到數(shù)學知識的實用性，才可提升學習數(shù)學知識的使命感，進而積極主動地學習。

（四）課后提高與考核

教師在課前的備課以及課中的教學組織與引導，都是尤為重要的內容，而課后對學生的評價也是不可或缺的步驟。對于學生提交的建模成果，教師應給予簡單評價，并反饋給每一個小組成員，為后續(xù)的知識內化與提升做好鋪墊。在對課中知識進行內化之后，學生對知識已有了一定的掌握，但因數(shù)學建模具有一定的獨特性，不同于傳統(tǒng)的數(shù)學課程，模型建立是否有效，在很大程度上取決于數(shù)值仿真結果，所以上機操作是非常重要的步驟，只有多次調試建模的參數(shù)，得出的模型才更有價值、實用性更強。僅靠課堂的時間必然是不夠的，學生在課后還應對課中學習到的知識進行觀察與測試，才可更好地鞏固知識，真正吃透這些知識，課中構建的模型也可在不斷優(yōu)化中更具可行性。課后的提高不單單只針對學生，教師對課堂的總結與反思也是必須進行的，教師應結合建立的平臺了解學生的學習狀況，對學生的知識掌握與應用狀況進行詳細了解，并結合學生的反饋，對翻轉課堂設計的可取之處與不足之處進行總結，反思出現(xiàn)不足的原因，由此規(guī)避出現(xiàn)相同的錯誤。教師根據(jù)學生的知識掌握狀況，也可對教學內容進行更好的調整，進而設計出更具實用性的課程。因數(shù)學建模是一門較為特殊的課程，主要依據(jù)學生書面成績來判斷學習成效，傳統(tǒng)模式已無法適應該門課程，考核得到的結果也不是學生水平的真正體現(xiàn)。所以，結合課程的特性來調整考核方式，實施教師評分、學生互評、自評相結合的多元化考評模式，將更為符合數(shù)學建模課程。教師評分主要是對學生的課前自學、課中表現(xiàn)及課后總結進行評分，自學評價主要是依據(jù)學生在平臺中觀看視頻的時長以及問題探討狀況，課中的表現(xiàn)主要是依據(jù)學生所在小組的建模以及問題回答、動手能力的狀況進行判斷。課后的評價主要是對建模小論文的質量進行評價。課前、課中與課后三個環(huán)節(jié)，分別占據(jù)的權重是30%、30%、40%，學生的最終成績通過加權平均得出。對于學生間的互評，主要是根據(jù)每一個小組的建模以及問題回答狀況進行相互評價，自評則是依據(jù)自身學習狀況來評價。

四、結語

由于翻轉課堂的教學模式與數(shù)學建模課程的特點具有很好的契合度，近年來翻轉課堂在數(shù)學建模教學中的作用已愈發(fā)凸顯，越來越受到教師的喜愛，也為學校的教學改革注入了新活力與動力。翻轉課堂不單單注重課堂的教學，其也十分強調學生課前的自學與課后的提升在課前讓學生自主學習并搜索相關資料，從而提高學生的自學能力;在課中的分組交流與討論環(huán)節(jié)，不但提高了學生發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力，也提高了學生的團隊合作能力。這些都與新時代教育教學改革的目的相一致，因此翻轉課堂教學模式在數(shù)學建模教學中的實施與推廣也必將推動教育教學改革。

參考文獻：

[1] 邵曉鋒. 翻轉課堂教學模式在數(shù)學建模教學中應用的可行性分析[J]. 電子制作，2014（10）：269-270.

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[3] 劉清華. 高職數(shù)學建模翻轉課堂教學模式的優(yōu)勢特征及其教學操作[J]. 科技視界，2017（19）：19-21.

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[5] 歐陽章東. “數(shù)學建模”課程實施翻轉課堂教學模式探究[J]. 湖南第一師范學院學報，2018，18（05）：77-79.

基金項目：商洛學院教改項目“基于新工科背景下的‘大班上課，小班研討的數(shù)學教學模式的探索”（項目編號：19jyjx120）。

作者簡介：盧晶（1983—），女，碩士，商洛學院數(shù)學與計算機應用學院副教授，研究方向為計算機圖形學。68177E82-F437-4F90-B56D-0C8C8DB7BFE9